книги / Теория автоматического управления
..pdfа |
б |
j v |
|
Рис. 5.8. Область устойчивости в плоскости одного параметра:
а — граница устойчивости в плоскости корней; б — общий случай D-разбнення; в — пример построения
Подставляя в уравнение (5.66) р = j со и разрешая его относи тельно параметра k , получим
k = — B (/со)/А (/со) = Р (со) +/Q (со). |
(5.67) |
|
Придавая теперь переменной со значения от 0 до оо, можно в си |
||
стеме |
координат Р (со) — jQ (со) построить |
кривую D -разбиения |
(рис. |
5.8, б). |
|
Так как составляющая Р (со) всегда четная, a Q (со) — нечетная |
функция переменной со, то кривая D -разбиения всегда симметрична относительно действительной оси Р (со). Поэтому при построении
области устойчивости достаточно |
найти лишь одну ветвь кривой |
D -разбиения, соответствующую, |
например, положительным зна |
чениям со, а вторую ветвь можно нанести как зеркальное отражение первой.
Кривая D -разбиения делит плоскость параметра k на несколько областей, соответствующих различным вариантам расположения корней. Выделить из этих областей область устойчивости D (п\ 0) можно при помощи ш т р и х о в к и . Правило штриховки осно вано на том, что кривая D-разбиения является отображением мни-
мой оси плоскости корней (рис. 5.8, а). В системе координата—/© область устойчивости находится слева от мнимой оси /со, и ось принято штриховать слева (при движении вдоль оси от — оо до -f оо). В теории функций комплексного переменного доказано, что в плоскости варьируемого параметра область устойчивости также находится слева от кривой D -разбиения. Соответственно кривую D -разбиения также штрихуют слева (при движении вдоль кривой от — оо до + оо).
После нанесения штриховки выявляют область с наибольшим числом левых корней. При этом учитывают, что каждому переходу с заштрихованной стороны кривой D -разбиения на незаштрихованную сторону (см. рис. 5.8, б, стрелка 1) соответствует переход одного корня из левой полуплоскости в правую, а пересечению кривой D -разбиения в обратном направлении (см. рис. 5.8, б, стрелка 2) соответствует переход одного корня из правой полу плоскости в левую. Переходя последовательно из одной области в другую, можно выявить область с наибольшим числом левых корней [см. рис. 5.8, б область D (п ; 0)]. После этого при помощи одного из критериев необходимо проверить, является ли выявлен ная область областью устойчивости, т. е. проверить, все ли корни левые.
В практических задачах параметр k является действительной величиной (передаточный коэффициент, постоянная времени), и его
допустимые пределы изменения |
определяются |
не |
всей областью |
|
D (п; 0), а только отрезком действительной оси Р (со), заключен |
||||
ным внутри области D (п; 0). |
|
|
|
|
Пример 1. Построим при помощи метода D -разбиения область устойчи |
||||
вости системы, состоящей из |
трех |
инерционных звеньев |
первого порядка |
|
с постоянными времени Т г = |
0,1 с, Т 2 = 0,2 с и Т 3 = |
0,4 с. Область устой |
||
чивости будем строить в плоскости |
общего передаточного |
коэффициента k. |
||
Характеристическое уравнение |
системы |
|
|
|
(ТгР + 1) (Т2р + 1) (Т3р + |
1) + Л = 0. |
|
(5.68) |
Подставив в уравнение р = /©, решим его относительно коэффициента k:
k — — СП/© + 1) (Т2/© + 1) (Ту© + 1) = |
ЦТгТ%+ |
ТгТ 3 |
+ Т 2Т 3) со2 - |
— 1] + / [TiT2T 3a>* - (7\ + Т2 + Т3) ©] = |
(0,14©2 - |
1) + |
/ (0,008с»3 - |
--0,7©). |
|
|
(5.69) |
Подставляя в выражение (5.69) различные значения переменной с», можно построить кривую D -разбиения (рис. 5.8, в). При помощи штриховки и соответствующих рассуждений о переходах корней нетрудно установить, что областью с наибольшим числом левых корней является область D (3; 0). В этой области все корни левые, т. е. она является областью устойчивости. Действительно, при k = 0 все три корня характеристического уравнения (5.68) отрицательные: р х = — 1/7Y, р 2 = — 1/Т 2; р 3 = — 1/ Т 3.
