книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок
.pdf1.4. Перемещения в деформируемом твердом теле. Тензор деформаций.
1.4. Перемещения в деформируемом твердом теле. Тензор деформаций
Рассмотрим перемещения, возникающие в те ле в процессе деформаций. Будем считать, что тело закреплено и его перемещения как недеформируемого жесткого целого исключены.
Пусть некоторая точка Л (см. рис. 1.4), имевшая до деформации координаты х, у и z, вследствие де формации тела оказалась в положении Ахс коор динатами х + w,y + v n z + w .Отрезок ЛЛ, называ ется линейным перемещением точки А, а отрезки w, v и w — его проекции на оси координат. Переме щения и их проекции для разных точек различны; они представляют собой непрерывные функции координат точки
трех проекций элементарного параллелепипеда (см. рис. 1.5,а). Для этого надо знать относитель ные линейные деформации трех взаимно перпен дикулярных ребер £х, гу и е : и изменения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его гра ней, параллельных плоскостях координат (относи тельные сдвиги или относительные угловые деформации уху, yr_ )•
Найдем зависимости между компонентами де формации и проекциями перемещения на оси коор динат. Рассмотрим проекцию элементарного парал лелепипеда на плоскость хОу (см. рис. 1.5, б). До деформации координаты точки А - х и у, длины про екций ребер dxndy.
После деформации тела точка А перейдет в по ложение А \ а точка В - в положение В \ Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме ли
Иу, z); V =f2(x, у z); w =f}(x, у z). нейного перемещения точки А и его приращения,
Деформированное состояние в некоторой точ ке А известно, если известны деформации всех
вызванного изменением координаты х при перехо де от точки А к точке В: и + du/dx-dx . Кроме того, вследствие изменения первоначального прямого угла ВАС на величину а точка В{займет положение
В\ Отрезок Вf t ’ представляет изменение переме щения v точки А при переходе от точки А к точке
Ввдоль оси х. Относительная деформация ег реб ра АВ:
s |
АХВХ- А В |
= |
= —— -------- |
||
* |
АВ |
|
_ и +д и /dx-dx + d x - u - d x _
, 0 .7)
_ 3й
дх
11
Глава 1. Основы анализа прочностной надежности двигателей
аналогично
А С - А С |
ду |
8 = — 1------- |
= ----- |
АС |
ду |
Изменение удт прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы а и (3 их тангенсами и учитывая, что частные производные в скобках малы по сравнению с единицей:
|
|
|\ |
1 |
1 | |
|
|
в, |
||
|
|
2 У- |
2У- |
|
|
|
1 |
||
Т |
= |
|
1 |
|
2Уух |
|
- f r . |
||
|
|
1 |
1 |
|
2Уху
или в индексной форме
У.„, = а + Р _ ВХВ' |
£ С ' _ |
|
|||
|
|
|
АХВХ |
АХС{ |
|
|
dv |
|
ди |
, |
|
— dx |
-zrdy |
(1.8) |
|||
|
дх |
|
|
|
|
~ды |
^ |
| ^ + |
1 dy |
|
|
_ |
+1 dx |
|
|||
дх |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
ди |
|
|
|
дх |
|
ду |
|
|
|
Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выраже ние для относительной линейной деформации ez и относительных сдвигов и утг. В результате по лучим следующие шесть зависимостей между от носительными деформациями и перемещениями, их называют геометрическими уравнениями (со отношениями Коши):
|
ди |
f ху |
_ ду |
ди__ |
|
|
е. — |
дх |
ду |
|
|||
|
дх * |
|
|
|||
г х - |
ду |
У> |
_ dw ^ dv |
(1.9) |
||
ду |
ду |
dz |
||||
|
|
|
||||
|
dw |
у |
_ ди |
dw |
|
|
е„ = — ; |
|
|
|
-& 'Х~!к + дх
Исходя из геометрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно ус тановить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответ ствует удлинению, положительное значение отно сительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, yOz и zOx.
