книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfО т в е т . Х« — 7Х* + 8Ха + 28Х — 48 = 0;
X| = —2; Х| = 2; Хд = 3; Х| = 4.
II. ТЕОРЕМА КЭЛИ-ГАМИЛЬТОНА.
Теорема Кэли-Гамильтона в матричном исчислении является одной из важнейших. Вот ее формулировка:
|
Каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характе |
|||||||||
ристическому уравнению, |
которое |
следует понимать в матрич |
||||||||
ном смысле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Объясним это. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для матрицы А характеристическое уравнение имеет вид |
|||||||||
(8.7) |
1 |
|
|
|
(— 1 у»-2 Л„Х"-:г+ |
+ |
|
|
||
|
(— 1)" Xя + (— 1)«-' Л,Х"-' + |
|
|
|||||||
|
|
|
+ (— 1) Ат—IX 4- Ап = |
0, |
|
|
|
|||
то |
получается матричное |
равенство |
|
|
|
|
||||
|
(— 1у» Ап + ( — 1у*-1Л.Л"-' + |
(— 1)я-*АгАп~2 + |
• • • + |
|
|
|||||
|
|
|
+ (— 1) Д,_| А |
АпЕ = |
0, |
|
(9.11) |
|||
где |
Е — единичная |
матрица того |
же порядка, что |
и А, |
а |
0 — |
||||
нулевая |
матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение обратной матрицы при помощи |
|
|
|
|||||||
теоремы |
Кэли-Гамильтона |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если |
А — невырожденная матрица, то |
равенство |
(9,11) |
позво* |
|||||
ляет найти Л-1 — матрицу, обратную А. |
|
|
|
|
||||||
|
Умножим (9,11) слева на А-1: |
|
|
|
|
|
||||
(— I)" А > -Ч -(— I)"-1Л,Л"-* + . . . |
+ (— 1)Ат-|Л“ Ч |
+ Л,Л_1Е = 0 |
||||||||
Отсюда, |
учитывая, что Л-1Л = |
Е, |
получим |
|
|
|
|
|||
Л-* = - |
4-К—I ) » |
—1)«-‘ЛжЛ»-2+ .. . + (—1)ЛЯ_,Е]. (9,12). |
||||||||
|
Эта формула дает удобный практический метод вычисления |
|||||||||
обратной |
матрицы, |
так |
как |
определить |
коэффициенты |
Аи |
Ла |
А3, . . . . Л„ характеристического уравнения можно по формулам (8,9).
Задача 9,9. Доказать, что матрица |
|
] |
|
5 |
1 |
4 |
|
А = 3 |
3 |
2 |
|
6 |
2 |
10 |
удовлетворяет своему характеристическому уравнению Х»_ 18Х» 64Х— 64 = 0
(см. задачу 9,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р е ш е н и е . |
Заменим в левой части |
характеристического, урав |
|||||||
нения |
X на матрицу А: |
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
А3 — 18Л» |
+ Ш |
—64Е |
|
(9,13) |
|||
|
А э |
|
|
А' 1 |
|
|
|
Г1001 |
||
'5 |
1 |
'5 |
1 |
5 |
1 |
4] |
||||
3 |
3 |
2 — 18 . 3 |
3 |
2 |
+ 64 • 3 |
3 |
2 1 — 64 |
0 1 0 . |
||
6 |
2 |
10 |
6 |
2 |
10 |
|
6 |
2 |
Ю.| |
[о о и |
Убедимся, что это выражение равно нулевой матрице. Найдем сначала квадрат, а потом куб матрицы А
Аг = |
3 3 |
|
2 |
|
2 |
|
3 3 |
|
2 • |
|
3 |
|
|
41 |
||||
|
|
'5 |
1 |
А' |
|
'5 |
1 |
|
А |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
6 |
2 |
10 |
|
|
|
6 |
2 |
|
10 |
|
|
2 |
|
ЮТ |
||
|
|
|
|
|
|
|
52 |
16 |
|
|
62 |
|
|
|
|
] |
||
|
|
|
|
|
|
|
36 |
16 |
|
|
38 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
96 |
32 |
|
|
128 |
|
|
|
|
|||
А3 = А3 • А = |
|
52 |
|
16 |
|
62 |
|
|
1 |
|
||||||||
|
36 |
|
16 |
|
38 |
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
96 |
|
32 |
128 |
|
|
2 |
I |
||||
|
|
|
|
|
|
|
680 |
224 |
|