Допустимый диапазон изменения передаточного коэффициента рассмат риваемой системы от — 1 до + 11,2 .
Построение области устойчивости по двум параметрам. Рас смотрим случай влияния двух параметров на устойчивость системы.
182
При этом все остальные параметры системы должны быть заданы. В качестве варьируемых параметров обычно принимают постоян ную времени Т одного из конструктивных элементов системы и пе редаточный коэффициент k разомкнутого контура или одного из элементов. Предположим, что варьируемые параметры k и Т вхо дят в характеристическое уравнение системы линейно, т. е. урав нение не содержит произведений k я Т и их степеней выше первой. Тогда уравнение может быть представлено в следующем виде:
F{p) = kA(p) + TB{p) + C(p) = 0, |
(5.70) |
||
где А (р), |
В (р), |
С (р) — полиномы от р, |
коэффициенты которых |
не зависят |
от k |
и Т. |
|
Если варьируемые параметры входят в уравнение нелинейно, то следует ввести такие две новые переменные, которые были бы функционально связаны с k n Т я входили бы в уравнение линейно. Во многих практических случаях это возможно.
Согласно общей методике D -разбиения подставим в характери стическое уравнение (5.70) вместо переменной р мнимый корень
/со. Тогда получим тождество |
|
kA (/со) + Г В (/со) + С (/со) = 0, |
(5.71) |
которое при каждом фиксированном значении со можно рассматри вать как уравнение с неизвестными k и Т.
Отметим, что с позиции критерия Михайлова уравнение (5.71) можно рассматривать как условие прохождения характеристиче ского вектора F (/со) через начало координат, т. е. как условие ко лебательной границы устойчивости.
Каждый из трех полиномов, входящих в уравнение (5.71), по сле возведения /со в четные и нечетные степени можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей:
А (/со) — Ах (со) + |
/Л2 (со); |
(5.72) |
|
В (/со) = |
Вх (со) + |
/В2 (со); |
|
С (/со) = |
Сг (со) + /С 2 (со). |
|
Подставляя (5.72) в (5.71) и группируя действительные и мни мые слагаемые, получим
[kAx (со) + ТВх (со) + Сх (со)] + / [кАг (со) + ТВ2(со) + С2 (со)] = 0. (5.73)
Известно, что комплексная величина равна нулю только в том случае, если одновременно равны нулю ее действительная и мнимая части. Поэтому условие (5.73) эквивалентно двум уравнениям:
kA x (ю) + Т В \ (ю) + |
Сх (со) — 0*»1 |
(5.74) |
kA%(со) + ТВ 2(со) + |
С2 (со) = 0. J |
|
Рис. 5.9. Область устойчивости в плоскости двух параметров
Эта система двух уравнений дает возможность определить для каждого фиксированного значения со два неизвестных k и Т.
Решим систему (5.74) методом определителей:
k = Дх/Д = |
(со), |
|
|
|
|
(5.75) |
|
Т = Д2/Д = /2(со), |
|
|
|
(5.76) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
А г (со); |
Вх (со) = |
А г (со) В2 (со)— А г (со) Вх (со); |
(5.77) |
|||
|
Л2 (со); В2 (со) |
|
|
|
|
||
Ах= |
—Сх(со); |
Вх(со) |
= |
— Ci (со) В 2 (со) + |
С2 (со) В х (со); |
(5.78) |
|
|
—С2(со); |
В2(со) |
|
|
|
|
|
Д2= |
Ai ((0)> |
—Ci (со) |
= |
— Лх (со) С2 (со) + |
Л2 (со) Сх (со). |
(5.79) |
|
|
^2 (©); |
—С2 (со) |
|
|
|
|
Выражения (5.75) и (5.76) представляют собой уравнение кри вой D -разбиения, заданное в параметрической форме. Подставляя в эти выражения различные значения параметра со (в диапазоне от — оо до + оо), можно построить основную границу области устойчивости (рис. 5.9, кривая АВС).
