книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1
.pdfпросачивание электронов сквозь барьер, амплитуды собственных волновых функций электрона на границах ямы становятся отличными от нуля (они тем больше, чем ближе уровень к верху барьера) и экспоненциально убывают в барьере при удалении от границы. При этом эффективная ширина ямы увеличивается, и собственные значения энергии £п при том же значении п уменьшаются. Число квантовых состояний в потенциальной яме конечной глубины также становится конечным (рис. 3.2.4).
Оценим положение энергетических уровней в одномерной квантовой яме конечной глубины <§п. Для упрощения выкладок перенесем начало отсчета ко ординаты в середину ямы (в точку х = 6/2 на рис. 3.2.3). Волновая функция
теперь имеет вид |
|
|
|
|
|
|
Ч > \ Ы ) |
= Aexp((3xi) |
|
|
|
Ж1 < |
- | |
¥>н (*i) = A 2exp{jk2xi) + B e x p ( - j k 2Xi) |
< а* < | |
|||||
V\\\{xi) = A e x p {-0 x \) |
|
|
ац ^ |
3 |
||
Учитывая условия |
непрерывности <р и dip/dxi |
|
на границе II и III областей и |
|||
исключив из полученных соотношений коэффициент А, получим |
||||||
|
В2 |
jk2 + 0 exp (j k 2b). |
|
|||
|
Аъ |
j k 2 - |
0 |
|
|
|
Из непрерывности ip и dip/dxi на границе I и II областей следует |
||||||
|
В2 |
j k 2 - |
0 |
|
|
|
|
А2 |
j k 2 + |
e x p ( - jk 2b). |
|
||
|
0 |
|
|
|
||
Приравняв правые части приведенных соотношений, находим |
||||||
|
exp (jk2b) = ± jk2 - |
|
0 |
|
||
|
|
|
jk2 + 0' |
|
||
Вспомним, что |
|
|
. exp (jx) |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
exp (jx) |
- |
Г |
|
Тогда для решения exp(jk2b) со знаком плюс ctg(/i26/ 2) = к2/ 0, а для решения со знаком минус tg(&26/ 2) = —к2/0. Из двух последних соотношений следует
4 |
=<;4 |
|
hb |
|
ts(2 |
(3.2.7) |
|||
|
|
|
|
|
д 6 |
, |
6 |
hb |
(3.2.8) |
@2 = “ ^ - c t g |
2 |
|||
|
|
|
|
В то же время из выражений для к2 и 0 в подразделе 3.2.1 можно получить
2 |
' - '2 |
„ „ |
/, \ 2 |
(3.2.9) |
|
A ) 4 |
* - i ) ' - “ |
(S)' |
|||
|
Абсциссы точек пересечения кривых (3.2.7) и (3.2.8) с окружностью (3.2.9) на рис. 3.2.6, где в качестве координат отложены величины k2 b/ 2 и /36/2, и дают возможность определить собствен ные значения энергии £п для кван
товой ямы конечной глубины:
|
|
|
|
|
|
|
р |
_ (*2б/2)^2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n _ |
2т(6/2)2 |
• |
|
||||
|
|
|
|
|
Видно, что с уменьшением глу |
|||||||||
|
|
|
|
|
бины |
или |
ширины |
ямы |
( то |
есть |
||||
|
|
|
|
|
с уменьшением |
радиуса |
окружно |
|||||||
|
|
|
|
|
сти) |
возбужденные |
состояния |
по |
||||||
|
|
|
|
|
следовательно |
переходят |
из кван |
|||||||
|
|
|
|
|
товой ямы в континуум уровней |
|||||||||
|
|
|
|
|
над |
ней, и в конце концов в |
||||||||
Р и с . 3.2.6. Нахождение уровней энергии в по |
яме |
остается |
только |
одно связан |
||||||||||
тенциальной |
яме графическим |
методом [16]: |
ное |
— |
основное |
четное |
состояние. |
|||||||
кривая / |
- |
( f |
) 2 + ( Y ) 2 = |
( з ) 2 = 36; |
Это |
же следует из рис. 3.2.4а |
прц |
|||||||
кривая 2 |
- |
^ |
= |
|
£п < 20 мэВ (6 = 1 |
нм) и рис. 3.2.4б |
||||||||
|
при |
£п < 5 мэВ (6 = 5 нм). |
|
|||||||||||
кривая 3 — |
|
= —^ c t g ^ |
|
|
||||||||||
|
|
Существование |
квантовой |
ямы |
||||||||||
|
|
|
|
|
сказывается и на движении электрона в континууме над ямой. Кинетическая энергия электрона над ямой возрастает, и длина волны де Бройля уменьшается. Выйдя за пределы ямы, электрон снова приобретает первоначальное значение волнового вектора. Это приводит к частичному отражению потока электронов. Коэффициент отражения определяется соотношением (3.2.2) с заменой <§п на -<£п и становится равным нулю (как будто ямы вообще нет) только при дискрет ных значениях £п , совпадающих с величинами собственной энергии для беско нечно глубокой потенциальной ямы с такой же шириной 6 — выражение (3.2.6).