860 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
456 |
160 |
|
556 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1344 |
448 |
|
1728 |
|
А в выражение (9,13) |
||||||
Подставляем полученные степени матрицы |
||||||||||||||||||
и убедимся, что оно обратится в нулевую матрицу |
|
|||||||||||||||||
‘ |
680 |
224 |
|
860 1 |
|
|
'52 |
|
16 |
62 |
|
|
||||||
|
456 |
160 |
|
556 |
|
-- 18. |
36 |
|
16 |
38 |
|
|
||||||
.1344 |
448 |
1728 | |
|
|
|
96 |
|
32 |
128 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
1 |
0 |
о' |
|
|
|
|
+ 64- |
[: |
|
3 2 — 64 • 0 1 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
10 |
[ |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
' |
680 |
224 |
|
|
860 |
936 |
288 |
1116 |
|
||||||||
|
|
456 |
|
160 |
|
|
5561 - |
648 |
288 |
684 |
+ |
|||||||
|
1344 |
448 |
|
|
1728 I |
|
1728 |
576 |
2304 |
|
||||||||
320 |
64 |
256 |
1 Г64 |
|
0 |
о' |
|
'о |
|
0 |
о’ |
|||||||
192 |
192 |
|
|
64 |
0 |
= |
0 |
|
0 |
0 |
||||||||
[ |
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
384 |
128 |
640Н |
о ° |
|
|
0 64. |
|
0 |
|
0 |
0. |
Задача 9,10. |
Найти матрицу, обратную матрице А предыдущей |
|
задачи. |
, |
|
Р е ш е н и е . Характеристическим уравнением матрицы А явля |
||
ется уравнение |
X3— 18Х* + 64Х — 64 = 0 |
|
(см. задачу 8,1). |
||
теоремы Кэли-Гамильтона матрица А удовлет |
||
На основании |
||
воряет этому характеристическому уравнению. Поэтому |
||
|
А*— 18Л2 + 64А — Ш = 0. |
Умножая, как это делалось при выводе формулы (9,12), обе части этого уравнения на А~1, получим
А- »• А*— 18А~' - А? + 64Л~*. А — 64уГ 1 -Е = 0,
откуда
А' — 18Л + 64Е = 64Л-»,
а
Л ~*= ^ (А 3— 18Л + 64Е) Матрица Л1 уже была найдена в предыдущей задаче
Поэтому обратная к А матрица |
|
|
|
|
|
|
||||
Л~1__ !_ |
52 |
16 |
62 |
|
|
|
|
|
|
|
36 |
16 |
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л ~ 64 |
96 |
• 32 |
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72]1 |
Г64 |
|
|
||||
'52 |
16 |
62' |
' 90 |
18 |
0 |
0 ' |
||||
64 |
36 |
16 |
38 — |
54 |
54 |
36 | |
+ |
0 |
64 |
0 |
|
96 |
32 |
128 |
108 |
36 |
180]1 |
[ о |
0 |
64 |
|
|
|
|
1 |
26 |
—2 |
— 10 |
|
|
|
|
|
|
|
— 18 |
26 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Й |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
— 12 |
—4 |
12 |
|
|
|
|
Таким образом, обратная |
матрица |
|
|
26 |
—2 |
|
— 18 |
26 |
|
— 12 |
—4 |
А~1 = 35 |
13 |
— 1 |
—9 |
13 |
|
|
- 6 |
- 2 |
П р о в е р к а : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л~‘ • Л |
13 |
— 1 |
- 5 ] |
Г5 |
1 |
|
|
||||||
—9 |
13 |
|
1 |
|
3 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
—6 |
—2 |
|
6 ] |
| б |
2 |
|
|
|||
|
|
|
| 1 |
0 |
|
01 |
|
Е. |
|
|
|
||
|
|
|
- О |
|
1 |
|
0 |
= |
|
|
|
||
|
|
|
1.0 |
О |
|
1] |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
формула |
Кэли-Гамильтона |
позволяет, |
зная |
||||||||
(л— 1)*ую степень матрицы А, найти ее |
л-ую степень, |
учитывая, |
|||||||||||
что коэффициенты характеристического |
уравнения легко |
вычисля |
|||||||||||
