книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf162 |
Глава 2 |
где G(0) получается из (2.3.676). Аналогично из (2.3.73) и (2.3.74) вы ражение ПУТ (2.3.69) для собственной энергии принимает вид
„ |
. , |
с (1 -с )< 5 *б (0 ) |
(2.3.83) |
2d = |
V -т- |
-------------~------ |
|
|
|
1 + 2иСг(0) |
|
где G(0) определено функцией Грина ПВК, т.е. выражением (2*3.676) после замены 2 наг?. Сравнивая (2.3.82) и (2.3.83), мы видим, что метод ПКП можно рассматривать как первую итерацию (т.е. замену 2 на г;) в (2.3.82) при самосогласовании.
Элемент гриновской функции G(0) в (2.3.74) и (2.3.75) можно вы разить через спектр частот невозмущенного исходного кристалла. Чтобы убедиться в этом, используем (2.1.39), (1.3.44) и (1.4.13) для вычисления элемента гриновской функции G°(0, со) = G°a (0,0, со) исход ного (простого кубического) кристалла. Результат имеет вид
G°(0, co) = j Z G ° aa(0, 0, со) |
1 |
1 |
|
3M°N tf о? - |
cof(k) |
||
|
|||
|
оо |
|
(2.3.84)
О
Здесь G(<a2) обозначает функцию распределения квадратов собствен ных частот исходного кристалла, и в (2.3.84) со, вообще говоря, - комп лексная величина. Поскольку в приближении одного узла собственная энергия есть диагональная матрица (см. (2.3.68)), величина G(0) в (2.3.75) может быть получена из G°(0,co) заменой со2в (2.3.84) на со2 - 2(со)/М°. Отметим, что величина 2(со), вообще говоря, комплексна. Аналогично G(0) в (2.3.74) получается из G°(0, со) заменой со2 * со2-г?/М°.
Теперь сравним некоторые результаты, получаемые для спектра неупорядоченных сплавов в рамках ПУТ и ПКП с результатами числен ных расчетов. На рис. 2.20 показаны результаты, полученные для трех мерной системы с взаимодействием ближайших соседей в методе ПУТ и с помощью численных расчетов. Из этого рисунка видно, что при не большом количестве дефектов типа более легких атомов метод ПУТ хорошо воспроизводит зону высокочастотных локализованных состо яний. С ростом концентрации дефектов эта зона сливается с зоной ис ходного кристалла. Резонансная зона дефектов появляется снова, когда концентрация более тяжелых атомов становится малой. Из
ДинамикаpeilIeTK„ K^
Таллов с беспорядком замещения |
163 |
Рис. 2.20. Спектральная пппти
"лотность квадрата частоты в неупорядоченной прос
той кубической решетке R |
|
с » методе ПУТ с виртуальным кристаллом в качестве |
|
невозмущенного кристапя |
, |
,,а 'сплошная |
кривая) и по результатам численных |
расчетов (гистограмма). Отношение |
масс атомов, составляющих решетку, |
3.1, с есть концентрация легких атомов, СО|_ есть максимальная частота в ре |
|
шетке, содержащей только легкие атомы. (Согласно [2 3 7 ].) |
рис. 2.20 видно, что метод ПУТ не очень точно описывает края зоны. Однако метод ПКП передает края зоны довольно точно. Это видно из рис. 2.21, где показаны результаты ПКП и численных расчетов для простой кубической решетки с взаимодействием ближайших сосе дей. Оба метода, ПУТ и ПКП, плохо воспроизводят структуру острых пиков в спектре. Эта структура формируется кластерами примесных легких атомов. Однако кластеры не учитываются в рамках одноузельного приближения. Отметим, что структура острых пиков особенно
164 |
Глава 2 |
|
Рис. 2.21. Спектральная плотность квадрата частоты в неупорядоченной кубической решетке в методе ПКП (сплошная кривая) и по результатам числен ных расчетов (гистограмма). Отношение масс атомов, составляющих решет ку, 3 :1 , с есть концентрация легких атомов, CI?L есть максимальная частота в
решетке, содержащей только легкие атомы. (Согласно [377] .)