По аналогии с тензором напряжений вводится тензор деформаций:
8и |
S12 |
813 |
|
Те = 82| |
822 |
823 |
( 1.10) |
831 |
832 |
833 |
|
Тензор деформаций симметричен, т.е. у |
= у , |
Уху= Уух>Ухz= Ухх или в тензоРн°й форме:
Е(7 = 8у/ При i * j
Таким образом, деформированное состояние в точке определено, если известны шесть компо нент тензора деформаций.
Как и в случае напряжений, вводится понятие главных деформаций, имеющих место на площад ках, на которых отсутствуют деформации сдвига. Эти деформации обозначают в порядке убывания £j, е2, е3. Они инвариантны относительно выбора координат. В решении практических задач прочно сти часто применяется другая инвариантная отно сительно выбора системы координат величина - интенсивность деформаций (иногда ее называют обобщенной деформацией):
е,=- л '[(s l ~ Sz)2+ 2(1+ ц)
+ (е2-8з)2+(е1-8 3)21^2 =
( 1.11)
= —— — [(е -е |
)2 + |
2(1+ ц ) LV |
у) |
+(£у~ez)2+ (ег~г х)2+
Уг
+ -(у% + ч% + ч1х\
где р - коэффициент Пуассона.
Геометрические уравнения можно представить в тензорном виде:
еГ 1/2(ии + %) |
( 1.12) |
12
Геометрические уравнения были выше полу чены в предположении малости деформаций. Бла годаря этому они оказались линейными, что су щественно упрощает всю процедуру анализа напряженно-деформированного состояния тела. Если деформации нельзя считать малыми (это от носится, например, к гибким тонкостенным кон струкциям, конструкциям из резины и некоторых полимеров), необходимо использовать нелиней ные геометрические уравнения.
1.5. Уравнения совместности деформаций
Из уравнений (1.9), исключив перемещения, можно получить соотношения, связывающие между собой отдельные компоненты деформации. Это означает, что они не независимы в сплошной среде.
Дифференцируя первые два уравнения (1.9) для линейных деформаций, находим:
д \ _ = _с?и |
д2еу _ |
д2у |
ду2 дхду2 ’ |
дх2 |
дудх2 |
Складывая эти выражения и учитывая выраже ние для у , получаем:
д2ех [ д2е, _ д2 (ди д у Лд у ^
ду2 дх2 дхдууду dx) дхду
Аналогичным образом можно получить еще два уравнения, которые составят первую группу урав нений неразрывности.
Дифференцируя уравнения для угловых дефор маций (1.9), складывая первые два уравнения и вы читая третье получим:
J ^ |
+ ?!jL+ ^ = |
2 д2у - 2 ЭЧ |
||
dz |
дх |
ду |
dxdz |
дхдг |
Дифференцируя это уравнение по у получим:
d f& r . ry ^ y , д у „ \ ду{ dz дх ду J
dxdydz dxdz
После круговой подстановки можно получить еще два аналогичных уравнения, которые соста вят вторую группу уравнений неразрывности. Обе группы вместе имеют вид:
|
|
|
|
1.6. Обобщенный закон Гука |
|||
|
|
д2ех |
(N |
|
д2Уху |
|
|
|
|
СО |
II |
|
|||
|
|
ду2 |
дхду |
|
|||
|
|
дх2 |
|
|
|||
|
|
d2z y |
d2ez |
|
d2Yyz |
|
|
|
|
---- + |
ду2 |
|
dydz |
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|||
|
|
d2e z |
д ех |
|
tд2у |
|
|
|
|
— ^-+ |
|
|
J |
J xzx |
|
|
|
dz2 |
|
|
dzdx |
|
|
|
|
дх2 |
|
|
|
||
д |
|
|
|
|
|
d2z |
* |
дх К ду |
|
|
|
= 2 |
|||
дх |
дх у |
dydx |
|||||
д |
|
7 .д Г * |
d f* ' |
|
d2e |
|
|
|
= 2 — 2 |
||||||
ду |
dz |
дх |
ду , |
|
dxdz |
||
± \ |
дх |
i + d U |
' dz |
) |
|
дхду |
|
dz\v |
ду |
|
Физический смысл уравнений (1.13) можно про иллюстрировать следующим примером. Разобьем тело до деформации на конечное количество малых параллелепипедов и тетраэдров. Если условия (1.13) не соблюдены, то после деформации каждого из них может оказаться невозможным сложить непрерыв ное деформированное тело (см. рис. 1.6, б). По этой причине уравнения (1.13) называют уравнениями совместности (неразрывности) деформаций.