Этот результат позволил, в частности, объяснить эффект Рамзауэра — по чти полную прозрачность атомов инертных газов аргона, криптона и ксенона для электронов с дискретными значениями кинетической энергии.
С учетом вышеизложенного становится понятным и резонансный харак тер прохождения электронов с различной энергией £ < £ п через квантовую структуру, представляющую собой узкую потенциальную яму, ограниченную двумя узкими барьерами. Если энергия электронов <§ совпадает с собствен ной энергией одного из уровней в квантовой яме, то коэффициент туннельного прохождения электронов через структуру резко возрастает. Указанный эффект также обусловлен интерференцией электронных волн, отраженных от скачков потенциала на границах барьеров.
3.2.4. Гармонический осциллятор. В механике важное значение имеет задача о гармоническом осцилляторе — частице, движущейся вдоль одной ко
ординаты и притягивающейся к положению равновесия х = 0 с силой, пропор циональной отклонению частицы от этого положения,
F = -С х,
где С — постоянная величина. Классическое решение этой задачи находят, приравняв силу притяжения выражению для силы из второго закона Ньютона F = Md2x/d t2, где М — масса колеблющейся частицы:
|
|
|
|
М |
^ + Сх = 0. |
(3.2.10) |
|
|
|
|
|
dF |
|
Решение уравнения (3.2.10) |
|
|
|
|||
|
х = |
Хо c o s |
С |
t + ip) = хо c o s (2iruot + <р), |
(3.2.11) |
|
|
|
|
|
у /м ' |
|
|
где |
I/Q = С /2п\/М |
— |
собственная |
|
||
циклическая частота |
осциллятора, |
|
||||
хо и |
— постоянные, определяемые |
|
||||
из начальных условий задачи. Коор |
|
|||||
динаты частицы со временем t изме |
|
|||||
няются по гармоническому закону. |
|
|||||
Соотношение (3.2.10) имеет зна |
|
чение, далеко выходящее за преде лы простых задач вроде колебаний маятника. Аналогичные силы встре-
чаются во всех случаях колебаний малой амплитуды около положения устой чивого равновесия. При этом любую силу, зависящую от координаты, можно разложить в ряд Маклорена и оставить только второй член ряда
F = FX—Q + х |
dF |
+ х 2 d2F |
+ |
d F \ |
|
dx ж=0 |
dx2 |
i=0 |
d x)x=0 |
При колебательных процессах Fx=o = 0, так как х = 0 соответствует равно весию.