Так как полиномы Л х (со), В х (со) и Сх (со) — четные функции, а полиномы Л 2 (со), В 2 (©) и С2 (со) — нечетные, то определители
184
Д, Дх и Д 2 являются нечетными функциями переменной со; соот ветственно /х (со) и f 2 (со) — четные функции со. Из этого следует, что кривая D -разбиения при изменении со от — оо до + оо прохо дит дважды через одни и те же точки: первый раз при изменении со
от — сю до 0 и второй раз — при изменении со от 0 до + |
оо. |
|||
Кривая D -разбиения, построенная в плоскости двух парамет |
||||
ров, штрихуется |
по следующему |
п р а в и л у : |
|
|
если |
главный |
определитель Д > |
0, то штриховка |
наносится |
слева |
(при движении вдоль кривой в сторону увеличения со); |
|||
если |
определитель Д < 0, то штриховка наносится |
справа. |
Это правило сформулировано применительно к вполне опреде ленному порядку построения кривой D -разбиения, а именно: урав нение, получающееся от приравнивания к нулю действительной части, должно быть записано в первой строке системы (5.74); пара метр, стоящий в обоих уравнениях на первом месте, необходимо откладывать по оси абсцисс.
Так как при прохождении переменной со через нуль знак глав ного определителя Д меняется на противоположный, то штриховка кривой D -разбиения всегда двойная.
Уравнения (5.74) определяют в плоскости k— Т одну единствен ную точку (при фиксированном значении со) лишь в тех случаях, когда эти уравнения совместны и линейно независимы, т. е. когда определители Д, Дх и Д2 не равны нулю. Если же при некотором значении со все три определителя одновременно обращаются в нуль или бесконечность, то решения (5.75) и (5.76) становятся неопреде ленными. Это означает, что при данном значении со уравнения (5.74) эквивалентны, т. е. одно отличается от другого на постоянный множитель. В системе координат k— Т таким «исключительным» значениям сои соответствуют так называемые особые прямые (см. рис. 5.9, прямые BF , АЕ и СЕ). Уравнением особой прямой может служить любое из уравнений (5.74):
Т = [---Cl (2) ((Ой) —kAi (2) (С0И)]/Bi (2) (сои). |
(5.80) |
Во многих практических задачах параметры k и Т входят в старший коэффициент а0 или свободный коэффициент ап характе ристического уравнения (5.65). В этом случае уравнения двух осо бых прямых получают приравниванием указанных коэффициентов к нулю:
а„ = 0; |
а0 = 0. |
|
|
|
|
(5.81) |
|||
Первое |
уравнение соответствует сои = 0, |
второе— сои = |
оо. |
||||||
Ш т р и х о в к у |
о с о б ы х |
п р я м ы х |
выполняют по |
сле |
|||||
дующим |
правилам. |
Особые прямые, соответствующие сои = |
0 |
и |
|||||
(ои = оо, |
|
штрихуют один |
раз (см. рис. 5.9, прямые АЕ и СЕ), |
а |
|||||
прямые, |
соответствующие |
0 < о о < ;о о , штрихуют |
дважды (пря |
||||||
мая BF). |
|
В точках |
пересечения |
(или сопряжения) |
особой прямой |
с основной кривой D -разбиения, соответствующих со = сои, заштри-
хованные стороны прямой и кривой должны быть обращены друг к другу (точки А , В и С). Причем, если в точке пересечения опреде литель А меняет знак, то штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону прямой, если же знак определителя не меняется, то направление штриховки остается прежним.