Если анализ напряженно-деформированного состояния тела сводится к определению перемеще ния, а по ним - напряжений (решение в перемеще ниях), уравнения совместности деформаций вы полняются тождественно. Если анализ ведется в напряжениях, уравнения совместности деформа ций необходимы для определения перемещений.
1.6. Обобщенный закон Гука
Зависимость между напряжениями и деформа циями в реальном материале может быть достаточ но сложной: в зависимости от величины действу ющих напряжений деформации могут быть обратимыми (упругими) и необратимыми (пласти ческими). При напряжениях, не превышающих предела упругости, эта зависимость, как известно, выражается законом Гука, согласно которому де формации в материале пропорциональны напряже нию. В простейшем случае одноосного растяжения элементарного параллелепипеда, например в нап равлении оси*, он получает в направлении л* отно сительное удлинение равное:
г = а /Е |
(1.14) |
13
Глава L Основы анализа прочностной надежности двигателей
Компоненты тензора напряжений можно отсю да выразить через компоненты тензора деформа ций:
Рис. 1.6. Деформированное состояние тела при нарушении условий совместности деформаций
а в направлениях у и z - относительное сужение: е = - p a r/ £ , £, = —|L1CFY/Е
где Е - модуль упругости материала; |1 - коэффициент Пуассона материала.
Деформация сдвига пропорциональна касатель ным напряжениям, например:
у ,= \У °>
% = \ J G>
где G - модуль сдвига
2(\ + \х/
Характеристики упругости материала Е и (I за висят от температуры и определяются эксперимен тально.
Для того, чтобы учесть тепловое расширение при нагреве тела, нужно добавить к относительно му удлинению произведение коэффициента линей ного расширения а на температуру материала:
гх= о /Е + аТ |
(1.15) |
В общем случае трехосного напряженного состо яния экспериментально установлена линейная зави симость компонент тензора деформаций с компонен тами тензора напряжений, названная обобщенным законом Гука. С учетом теплового расширения ма териала обобщенный закон Гука имеет вид:
£ х = ^ - Ф у + <*г ) ] + а Т ; у ху = ^
гу = \ К “ |
(1.16) |
+ стх )]+ «Г; У^г = - ^ |
е , = - ~ Ь , - Ф * + ° у ) ] + а - Т \ У . , : = ^
CT, = 2 G E , . + 3 X s - j - ^ - a r ; |
x xy=Gy„ |
||
а у = 2Gey +ЗХе |
|
V = ° h * ' (1.17) |
|
a = 2GB 2+ЗА,е - —Е —аТ; |
x 2X= G ya |
||
|
1-2\х |
|
|
где £ = (&х + гу + ег)/3 - средняя деформация; |
|||
а |
мД |
- постоянная Ляме. |
|
|
(1 + ц )(1 -2 ц ) |
||
|
|
|
Приведенная выше запись обобщенного закона Гука относилась к изотропному материалу, свой ства которого одинаковы во всех направлениях. В ГТД в последние годы активно применяют ани зотропные материалы: монокристаллические ни келевые сплавы для лопаток турбин, композици онные материалы для изготовления корпусных деталей и т.д. Для этих материалов также справед ливо представление о линейной зависимости меж ду компонентами тензоров напряжений и дефор маций. В общем случае эти зависимости могут быть представлены следующими линейными урав нениями:
S JC “ a i\G x + |
CL\2G у |
~*~a \3G z + |
|
+ а \4Т ху + |
а \ & yz + |
а \£* XZ |
|
S y ~~ а 2 \ ° х |
+ |
а 22® у + U23G z + |
a3lGх + аЪ2°у + tt33Gz +
+ я 34т ху + л35т ^ + я 36т Х2
(1.18)
Уху= a4\Gx + aA2Gу + а4ЪGz +
+а44%ху+ а45тvz + а46та
Yj* =«51Gx + a52Gy+<*53Gz +
+а54Хху + а55Zyz + а56У xz
Уzx=^6lGx +a62Gy+^63Gz +
+аб41ху + аб51 yz + a66Xхz
14
Глава L Основы анализа прочностной надежности двигателей
а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра с плоскостями координат. Площадь наклонной гра ни BCD обозначим dF. Тогда площадь грани ЛВС
будет dFn, грани ACD - dFl и грани ADB - dFm.