Амплитуда колебаний жо в уравнении (3.2.11) определяется полной энерги ей колебаний <g=<gK+<gn. На рис. 3.2.7 приведена координатная зависимость потенциальной энергии колебаний <§п = С2х2/ 2. Направление движения части цы изменяется на обратное при ^ = <£п. когда ее кинетическая энергия <8Кравна нулю, следовательно
Хо = V2&
С
Полная энергия осциллятора в произвольный момент времени может быть представлена в виде
|
|
M v 2 С 2х 2 |
М |
х |
м |
2_2 |
|
|
||
|
— <§к + <§П — |
+ |
= ~ |
+ y W 0r |
(3.2.12) |
|||||
где U)Q = 27п/о = C /V M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из рисунка |
видно, |
что осциллятор |
представляет |
собой своеобразную |
||||||
|
|
|
|
потенциальную яму с отражающими |
||||||
|
|
|
|
стенками. Ее ширина увеличивается |
||||||
|
|
|
|
с ростом полной энергии колебаний |
||||||
|
|
|
|
частицы |
(пропорционально квадрат |
|||||
|
|
|
|
ному корню из энергии). |
|
|||||
|
|
|
|
Уравнение |
|
Шредингера |
||||
|
|
|
|
для |
квантового |
осциллятора |
с |
|||
|
|
|
|
<gn = С2х 2/ 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(l2if') |
« - |
С 2х 2 |
|
|
|
|
|
|
87г2 М |
-ГТГ+ |
ф = 0. |
||||
”0 |
0 |
л0 |
X |
d .7;2 |
|
|
|
|||
Решение этого |
уравнения полу |
|||||||||
Р и с . 3.2.8. Плотность вероятности положения |
||||||||||
для состояния п = 10 гармонического осцилля |
чается |
достаточно |
громоздким, |
так |
||||||
тора (сплошная линия) и для классического |
как в |
него входит |
переменная |
х в |
||||||
осциллятора с такой же энергией (штриховая |
квадрате. Поэтому |
приведем здесь |
||||||||
кривая) |
|
|
|
только окончательный результат вы числений и его физическое толкование. Как и в случае квантовых уровней в задаче о прямоугольной яме, гармонический осциллятор имеет дискретный на бор дозволенных значений энергии. Однако расстояние между дозволенными уровнями энергии здесь одинаково и составляет кщ:
in - ( ^ + п ) кщ, |
(3.2.13) |
где п = 0, 1,2,...
Этот результат становится понятным, если исходить из следующих оце нок. Для квантовых микрочастиц длина де-бройлевской волны An = h /\/2 m in уменьшается с ростом п. Легко убедиться, что в параболической потенциаль ной яме при приращении энергии частицы на величину hvо происходит именно такое расширение ямы, которое обеспечивает при меньшей длине волны резо нансные условия для волновой функции, удлиненной на половину периода по сравнению с нижележащим уровнем.
Существование уровня с нулевой энергией (п = 0 и EQ — 5/11/0) является, как и в прямоугольной яме, прямым следствием принципа неопределенности. Если бы при нулевой температуре колебание осциллятора полностью прекрати лось, то оказалось бы возможным одновременно точно определить координату
и импульс частицы. Во взаимодействии осциллятора с другими системами ну левые колебания участия не принимают.
Интерес представляют волновые функции осциллятора при больших п. На рис. 3.2.8 представлена кривая |^ю|> которая определяет относительную ве роятность нахождения электрона при различных значениях координаты. Пунк тирная кривая изображает ту же вероятность, вычисленную классически: так как скорость частицы больше при х = 0, то вероятность нахождения ее при х = 0 меньше, чем вблизи точек поворота.
Правилами отбора для гармонического осциллятора изменение квантово го числа п при переходах ограничивается Ап = ±1: при переходе квантового осциллятора из одного квантового состояния в соседнее излучается или погло щается энергия huо.
3.2.5. |
|
Система взаимодействующих квантовых ям. Рассмотрим каче |
||||
ственную картину изменения уровней энергии и волновых функций электронов |
||||||
в двух |
одинаковых |
по |
а |
б |
в |
|
тенциальных ямах при их |
||||||
сближении. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
сначала |
две |
|
|
|
|
ямы удалены друг от дру |
|
|
|
|||
га настолько, |
что волно |
|
|
|
||
вые функции |
электронов |
|
|
|
||
в них не перекрываются. |
|
|
|
|||
На рис. |
3.2.9а показана |
|
|
|
||
одна такая яма с шири |
|
|
|
|||
ной 6 и достаточной глу |
Р и с . 3.2.9. Сближение |
потенциальных |
ям и образование |
|||
биной, чтобы |
положение |
ямы двойной шинрины |
|
|
энергетических уровней в яме было близко к рассчитанному согласно уравнению (3.2.6).
Волновые функции электрона на двух нижних уровнях этой ямы обозначе ны цифрой 1. Пространственная частота волновой функции на первом возбуж денном уровне вдвое больше, а собственная энергия вчетверо больше, чем на нижнем — основном уровне.
Цифрами 2 на рисунке обозначены имеющие такую же вероятность вол новые функции для этих уровней, сдвинутые по фазе на половину периода. Электрон во второй яме с шириной 6 также может оказаться с волновыми функциями типа 1 или 2.