После нанесения штриховки выявляют области с наибольшим числом левых корней. Например, на рис. 5.9 три области имеют предположительно распределение корней D (л; 0) — они и являются «претендентами» на области устойчивости.
Прямо» 2. Построим при помощи метода D -разбиения область устойчи вости системы, состоящей из статического объекта третьего порядка
W o(p) = k J { T o P + \ f |
|
|
|
|
|
(5.82) |
||||
в пропорционально-интегрального управляющего устройства |
|
|||||||||
W у (Р) = |
~г кц1Р- |
|
|
|
|
|
(5.83) |
|||
Параметры |
объекта: |
k0 = |
0,1; |
Гс = |
1 с. |
|
||||
Область устойчивости будем строить в плоскости двух настроечных |
||||||||||
параметров управляющего устройства k n |
и k u . |
|
||||||||
Характеристическое |
уравнение |
системы имеет вид |
|
|||||||
1 + -------- —-------- ( k n + |
k * |
^ = |
0 |
|
(5.84) |
|||||
(T 0p + |
i f |
V |
|
? |
J |
|
|
|
||
или после |
преобразований |
|
|
|
|
|
||||
т у + |
ъ т |
у + з г у |
+ |
(1 + kQka) P + k 0ka = о . |
(5.85) |
|||||
После подстановки р = |
/со характеристическое уравнение превращается |
|||||||||
в тождество, которое распадается на два уравнения: |
|
|||||||||
Т гу - |
ЗТ0со2 + V H = °; |
| |
|
|
(5.86) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ЗТ|(о3 + |
( I + |
k0kn) со = |
0. ] |
|
|
|
||||
Приведем систему (5.86) к виду (5.74): |
|
|||||||||
V° + Vo - |
то“2 (3 - |
Т У ) - 0; 1 |
(5.87) |
|||||||
Vo® + VO + ffl (1 - 3 7 > 2) = 0. |
( |
|
||||||||
Определители этой |
системы: |
|
|
|
||||||
Л = - Ф > ; |
Aj = *0ю (1 -3 7 > 2); |
Л2= - * 07 > 3(3 -7> ® ). |
(5.88) |
|||||||
Уравнение границы устойчивости в параметрической форме: |
|
|||||||||
*п = AiM = (3т |
у |
- |
l)/k 0 = /, (<о); |
(5.89) |
||||||
*„ = Д2/Д = |
Т У |
(3 - |
Т У )/ к а -- /2 (со). |
(5.90) |
Подставляя в выражения (5.89) и (5.90) значения ш от 0 до оо, получим
основную границу устойчивости (рис. 5.10, а, кривая ЛС). Основную гра
ницу дополним особой прямой, соответствующей значению сои = |
0: |
ап = аА= &о&и = 0 или kH= 0. |
(5.91) |
Особая прямая, соответствующая значению <ои = оо, находится в бес
конечности.
186
|
д |
'Я |
<o=±l,25 |
Д (г :о ) |
/ п ( щ ) |
у / / / / у / А / у / / / / / / / /
Рис. 5.10. Примеры построения областей устойчивости
Вдоль основной границы нанесем двойную штриховку. Так как при по ложительных значениях со главный определитель А < 0, то штриховать необходимо справа (при движении от со = 0 до со = оо). Особую прямую штрихуем так, чтобы в точках пересечения прямой с основной границей штриховка была направлена в одну сторону. В точке со = 0 штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону.
Таким образом, плоскость параметров /гп и /ги оказалась разбитой на четыре области: D (4; 0), D (3; 1), D (2; 2), D (1; 3).
Областью устойчивости является область D (4; 0). В этом можно убе диться при помощи критерия Гурвица.