На наклонной грани BCD действует равномер но распределенная нагрузка q. Ее проекции на оси х, у и z обозначены соответственно q , q На бо ковых гранях действуют нормальные й касатель ные напряжения (см. рис. 1.7).
Составим уравнение равновесия пирамиды, спроектировав все силы, действующие по его гра ням, на ось л*. Проекция объемной силы в уравне ние не входит, так как представляет собой величи ну высшего порядка малости по сравнению с проекциями поверхностных сил:
-с dF I - х dF ■т - х dF • п + q dF = О |
|||
-V |
ЛТ |
ZX |
*х |
Составив уравнения проекции сил на оси у и z, получим два аналогичных уравнения. В результа те будем иметь три уравнения равновесия:
а = а |
/ - т |
|
m + х п |
|
|
||||
*Х |
X |
|
|
ух |
|
ZX |
|
|
|
q —т |
хг |
/ + ОТЯ + Т п |
4 |
(1-22) |
|||||
Чу |
|
|
у |
|
|
zy |
' |
||
q = Т |
|
+ Т |
yz |
+ G W |
|
|
|||
2z |
|
xz |
|
z |
|
|
Эти уравнения связывают нагрузку на поверх ности тела с напряжениями в теле, т.е. представ ляют граничные условия задачи теории упругос ти. Система уравнений теории упругости (1.4), (1.9) и (1.16), дополненная граничными условиями по напряжениям (1.22) и по перемещениям, представ ляет собой общую постановку краевой задачи те ории упругости.
Методы решения краевой задачи теории упру гости, как точные, так и приближенные, можно разделить на две группы: решение в перемещени ях и напряжениях.
В первом случае за основные неизвестные при нимают перемещения точек упругого тела:
И =f№,y,z),
V=f2(x,y,z),
W=f3(x,y,z).
Для получения решений нужно в уравнения обобщенного закона Гука (1.16) подставить геомет рические соотношения (1.9), т.е. выразить напря жения через перемещения, и затем полученные вы ражения подставить в уравнения равновесия (1.4), в результате чего получаются три уравнения с тре
мя неизвестными и, v, w, решение которых даст искомые перемещения. Граничные условия в нап ряжениях также необходимо выразить через пере мещения.
Во втором случае за неизвестные принимают компоненты напряжения:
а = Ф,(х, у, z),
а,, = Ф2(х, у, z),
а. = Ф3(х, у, z),
\= ФМ ’ у z)>
\= ФГ ’ у z)>
= (Х>У>2)-
Спомощью обобщенного закона Гука (1.16)
иуравнений равновесия (1.4), шесть уравнений не разрывности деформаций (1.13) можно записать че рез напряжения:
Решение этих уравнений вместе с граничными условиями дает искомые компоненты тензора на пряжений.
1.8.Плоская задача теории упругости
Существуют два важных в практическом отно шении частных случая напряженно-деформирован ного состояния тела, когда решение задачи теории упругости существенно упрощается. Это плоское деформированное и плоское напряженное состоя ния.