характерна для неупорядоченных цепочек (ср. рис. 2.1), так как в этих системах основную роль играют флуктуации локального состава. Эти флуктуации менее важны в трехмерной системе, где данный узел окру жен большим числом ближайших соседей и поэтому чувствует усреднен ное окружение.
Отметим, что различие между предсказаниями методом ПУТ и ПКП не проявляется достаточно отчетливо, если спектр частот идеаль ной решетки не содержит характерных особенностей. Таков спектр ре шетки, вычисления для которой представлены на рис. 2.20 и 2.21 (прос тая кубическая решетка с взаимодействиями ближайших соседей). Су щественные различия результатов ПУТ и ПКП могут появиться в слу чае реалистического спектра частот невозмущенной решетки. Это мож но видеть на рис. 2.22, где показан спектр, вычисленный в рамках ПУТ и ПКП для неупорядоченной гранецентрированной решетки. Хоро-
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
165 |
Частота, ТГц
Рис. 2.22. Частотный спектр в методе ПУТ и ПКП, вычисленный для неупоря доченного сплава с ГЦК-решеткой: сплошная линия — метод ПУТ, пунктир ная — П КП . Заштрихованы области, где метод ПУТ дает чисто действитель
ную собственную энергию, 6= (М^ |
^ обозначают массы ос |
новных и примесных атомов соответственно) |
и с есть концентрация примес |
ных атомов. Слева величина 6 фиксирована, |
а с изменяется, справа меняется |
6, а с фиксирована. (Согласно [200] .) |
|
шо видно, что ПУТ предсказывает спектр с более сложной структурой, чем ПКП. Эта структура образуется из-за того, что мнимая часть соб ственной энергии в методе ПУТ исчезает на частотах выше максималь ной средней частоты решетки wL (ср. разд„ 2.2.4, где Г(со) = 0, когда g°(co) « 0). Сам факт обращения в нуль величины ImZ при со > i»L со вершенно неудовлетворителен, так как он предсказывает незатухаю щие возбуждения типа плоских волн в неупорядоченной системе (ср. также (2.2.76)), На рис. 2.22 заштрихована часть спектра ПУТ с со > wL. Метод ПКП дает ImZ / 0 для всех частот спектра. Другими словами, ПКП предсказывает конечное время жизни для всех возбуждений типа плоских волн. Этот (результат есть следствие самосогласованного характера ПКП.
Дисперсию и затухание возбуждений типа плоских волн (фононов) в неупорядоченных сплавах можно исследовать с помощью неупругого когерентного рассеяния нейтронов. Прежде чем сравнивать результаты таких экспериментов с результатами вычислений ПКП, мы обсудим не которые теоретические аспекты возбуждений типа плоских волн в не
166 Глава 2
упорядоченных системах. Как уже отмечалось в разд. 2.2.4, в неупоря доченных сплавах с кубической решеткой Браве сечение однофононного когерентного рассеяния нейтронов пропорционально Im< G. (к , со)> , где для диагональной матрицы собственной энергии (ср. (2.3.68)) <G.(k, со)> определяется выражением
(Ctyfc, си)) = [о>2 - соДк) - Дсо)]-1. |
(2.3.85) |
Здесь 2 (со) описывает собственную энергию в методе ПУТ или ПКП, а со. (к)
обозначает дисперсионное соотношение для / -й ветви колебаний иде ального исходного кристалла.