ются по формулам (8,9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так, из характеристического уравнения задачи 9,9 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
X* — 18Х*+64Х — 64 = 0 |
|
|
|
|||||||
на основании |
теоремы Кэли-Гамильтона следует |
|
|
||||||||||
откуда |
|
|
А3— 18Лг + 64Л — 64Е = 0, |
|
|
||||||||
|
|
Л® = 18Л*— 64Л + |
64Е. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Действительно, |
легко проверить, |
что |
найденное раньше значе |
||||||||||
ние (см. задачу |
9,9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
'52 |
16 |
62' |
|
|
|
5 |
1 |
|
4' |
'1 |
0 |
0' |
|
36 16 |
- 6 4 - 3 3 |
|
2 + 64 • 0 1 0 |
||||||||||
96 32 |
1§ 8 |
|
|
|
6 2 10 |
0 0 ] |
|||||||
Убедитесь, |
что это выражение |
равно матрице |
|
|
|||||||||
|
|
|
' |
680 |
224 |
|
860' |
|
|
|
|||
|
|
|
I |
456 |
160 |
|
556 . |
|
|
|
|||
|
|
|
.1344 |
448 |
1728. |
|
|
|
|||||
Задача 9,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что |
|||||||||||||
матрица |
|
|
|
II |
|
- 6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[—6 |
|
10 |
—4 |
|
|
|
||||
удовлетворяет |
своему характеристическому уравнению |
|
|
||||||||||
|
|
|
Хэ— 27Х» + |
2 |
|
- 4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
180Х — 324 = 0 |
|
|
|
|||||||
и найти матрицу |
Л” 1, обратную матрице |
Л. |
|
|
|
О т в е т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
44 |
28 |
|
4" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
62 |
|
32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
32 |
|
74. |
|
|
|
Задача'9,12 |
(для самостоятельного решения). Для матрицы |
|||||||||||
|
|
|
|
|
,4 = |
Гб |
3 |
2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!3 |
6 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
[2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
характеристическим |
уравнением является |
|
|
|
||||||||
Найти /1* и А~1. |
X3— 13Х* + |
13Х — 3 = 0. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У к а з а н и е . На основании |
теоремы Кэли-Гамильтона мат |
|||||||||||
рица |
А |
удовлетворяет |
своему характеристическому |
уравнению, |
||||||||
т. е. |
имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
А3 — 13Аг + 31А — ЗЕ = 0. |
|
|
||||||||
|
|
А3= 13А2 — 31А + ЗЕ, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
а-на |
основании формулы (9,12) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
А~1= -^(Лг — 13Л + |
31Я). |
|
|
||||||
О т в е т . |
|
198“ |
|
|
|
|
|
|
- 6 ' |
|||
А3 = |
454 |
427 |
|
т |
к - II |
|
1 |
|||||
427 |
454 |
198. |
|
|
2 |
—6 |
||||||
|
|
198 |
198 |
|
89 |
|
|
|
|
1—6 |
- 6 |
27 |
Задача |
9,13 |
(для' самостоятельного |
решения). Для матрицы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1] |
|
|
||
|
|
|
|
|
Л = |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 | |
|
|
||
характеристическим |
является |
уравнение |
|
|
|
|||||||
|
|
|
X3— ЮХ* + 24Х— 16 = 0. |
|
|
|||||||
Убедиться, |
что |
эта |
матрица |
удовлетворяет |
этому |
характери |
||||||
стическому уравнению. |
Определить |
обратную |
матрицу А ~ 1 и |
|||||||||
найти |
А3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т . |
Л“ » = |