На рис. 1.8, а приведен пример тела, находяще гося в плоском деформированном состоянии. Точ ки тела в выделенном пунктирными линиями слое не могут перемещаться вдоль оси z из-за препят ствия со стороны соседних слоев, то есть вдали от торцов при большой длине тела перемещения w вдоль оси z отсутствуют fw=0). Нагрузка, действу ющая на тело, постоянна вдоль оси z, но может ме няться в плоскости хОу. В таком случае любой эле мент единичной толщины, вырезанный двумя параллельными сечениями, перпендикулярными оси z, на достаточно большом расстоянии от тор цов находится в одинаковых условиях с соседними и испытывает плоское деформированное состояние, перемещения и и v не зависят от координаты z.
При плоском напряженном состоянии размеры тела вдоль оси z малы (см. рис. 1.8, б), а боковые плоскости, параллельные хОу свободны от нагруз ки, т.е. напряжения а г, Tzv и тл, на этих плоскостях равны нулю. Ввиду малой толщины можно предпо ложить, что и внутри тела, по плоскостям, парал лельным хОу, напряжения пренебрежимо малы, а напряжения ох, а , и не зависят от координатыz. Перемещения w вдоль оси z происходят, но они пред ставляют собой функцию напряжений a v и а .
16
Глава 1. Основы анализа прочностной надежности двигателей
в уравнение (1.30), получим бигармоническое урав нение:
. д 4(Р ^ |
д \ |
^ Ф = п |
(1>32) |
etc4 |
дх2ду2 |
ду4 |
|
Решение плоской задачи сводится к отысканию функции ф, удовлетворяющей этому уравнению и условиям на поверхности. Существует аналити ческое решение этой задачи для некоторых про стейших вариантов формы тела. При применении численных методов решение плоской задачи суще ственно менее трудоемко, чем пространственной.
1.9. Пластическая деформация материала. Простое и сложное нагружение
При напряжениях выше предела текучести в те ле возникают пластические деформации, не исче зающие после разгрузки. Зависимость деформации от напряжения получают экспериментально при ра стяжении образцов. Для большинства конструкци онных материалов она выглядит так, как показано на рис. 1.9; сплошная линия - условная кривая де формирования, получаемая без учета сужения об разцов при растяжении, пунктирная - истинная кри вая деформирования, построенная по истинным напряжениям, при расчете которых учтено сужение образца и образование шейки. При деформациях менее 1 % эти кривые практически совпадают.
Если напряжение а не превышает предела те кучести а Т, то зависимость между напряжением а и деформацией е линейна а = Ег (строго говоря, следует говорить не о пределе текучести, а о пре-
Рис. 1.9. Диаграмма деформирования материала
деле пропорциональности, но для большинства конструкционных материалов эти напряжения практически не различаются).
В этой зависимости модуль упругости материа ла Е равен тангенсу угла наклона линейного участ ка диаграммы а - е. Линейная зависимость между напряжениями и деформациями характерна для упругости, но критерий упругого поведения мате риалов состоит в том, что после снятия внешнего воздействия все размеры детали восстанавливают ся. На диаграмме а - е (см. рис. 1.9) это проявляет ся следующим образом. Если в точке А0при о < а т прекратить нагружение материала и снять вне шнюю нагрузку, деформация материала исчезнет (точка, изображающая на диаграмме состояние ма териала, вернется в начало координат). При возра стании напряжений выше предела упругости а >ат зависимость а от е перестает быть линейной. Если в некоторый момент нагружения, соответствующий точке А, прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка пойдет по прямой AAVприблизитель но параллельной начальному участку. Точкам пе рейдет в точку Л,, и в материале сохранится оста точная деформация ер, которая представляет собой пластическую деформацию в материале, образо вавшуюся при его нагружении. Полная деформа ция складывается из упругой ге и пластической ер:
е = е р+ е « |
о - 33) |
Уравнение (1.33) справедливо для любого мо мента деформации. Пластическая деформация су ществует одновременно с упругой, поэтому следу ет говорить об упругопластических деформациях материала. Упругая деформация для металлов со ставляет 0,2... 0,8 %, пластическая может доходить до 20...40% .