Величину
(.А}(к, со)) = — - Im (Gjik, со + гв)), в-» + 0 (действ.й)), (2.3.86)
л
обычно называют спектральной плотностью, усредненной по конфигу рациям. С помощью этой величины гриновскую функцию <G.(k, со)> можно записать в виде интеграла Коши на комплексной плоскости со с разрезом вдоль действительной оси:
(Gj(k, со)) = j dco'iAjik, co'))l(co - со') = / <к/2(ЛД/с, со')>/(а>2- |
со'2). |
0 |
(2.3.87) |
Здесь второе выражение получено с учетом того, что Im<G.(*, со)
есть нечетная функция со(ср. разд. 2.3.1). Аналогично тому, как это было сделано в разд. 2.1,3, мы можем определить теперь запаздываю щую функцию Грина <G. (A, co)>ret = <G.(k, со + п )> (действительные со), которая аналитична в верхней полуплоскости со, но имеет полюса в нижней полуплоскости. Согласно общим концепциям элементарных воз буждений, действительная часть этих полюсов описывает дисперсию возбуждений типа плоских волн, а мнимая часть - их затухание. Отме
тим, однако, что такая интерпретация полюсов имеет смысл, если их мнимые части малы по сравнению с соответствующими действительны ми частями, т.е. если отсутствует так называемое переторможение.
Заменяя со в (2.3.87) на со |
+ U и используя (2.1.21), находим |
|
оо |
|
|
{0,(к, e>))«t = Р J <W |
- гя(А,(к, <*>)>. |
(2.3.88) |
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
167 |
Это уравнение показывает, что в нижней комплексной полуплоскости со полюса <G. ( k, со) > rct совпадают с полюсами <А. (к, со)>, так как первый член в правой части (2.3.88) есть аналитическая функция. Та кие возбуждения хорошо определены, если для действительных со функ ция <А. (к, оо)> есть лоренциан с достаточно малой полушириной.
Экспериментальные данные для однофононного когерентного рас сеяния нейтронов в неупорядоченном сплаве Ni 1_ с Ptc показаны на рис. 2.23. Мы видим, что интенсивность рассеяния в зависимости от
Рис. 2.23. Интенсивность когерентного рассеяния нейтронов в зависимости
от частоты вблизи резонансной частоты для поперечной ветви [0 0 в
Nio,9S Pto.os (f — волновой вектор в единицах 27Г/а, а — постоянная решет
ки) . Сплошная линия показывает форму линии в ПКП с учетом разрешения прибора (Согласно [396] .)
168 |
Глава 2 |
со имеет структуру двойного пика. Эта структура обусловлена резонанс ными модами тяжелых атомов Pt в матрице Ni (MPt/MNi = 3,32). Уд воение фононного пика наблюдается на частотах вблизи резонансной частоты (см. обсуждение в разд. 2.2.4 после (2.2,75)). С увеличением концентрации атомов Pt резонансное поведение усиливается, форма фононной линии приобретает характер двух отчетливых пиков и соот ветствующая дисперсионная кривая расщепляется, давая щель в спект ре (рис. 2.24). Рис. 2.25 показывает интенсивность рассеяния для спла ва Rb 1 _ с Кс в зависимости от частоты. Структура двойного пика в этом случае обусловлена локализованными модами легких атомов К(Мвь/Мк = 2,18). Мы видим, что с увеличением концентрации атомов К локализованные моды все более отчетливо отщепляются от пика, соответствующего основной зоне колебаний. Отметим, что рассеяние на локализованной моде максимально при тех значениях к, при кото рых частота а. (к) исходного кристалла достигает максимальной ве личины (ср. (2.2.76)). Дисперсионные кривые для фононов в сплавах
Rb1 _ с Кс показаны на рис. 2.26. На этом рисунке дисперсионные кривые локализованной моды представляют особый интерес. Заметим, что на рис. 2.23 и 2.25 ширина фононного пика составляет в общем одну десятую от средней частоты. Следовательно, при интерпрета-
[оос]
10
Г.1 I - L
О0J 0,8
С
Рис. 2.24. Кривые дисперсии фононов для направления [О О J] в Nio 70 Pto ao (? — волновой вектор в единицах 2тг/д, а — постоянная решетки). Точечные линии показывают примерное расположение плохо разрешенных пиков рассеяния. (Согласно [396] .)
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
169 |
Рис. 2.25. Интенсивность когерентного рассеяния нейтронов в зависимости от частоты для продольных колебаний [f f 0] на границе зоны в Rb-j^ Кс при разных концентрациях с (£ = 0,5; J — волновой вектор в единицах 27Г/з, а — постоянная решетки). Высокочастотные пики соответствуют локализован ным модам легких атомов К. Штриховые линии показывают результаты ПКП. (Согласно [201] .)