^,(Л* — 10/1 + |
24Я); |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
' |
8 |
—4 |
|
0' |
|
|
Аь= Ш г— 2\А+ 16Е;
84 |
112 |
76' |
[11 2 |
160 |
112 . |
76 112 84
Задача 9,14 (для самостоятельного решения). Найти характе ристическое уравнение матрицы
|
|
1 |
2 |
2' |
|
[2 |
1 |
— 2 , |
|
ее собственные значения |
и, пользуясь теоремой Кэли-Гамильтона, |
|||
обратную ей матрицу А~х 2 |
— 2 |
1 |
||
О т в е т . 1) X3 — ЗХ2 — 9Х + 27 = 0; |
||||
2) Х2 ■ 3) |
Х2 = 3; Х2 — —3[ |
|||
3) а -1 = - ± (А * — ЗА -9Е ) |
||||
А '1 = — 272 |
|
|
- 6' |
|
‘ |
|
6 |
||
|
|
|
|
—3 |
С о д е р ж а н и е . Применение матриц к приведению квадратичной формы двух переменных к сумме квадратов (к каноническому виду). Упрощение урав нений кривых второго, порядка.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Упрощениями уравнений кривых второго порядка мы уже за нимались в первой части этой книги на четырнадцатом практи ческом занятии. Сейчас возвратимся к этому вопросу и покажем, что привлечение матричного исчисления к решению этой задачи значительно облегчит его.
Прежде всего кратко изложим теорию приведения квадратич ной формы двух переменных к сумме квадратов, к так называе мому каноническому виду, и полученные выводы применим к уп рощению общего уравнения кривой второго порядка.
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ПРИВЕДЕНИЕ ЕЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ (К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ).
Квадратичной формой двух |
переменных |
называется |
выражение |
||||||
вида |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р ( * 1, * г ) = |
Е |
2 |
Ъ / х а / . |
|
( 1 0 ,1 ) |
|||
|
|
|
|
/-1 1-1 |
|
|
|
|
|
В развернутом виде оно записывается так: |
|
|
|
||||||
Р(х1, Х г ) |
2 |
(а,/*,*/ + аг,хгх,) = |
|
||||||
= 2 |
|
||||||||
= Ч\\ХхХу |
Дц*!** + |
ПцХаХ} |
а22х2х2. |
|
|||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (*1 . *2> = аих\ + |
а 12х,х2 + |
ал1хгхл+ |
а22х§. |
( Ю.2) |
|||||
Если окажется, |
что |
коэффициенты а 12 |
и 021 |
при произведении |
|||||
х,х2 равны между |
собой, т. |
е. а21 — а1 2, то формула |
(10,2) при |
||||||
мет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (х2, |
х2) = ацХ2, + |
2аг2х,х2 Н- |
|
(Ю.2 ,) |
С таким |
видом квадратичной • формы |
мы будем встречаться |
||
при решении задач. Легко проверить, что |
выражение (10,2) может |
|||
быть записано в виде произведения трех матриц |
||||
|
хг) = (х,, |
хг] • Р*1' |
(Ю.З) |
|
|
|
1 |
а21 |
|
Введем такие обозначения: |
|
|
|
|
|
Л = |
|° “ |
в“ 1 , |
(Ю.4) |
|
|
1021 |
аггГ |
|
А — матрица |
коэффициентов квадратичной формы. |
Если квадратичная форма имеет вид ( 10,2), то матрица ее коэффициентов будет симметричной и запишется так:
[Оц
(Ю.4»)
1о,2 о**]'
Таким образом, элементы, стоящие на второй диагонали, равны между собой и каждый из них равен половине коэффициента при произведении х»х2 в квадратичной форме (10,2»). Именно в таком виде (10,4») мы и будем применять матрицу А коэффициентов квад ратичной формы при решении зад?ч. Обозначим
|
* - ! ; ; ] * |
<а д |
|
|
X ' = |
[х, хг] |