При повторном нагружении из точки А х (см. рис. 1.9) процесс нагружения пойдет по прямой А ХА, т.е. предел текучести возрастет. Таким обра зом, после предварительной пластической дефор мации происходит упрочнение материала, при даль нейшем нагружении (переход от точки А к точке В) деформирование идет так же, как в случае одно кратного нагружения.
Диаграммы (а - е), получаемые при сжатии пла стичных материалов, мало отличаются от диаграмм растяжения. Предел текучести в точке А х (см. рис. 1.10) по абсолютной величине такой же, как при растяжении. Иное поведение материала на блюдается, если сжатию предшествовало растяже ние в пластической области. Предел текучести су щественно уменьшается (точка А*). Этот эффект называется эффектом Баушингера и объясняется остаточным взаимодействием между зернами ма териала после деформации растяжения.
18
/. 10. Модели упруго-пластических деформаций. Метод переменных параметров упругости
|
Рис. 1.11. Влияние температуры: Т,< Т,< Т3 |
Рис. 1.10. Эффект Баушингера и принцип Мазинга |
блюдается (например, часть сил действует ранее |
|
других, или, начав вместе, некоторые из сил пре |
Предел текучести в этом случае определяется |
кращают свое действие, а остальные продолжают |
нарастать и т.д.), то такое нагружение называют |
|
принципом Мазинга, в соответствии с которым |
сложным, хотя нагрузка по количеству сил, их рас |
кривая деформирования при повторном знакопе |
положению может быть и простой. Простое и слож |
ременном нагружении совпадает с исходной кри |
ное нагружение не следует путать с простым (од |
вой, построенной в удвоенном масштабе: |
ноосным) и сложным (когда два или три главных |
|
напряжения для рассматриваемой точки отличны |
а ’т = а в ' 2 о т |
от нуля) напряженным состоянием. |
С ростом температуры практически для всех ме |
Деформацию в некоторой точке называют ак |
тивной, если интенсивность напряжения для этой |
|
таллов наблюдается снижение модуля упругости |
точки в каждый момент нагружения имеет значе |
и предела текучести а (см. рис. 1.11). |
ние, превышающее все предшествующие его зна |
Наиболее важными характеристиками сопро |
чения. В случае простого нагружения это проис |
тивления материала внешним нагрузкам являются |
ходит при монотонном возрастании нагрузки. Если |
пределы текучести и прочности. Предел текучес |
при деформации интенсивность напряжения мень |
ти характеризует сопротивление материала возник |
ше предшествующего его значения, деформацию |
новению пластических деформаций. Так как пере |
называют пассивной. |
ход от участка упругости к зоне появления |
|
пластических деформаций для большинства мате |
1.10. Модели упруго-пластических |
риалов носит плавный характер, то условились пре |
|
делом текучести считать напряжение а 02, соответ |
деформаций. Метод переменных параметров |
ствующее значению остаточной деформации 0,2%. |
упругости |
В отличие от него предел прочности а в- напряже |
В теории пластичности используют две группы |
ние, соответствующее разрушению образца. Обыч |
|
но предел текучести составляет (0,5...0,9)ав. |
математических моделей поведения материалов. Их |
Нагружение считают простым, если все компо |
называют теорией упруго-пластических деформа |
ненты нагрузок возрастают от нуля одновременно |
ций и теорией течения. В первой группе устанав |
так, что соотношения между ними в любой момент |
ливают связь между напряжениями и деформация |
времени сохраняются неизменными, т.е. все вне |
ми. Во второй - между напряжениями и бесконечно |
шние силы возрастают пропорционально одному |
малыми приращениями деформаций при бесконеч |
общему параметру. Сами нагрузки при этом могут |
но малых приращениях напряжений. Достоинство |
быть сколь угодно сложны: сосредоточенные силы, |
моделей первой группы - простота, однако моде |
равномерно или неравномерно распределенные как |
ли этой группы не описывают сложного нагруже |
по наружной поверхности тела и т.д. Если неизмен |
ния и не позволяют учитывать историю нагруже |
ное соотношение между внешними силами не со |
ния при определении пластических деформаций. |
19
Глава L Основы диализа точностной надежности двигателей
Модели второй группы свободны от этих ограни чений, но более сложны в использовании. Они не будут рассматриваться здесь, с ними можно позна комиться в литературе по теории пластичности, например в [14].