ции этих экспериментальных результатов может быть использована концепция фононов.
Для сравнения на рис. 2.23 и 2.25 даны также результаты вычис лений ПКП. Мы видим, что вычисления ПКП в качественном отноше нии хорошо согласуются с экспериментальными данными, но остает ся еще широкое поле деятельности для усовершенствования теории.
Существующие расхождения теоретических и экспериментальных ре зультатов наводят на предположение о важности изменений силовых постоянных и кластерных эффектов в дополнение к одноузельным эф-
Глава 2
170
f
Рис. 2.26. Дисперсионные кривые длп продольных колебаний [ffo] в
Rb1_c Kcnpn различных концентрациях с |
— волновой вектор в единицах |
2Я/з, а — постоянная решетки). (Согласно |
[201 ] .) |
фектам от беспорядка масс. В частности, эксперименты по рассеянию нейтронов дают некоторые указания на зависимость собственной энер гии от к . Отметим, что в случае беспорядка только масс одноузельное выражение для I диагонально по узлам и поэтому не зависит
от h
Учет недиагонального беспорядка в сплавах оказывается для фо нонов более сложной задачей, чем для электронов. так как в первом случае недиагональный беспорядок (изменение силовых постоянных) сопровождается диагональным беспорядком из-за правила сумм (2.1.78). Аналогичных ограничений не существует для электронов (см. [418]).
Предположение о линейной суперпозиции силовых постоянных, т.е. ФАВ = (фАА +.Фвв)/2 (ср. разд. 2.1.3), дает на сегодняшний день наилучший подход для включения недиагонального беспорядка в схему
Динамика решетки кристаллов с беспорядком замещения |
171 |
ПКП. Для получения уравнений ПКП в этом случае мы воспользуемся
уравнениями (2.1.85) - (2.1.95) и будем действовать аналогично тому,
как было изложено выше в этом разделе. Взяв идеальный А-кристалл в качестве исходного, получим (в обозначениях разд. 2.1.3)
О = (1 — с) ( - Я ) [1 - |
6 (-Я )]-1 + c(F - К) [1 - б (Р - |
Я )]-1, (2.3.89) |
где V, К и G - матрицы в пространстве дефектов и |
|
|
[(G0)-1 — 5 ] G = |
1, |
(2.3.90а) |
а>) = £ £ |
du+ll6lw+llK .aiss', « ). |
(2.3.90Ь) |
Ц М* |
|
|
Уравнения (2.3.89) - |
(2.3.906) образуют замкнутую систему матрич:- |
|
ных уравнений для К, 2 и G, которые должны быть решены самосог |
||
ласованным способом. |
|
Метод ПКП, учитывающий.изменения силовых постоянных в рам ках предположения о суперпозиции, дает в целом лучшее согласие с экспериментальными данными по рассеянию нейтронов, чем метод ПКП, учитывающий только беспорядок масс. Однако теоретические и экспериментальные результаты дают заметные различия в форме ли нии фононов [ 270], которые наводят на предположение о необходимо сти учитывать многократное рассеяние на кластерах из атомов.
Сейчас исследован также подход, учитывающий изменения сило вых постоянных в ПКП в предположении о том, что ФАВ есть геомет рическое среднее ФАА и Фв в . Он оказывается более ограниченным, чем подход с предположением о суперпозиции, так как не дает зависи мость собственной энергии от к , а для некоторых наборов параметров он вырождается в П ВК. Более того, такой подход часто предсказыва ет неправильно края зон [ 271 ].. Оба подхода однако не могут воспро извести структуру острых пиков в спектральной плотности колебаний.
Динамика решетки смешанных двухатомных кристаллов изучена также в рамках ПУТ [ 228] и ПКП [ 346, 380]. Однако к настоящему времени вычисления ПКП учитывают только короткодействующие силы, так как включение дальнодействующих сил оказывается очень слож ной задачей. Поэтому полученные результаты невозможно сравнивать с инфракрасными и комбинационными спектрами кристаллов с дальнодействуюшими электростатическими силами.