(10 ,6) |
(матрица X' является |
транспонированной матрицей X). |
|
|
Выражение (10,3) |
с этими обозначениями запишется так: |
||
|
Р(хи хг) = Х'АХ. |
(10,7) |
|
Задача состоит в |
том, чтобы |
выражение ( 10,2») или, |
что то |
же, выражение (10,7) |
представить |
в виде суммы квадратов. В этом |
виде оно не должно содержать члена с |
произведением переменных |
|
х» и х2. Преобразуем это выражение к |
новым |
переменным х[ и х'2 |
так, чтобы оно приняло вид |
|
|
Р (х,, х^) = Х,х;2 + |
Х2х;*, |
(10,8) |
причем может оказаться, что один из коэффициентов X, или Хг будет равен нулю. Это выражение, как легко проверить, можно представить в виде произведения трех матриц
Р (х», X,) |
1*1 |
(10,9) |
или, введя |
обозначения |
|
( 10, 10) |
|
( 10, 11) |
|
( 10, 12) |
получим |
(10,13) |
|
|
Таким |
образом, задача сводится к определению коэффициентов |
Хх и Х2 в |
выражении (10,8). |
X
Фиг. Ю,1
|
Перейдем к геометрическому истолкованию этого преобразо |
|||||||||||
вания. |
Будем |
рассматривать |
переменные х1 и х2 как |
координаты |
||||||||
точки |
М на |
плоскости |
в системе |
прямоугольных координат (х1( |
||||||||
Хг): |
ось |
ОХу— ось абсцисс, |
а |
ось |
Ох2— ось |
ординат. Сохраняя |
||||||
без |
изменений начало |
координат, |
повернем систему |
координат |
||||||||
х,Охг |
на |
некоторый угол а. |
|
Мы получим |
новую систему |
коор |
||||||
динат, |
которую обозначим ххОх2, а |
координаты |
точки |
М в |
новой |
|||||||
системе координат — через х\ |
и х2 (фиг. 10,1). |
|
|
|||||||||
|
Единичные векторы осей первоначальной системы координат |
|||||||||||
назовем ( и /, |
а новой системы |
координат — соответственно (х и /х. |
||||||||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С05(I, |
1у) = С05 а = /п; |
С05(/, |
/х) = |
С05 (90 |
+ |
а ) = —51П а = /12; |
||||||
сову, |
1у) = С05(90° — а)=51па = /аг, С05(/, |
/О—соз а = /22. |
(10.14) |
Радиус-вектор точки М (*,, хг) в первоначальной системе коор динат
г— Ху1+ X*/,
ав новой системе координат
Г= ДГ||'| -(■ -<2/1,
поэтому
X I I + Х г ! = |
(10,15) |
Умножая обе части этого равенства сначала на I, а потом на
/. учитывая также, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, принимая во внимание обозначения (10,14) и то, что модуль орта равен единице, зная, что для скалярных произведений ортов осей прямоугольной системы координат имеют место равенства
7 |
. 7 * |
( |
если к ф р |
|
* |
’р * |
I |
1, если к шв р, |
|
получаем |
Х1— Х\1ц + Х2112] |
|
||
|
|
|||
|
X*= |
х[1п + х'2и2. |
(10,16) |
Эти формулы выражают первоначальные координаты хх и хг точки через ее новые координаты х[ и х'2. В матричном виде эти формулы выглядят так:
(10.17)
Учитывая уже введенные обозначения (10,5) и (10,10) и вводя обозначение
5=[';: <,о’|8)
формулы (10,17) перепишем в виде
Х = 5Х*. |
(10,19) |
Матрица 5 называется матрицей преобразования. Заметим, что, как это следует на основании (10,14), она ортонормирована. Дей ствительно,
Л1^12 + |
1ъ\1гг — 0; |
+ |
/*( — 1» |
/и^21 + |
Лг^гг “ 0; |
/*2 + |
1\г * 1. |
Из этого вытекает, что транспонированная к ней матрица
5 ' = |
Ч |
|
22-1 |