Передаточный коэффициент объекта k0 в первой степени одинаково входит в выражения (5.89) и (5.90) для kn и £и. Это означает, что для значе
ний &о, отличных от 0 , 1, области устойчивости будут отличаться |
только |
||||||||
масштабами |
по осям kn и &и. |
|
|
|
0, |
то данная си |
|||
Если коэффициент интегральной составляющей &и = |
|||||||||
стема превращается в систему, рассмотренную в 5.4 (пример |
1). Функция |
||||||||
(5.90) обращается в нуль при |
со2 = 3!т\. Подставляя это значение в |
функ |
|||||||
цию (5.89), получим (как и в |
указанном примере) |
предельное значение об |
|||||||
щего передаточного |
коэффициента |
системы knk0 = |
8 , не |
зависящее |
от |
по |
|||
стоянной времени |
Т0. |
|
устойчивости системы, |
состоящей |
из |
не |
|||
Пример 3. Построим область |
|||||||||
устойчивого |
объекта |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wo (/>) = |
*о (Тм р + 1)/(Г02р - |
1) |
|
|
|
(5.92) |
и пропорционально-дифференциального регулятора с отрицательной диффе ренциальной составляющей
Wv ( p ) = k n - k Ap. |
|
(5.93) |
Пусть k0 = 1, Го1 = 1 с, |
Т02 = 2 с. Область |
устойчивости будем |
строить по параметрам регулятора kn и &д. |
|
|
Характеристическое уравнение системы |
|
|
|
|
(5.94) |
при заданных параметрах объекта принимает вид |
|
|
Ап (Р+ •) + Ад ( — рг — р) + |
4р2 — 1 = 0 . |
(5.95) |
187
|
|
(5.96) |
Определители системы: |
|
|
А = — со — со3; A i = А 2 = |
— со (1 ~г 4со2). |
(5.97) |
Уравнение границы устойчивости в параметрической форме: |
||
kn = (1 + 4<о2)/(1 + со2); £д- |
(1 + 4со2)/(1 + ©2). |
(5.98) |
Основная граница устойчивости, соответствующая этим двум одинако |
||
вым функциям, представляет собой отрезок прямой |
Л С (рис. 5.10,6). Ос |
новную границу АС дополняют две особые прямые, соответствующие часто
там CDh1 |
= 0 и CDh3 = оо: |
|
|
|
02 = |
kn— 1 = 0 |
ИЛИ |
kn = 1, |
(5.99) |
Of, = kA— 4 = 0 |
или |
kA = 4. |
(5.100) |
Штриховка основной границы и особых прямых, выполненная по из ложенным выше правилам, указывает, что в плоскости настроечных пара метров kn и kA существуют две области устойчивости D (2; 0).
5.6. Влияние структуры и передаточного коэффициента системы на устойчивость
В предыдущих параграфах было показано, что устойчивость системы зависит как от вида характеристического уравнения си стемы, так и от конкретных числовых значений коэффициентов уравнения. Существуют системы, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно не устойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, изменив ее структуру. У структурно неустойчивой системы в пространстве любых ее параметров области устойчивости не существует.
Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, со держащую одно инерционное звено и два идеальных интегрирую щих. Характеристическое уравнение такой системы имеет вид
(Г хР + 1) р2 + & = 0 |
(5.101) |
и не содержит слагаемое с р в первой степени. Очевидно, что в дан ном случае не выполняется необходимое условие устойчивости — условие положительности коэффициентов, и никакие вариации параметров k и Тг не могут привести к появлению слагаемого с р в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустой чива.
Все системы, приведенные в 5.2—5.5, являются структурно устойчивыми.
Алгоритмическая структура рассматриваемых ниже однокон турных систем однозначно характеризуется типом и числом эле ментарных динамических звеньев, образующих контур системы.