На рис. 3.2.9в показана потенциальная яма такой же глубины с двойной шириной 26, которая может быть представлена как результат слияния двух одинарных ям с шириной 6 (барьер при сближении двух одинаковых ям только что исчез). Собственные значения энергии уровней в двойной яме при тех же квантовых числах п, очевидно, в 4 раза ниже, чем в одинарной яме.
Волновая функция основного уровня в яме двойной ширины (функция пока зана не в масштабе) образовалась в результате перемешивания двух волновых функций типа 1 нижних уровней одинаковых ям. Частота волновой функции здесь вдвое меньше, чем в одинарных ямах, поэтому энергия уровня в 4 раза меньше.
Волновая функция второго уровня в двойной яме (п = 2) — результат пере мешивания антисимметричных волновых функций типа / и 2 основного уровня двух одинаковых ям. Так как при таком перемешивании пространственная ча стота волновой функции практически не изменилась, то энергия второго уровня в двойной яме совпадает с энергией основного уровня в одинарной яме.
Аналогичная картина наблюдается и для второго и последующих уровней одинарных ям при их сближении. Таким образом в результате сближения и слияния двух одинарных потенциальных ям происходит расщепление энерге тических уровней.
Если при сближении двух ям потенциальный барьер между ними еще оста ется (рис. 3.2.96), то нижний отщепленный уровень оказывается вьше, чем в случае, показанном на рис. 3.2.9в.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что при сближении большого числа (например, N » 1) одинаковых ям каждый уровень энергии в них расщепляется на N подуровней. Если между ямами сохраняются барьеры и волновая функция не сглаживается полностью, то разница в энергиях между верхним и самым нижним подуровнями с ростом N практически не увеличивается. При этом энергетическая плотность подуровней становится значительной. Перемешиваясь, подуровни создают энергетическую зону разрешенных значений энергии.
3.2.6. Движение электрона в периодическом поле. Квантовая механика открыла возможность не только понять, но и количественно описать важней шие свойства твердых тел, которые нельзя объяснить на основе классической теории.
Как известно, фундаментальным отличием твердых тел является их кри сталлическая решетка, то есть такое положение атомов, которое может быть получено путем периодического повторения элементарной ячейки. Волновые свойства электронов, способность их туннельным образом переходить от атома к атому при сближении атомов приводят к расщеплению атомных уровней в кристалле и превращению их в зоны.
Число независимых переменных в уравнении Шредингера для кристалла, учитывающем кинетические энергии всех электронов и всех ядер, потенци альную энергию попарного взаимодействия всех электронов между собой, ядер между собой и электронов с ядрами превышает число всех частиц в кристалле. Очевидно, что в общем случае такое уравнение не решается. Поэтому исполь зуются следующие приближения.
1)Поскольку в термодинамическом равновесии средние энергии электронов
иядер примерно равны (кТ/2 на степень свободы), а масса ядер на несколько порядков больше массы электронов, то скорость электронов примерно на два порядка больше. Это позволяет приближенно рассматривать движение элек тронов в потенциальном поле фиксированных ядер (адиабатическое прибли жение).
Малые тепловые колебания ядер около неизменных положений их равно весия учитываются как возмущение, не влияющее на энергетический спектр электронов, но устанавливающее распределение электронов по состояниям.
2)Принимается, что все электроны в атомах, кроме валентных, образуют вместе с ядрами неподвижный атомный остаток (ион). Обоснование такого приближения будет приведено позже. Уравнение Шредингера записывается теперь только для валентных электронов (валентная аппроксимация).
3)Энергия попарного взаимодействия всех валентных электронов заме няется взаимодействием каждого электрона со стационарным усредненным полем всех остальных. Внутреннее поле в кристалле одинаково в кристал лографически идентичных точках, поэтому энергия электронов определяется теми же элементами симметрии, что и сама кристаллическая решетка. По скольку это поле зависит и от движения самого электрона, оно называется самосогласованным и определяется методом последовательных приближений.
Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как систему невзаимодействующих частиц (одноэлектронное при ближение). При этом волновая функция системы электронов выражается про изведением волновых функций отдельных электронов, а ее полная энергия рав на сумме энергий всех электронов.