В основе теории упруго-пластических дефор маций лежит экспериментально обоснованное представление о наличии однозначной зависимо сти между суммарными деформациями и напряже ниями в теле. Для изотропного тела эти зависимо сти имеют вид:
1 + ц |
, |
ч |
- е 0 = - ^ ' - ( а * - ° о ) |
||
Е |
|
|
1+ Ц |
, |
ч |
е , - E 0 = - = - V - К - С Т о ) |
||
Е |
|
|
1+Ц |
, |
Л |
8 Г |
|
|
Е |
|
(1.34) |
. 1 + ц |
|
|
|
|
|
Ух>- = 2 |
ХУ |
|
-1 + ц
у= 2 — —т
1ys Е *
YZX = 2 —
где в0 = (er+ ev+ ег)/3 - средние деформации; о 0= (G x+ о + су2)/3 - средние напряжения.
Экспериментально установлено, что пластичес кая деформация не приводит к изменению объема материала, которое пропорционально среднему напряжению. С учетом теплового расширения при изменении температуры:
1-2ц
8о ~ |
а 0 + а Т |
(1.35) |
|
Е |
|
В уравнениях (1.34) величина у называется па |
||
раметром пластичности и вводится как: |
|
|
|
3 |
(1.36) |
|
1 + 2ц |
где и а - интенсивности деформаций и напряже ний (1.2), (1.11).
В теории пластичности часто используется ги потеза единой кривой, состоящая в том, что зави симость между интенсивностями деформаций и напряжений е, = Д с.) получаемая эксперимен тально при одноосном растяжении, остается неиз менной для любого напряженного состояния. Та ким образом, параметр пластичности, вообще
говоря, не константа, а функция интенсивности на пряжений.
Для того, чтобы понять физический смысл па раметра пластичности рассмотрим одноосное рас тяжение стержня. Все компоненты напряжения, кроме одной равны нулю. Пусть ох= а, тогда для интенсивности напряжений из (1.2) получаем а. = а. Если продольная деформация стержня ег = 8, то деформации в поперечных направлениях ev = -р*е и е, = -|ХФе . Здесь р* - коэффициент Пуассона для пластических деформаций, в случае упругих де формаций он равен (I. Для интенсивности дефор маций из (1.11) находим:
ег= 2 (1 + р ф)/3е.
Тогда для одноосного растяжения стержня по лучаем:
z?8 |
а * |
(1.37) |
У = Е - ~ = — |
||
а |
а |
|
Здесь а* = Ес - условное напряжение, которое соответствует деформации е в случае, если бы тело было упругим (точка А* на рис. 1.9).
Таким образом, параметр пластичности можно интерпретировать как отношение напряжений в уп ругом теле к напряжениям в пластическом теле при одних и тех же деформациях.
На упругом участке кривой деформирования \|/ = 1. В этом случае уравнения (1.34) можно при вести к обобщенному закону Гука (1.16). Так, для рассмотренного выше случая одноосного растя ж ения стерж ня средняя деф орм ация равна е0 = е(1-2р)/3, среднее напряжение а 0 = а/3 и из (1.34) при \|/ = 1 получаем а = Ег.
Для математического описания кривой деформи рования а. =Де.) используют различные соотноше ния (модели) (см. рис. 1.12). Простейшая из них -
Рис. 1.12. Схематизация диаграммы деформирования
20