188
Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устой чивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устой чивость. К первой группе относятся звенья:
идеальное интегрирующее
w (р) = kip; |
(5.102) |
неустойчивое статическое первого порядка |
|
W ( p ) = k / ( T p - l ) ; |
(5.103) |
консервативное (идеальное |
колебательное) |
W(p) = k / ( T Y + 1)- |
(5.104) |
Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются фор сирующие звенья. Обычно применяют форсирующие звенья пер вого порядка
W{p) = l + k lP. |
(5.105) |
Широко применяемый в промышленной автоматике пропорцио нально-интегральный закон регулирования соответствует последо вательному соединению идеального интегрирующего звена и фор сирующего звена первого порядка:
W(p) = (knp + k„)/p. |
(5.106) |
Поэтому влияние этого закона на устойчивость двоякое: при больших значениях коэффициента интегральной составляющей k„
устойчивость хуже, при больших значениях коэффициента |
kn — |
лучше. |
|
Рассмотрим о б щ и е у с л о в и я с т р у к т у р н о й |
у с |
т о й ч и в о с т и о д н о к о н т у р н о й с и с т е м ы . Харак теристическое уравнение системы в общем случае имеет вид
D(p) + K(p) = 0, |
(5.107) |
где D (р) = Yldi (р) — произведение знаменателей |
передаточных |
функций отдельных звеньев, входящих в контур системы; К (р) — произведение числителей этих же функций.
Условия структурной устойчивости зависят от общего порядка п характеристического уравнения (5.107) и от вида полиномов D (р) и К (р). В полином D {р) входят знаменатели «плохих» звеньев (5.102—5.104), а в полином К (р) — числители «хороших» — фор сирующих звеньев (5.105). Обозначим: q — число идеальных ин тегрирующих (5.102); t — число неустойчивых (5.103); г — число консервативных звеньев (5.104), входящих в систему.
Если форсирующих звеньев в контуре нет, т. е. К (р) = k (где k — общий передаточный коэффициент разомкнутого контура), то
189
условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств:
Ц-Ь 2;
(5.108)
4 г< я .
Для более сложных видов полинома К (р) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе.
Общие свойства многоконтурных систем, содержащих внутрен ние обратные связи, изучены еще недостаточно. Для всех этих систем пока не найдены условия структурной устойчивости. Лишь для одного класса многоконтурных систем (систем со статическими неперекрестными обратными связями) установлено правило: если все контуры системы структурно устойчивы, то сама система струк турно устойчива. Обратное утверждение несправедливо! Один или несколько контуров могут быть структурно неустойчивы, а вся
система — структурно устойчива. |
|
|
|
Рассмотрим в л и я н и е одного |
из основных параметров си |
||
стемы — п е р е д а т о ч н о г о |
к о э ф ф и ц и е н т а |
р а |
|
з о м к н у т о г о к о н т у р а |
н а |
е е у с т о й ч и в о с т ь . |
Учтем, что для одноконтурных систем коэффициент k входит в вы ражение а. ф. х. W (/со) как множитель:
W (/©) = kK* (/co)/D (/со), |
(5.109) |
где /С* (/и) 1(0=0 = 1.
Это означает, что длины вектора W (/©) при всех значениях со пропорциональны коэффициенту k. При увеличении коэффициента k а. ф. х. расширяется (рис. 5.11, а) и приближается к критической точке (— 1; /0). Следовательно, увеличение передаточного коэффи циента разомкнутого контура приводит к нарушению устойчиво сти системы.
Это правило справедливо для большинства реальных систем, у которых а. ф. х. имеет форму плавной спирали (см. рис. 5.11, а). Однако существуют системы, у которых а. ф. х. имеет клювообраз ную форму (рис. 5.11, б). В таких системах к нарушению устойчи вости может привести не только увеличение, но и уменьшение передаточного коэффициента.
Значение передаточного коэффициента, при котором а. ф. х. проходит через точку (— 1; /0), называют предельным или крити ческим.
Всуществовании предельного коэффициента можно убедиться
ипри помощи критерия Михайлова. Действительно, у простых одноконтурных систем коэффициент k входит только в коэффи циент ап характеристического уравнения, причем, для статических
190