После решения одноэлектронной задачи коллективное состояние валент ных электронов в полупроводнике определяется путем распределения их по одноэлектронным орбитам (состояниям) в соответствии со статистикой ФермиДирака, начиная с наинизшего уровня.
Таким образом, стационарные состояния валентных электронов в кристалле отличаются не местом локализации электрона (электрон находится около узла решетки всего ~10-15 с), а характером его движения по кристаллу — энергией, скоростью, направлением и другими характеристиками.
Оператор Гамильтона в стационарном уравнении Шредингера для электрона в кристалле включает потенциальную энергию, являющуюся периодической функцией с периодом решетки. Поэтому представляется естественным искать решение этого уравнения также в виде периодической волновой функции
¥>к (г) = «к (г) exp (jk r), |
(3.2.14) |
где трехмерная функция «к (г) — периодична аналогично кристаллической ре шетке.
Функция (рь (г) называется функцией Блоха и представляет собой плоские волны, модулированные функцией ■Uk(r), причем амплитуда модуляции зависит
от вида периодического потенциала и от энергии электрона. |
|
|||||||||
Одной |
из |
наиболее простых |
моделей |
твердого |
тела является |
одномерная |
||||
|
|
|
|
|
модель Кронига-Пенни в виде длинной линей |
|||||
|
|
|
|
|
ной цепочки прямоугольных потенциальных яМ |
|||||
|
|
|
|
|
(рис. 3.2.10). Хотя результаты расчетов с помощью |
|||||
|
|
|
|
|
модели Кронига-Пенни и не применимы для опреде |
|||||
|
|
|
|
|
ления количественных характеристик реальных кри |
|||||
-Ь |
0 a |
a+b |
X |
сталлов, они демонстрируют физические свойства, |
||||||
общие для всех периодических систем, |
и позволя |
|||||||||
Р и с . |
3.2.10. |
Одномерный |
||||||||
ют понять, какой энергетический спектр электронов |
||||||||||
периодический |
|
потенциал |
формируется в твердых телах. |
|
||||||
Кронига-Пенни |
|
|
Стационарное уравнение Шредингера для этой |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
одномерной задачи имеет обычный вид |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d2ip(x) |
2т |
. . . . |
|
(3.2.15) |
||
|
|
|
|
~~dx*----"jf № ~ <£п) |
= 0. |
Решение ищется в виде бегущей плоской волны, модулированной с периодом
решетки |
|
ip(x) = u(x)exp(jkx ) , |
(3.2.16) |
где и(х) — периодическая функция х с периодом (а + Ь). Подставив (3.2.16) в (3.2.15) получим
d2u (ж) |
„ ., du (к) |
2т , „ |
„ |
. , . |
.. л |
, |
^х2— \-2jk——— I- -jp (S —<§к —Sn)u(x) = 0, |
(3.2.17) |
|||||
где <§к = f?к2/2т. Решение уравнения (3.2.17) в области 0 < х < а |
|
|
||||
щ (ж) = |
Л е х р [) (&2 — к)х} + В е х р [—j (fc2 + fc )x], |
(3.2.18) |
||||
где |
к2 = '/2m&/h. |
|
(3.2.19) |
|||
|
|
|||||
В области потенциальных |
барьеров, |
где |
& < £ п (например, |
При |
||
а ^ х ^ о + Ъ), решение |
|
|
|
|
|
|
U2 (ж) = С ехр [(/? — j к) ж] + D ехр [—(/3 + jk) ж], |
(3.2.20) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
у /2 т (<Sn - |
<£) |
|
(3.2.21) |
|
|
р ~ |
h |
|
|
||
|
|
|
|
|
Учитывая, что проницаемость потенциальных барьеров для туннелирующих электронов определяется в основном значениями S„ и b (уравнение (3.2.5)), представим потенциал цепочки атомов после их сближения в виде периоди ческой дельта-функции с предельными значениями Ь—>0 и <£п —1• оо (следова-
тельно, и /3 ~ \/2 т £ п/Н -н►оо), причем такими, что величина (32b ~ 2m£nb/h2 остается конечной. Обозначим
Нш — = Р. |
(3.2.22) |
|
6—>0 |
2 |
|
0— *00 |
|
|
Тогда в областях барьера и2 (х) ~ Сехр(/3х) + Dexp(-/3x) |
и так как (ЗЬ = |
|
= /32Ь//3 —*■0, то |
|
|
U2 (х = а) ~ U2 (х = а + Ь) . |
(3.2.23) |
Отсюда, однако, не следует, что и значения du2 (x)/dx при х — а и х = а + Ь одинаковы. Дело в том, что d?u2(x)/dx2 = /32и2 (х) при (3 —►оо существенно больше du2 (x)/dx. Тогда
du2 (x) |
|
du2{x) |
|
d2u2 (x) |
du2 (x) |
- Р2Ьи2 (х = а + Ь). |
|
dx |
x=a |
dx |
x=a+b |
dx2 x=c+b |
dx |
||
х=а+Ь |
(3.2.24) В силу непрерывности волновых функций щ (х) и щ (х) и их производных на границах областей уравнения (3.2.23) и (3.2.24) переходят в
|
щ (х = |
а) = щ (х = а + £>), |
||
d u i (х ) |
du1 |
(х) |
— 02Ьщ (х = о + Ь). |
|
dx |
dx |
|||
х = а + 6 |
||||
|
|
|
И, наконец, используя условие периодичности функции щ (х ), можно записать
и\ (х = а) = щ (х = 0),
d u \ (х) |
d u \ (х ) |
(3.2.25) |
|
dx |
dx |
— (32bui (х = 0). |
|
х=0 |
|||
|
|
||
Из уравнений (3.2.25) сразу получаем систему уравнений для А и В |
|||
А + В = Дехр \j (к.2 — к) а] + Вехр [—j (fc2 + к) а] |
|||
2Р |
2Р |
В = |
|
j (к2 - к ) ------ А - j (к2 + к) + — |
|||
а |
а |
|
|
= j (к2 ~ к)Аехр [j (к2 - |
к)а] - j (к2 + к)Вехр [ - j (к2 + к) а]. |
Нетривиальные решения этой системы уравнений существуют только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это условие приводит к выражению
sin fc2a |
+ cos k2a = cos ka. |
(3.2.26) |
Р fc2a |
|
Чтобы волновые функции в виде незатухающих функций Блоха (3.2.16) удовлетворяли уравнению (3.2.26), оно должно иметь решения относительно к2 - График, соответствующий левой части уравнения (3.2.26) в функции от foa при произвольно выбранном значении Р = Зтт/2, приведен на рис. 3.2.11. Поскольку стоящий справа в уравнении (3.2.26) cosка изменяется только в интервале от —1 до + 1, то к2а может принимать только те значения, для которых левая часть не выходит из указанных пределов. Эти допустимые значения показаны
Рис. 3.2.11. График функции, стоящей в левой части (3.2.26), для Р = Зтг/2 [16]
Рис. 3.2.12. Зависимость энергии электрона от его квазиимпульса в модели КронигаПенни. Штриховая кривая <§ = h 2 k 2 / ( 2 т ) — для свободного электрона
на рисунке жирными линиями. В соответствии с соотношением (3.2.19) они определяют возможные значения энергии 5 .
При изменении функции Р sin (к^а)/А^а + cos к2 а в пределах от +1 до - 1 аргумент в cos ка меняется, очевидно, от 0 до 7г (то есть к изменяется от О до 7г/а). Однако в силу периодичности coska любое из его значений нельзя приписать единственному значению к, и зависимости разрешенных значений энергии в цепочке от волнового вектора представляются в виде косинусоид, отделенных друг от друга разрывами в энергетическом спектре (рис. 3.2.12). При этом разность фаз между всеми соседними по вертикали косинусоидами составляет половину периода. Из рис. 3.2.11 и рис. 3.2.12 видно также, что с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается.
Малым скоростям движения электрона в кристалле соответствуют большие длины волн де Бройля, много большие постоянной решетки а. Такие волны как бы не замечают решетку и поведение электронов в нижней части разре шенных зон аналогично поведению свободных электронов. С ростом скорости длина электронных волн уменьшается и становится соизмеримой с периодом решетки. При выполнении брегговского условия полного отражения волн При их нормальном падении 2а = пА (или к = 2п/Х = тг/а), где п = 1,2,3,..., отра женные от атомных плоскостей электронные волны синфазны и бегущая волна пропадает. При этом появляется два вида стоячих волн, отличающихся по энергиям и соответствующих верхней и нижней границам запрещенной зоны.