книги / Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии
..pdfВ табл. 36 факторы *4, x s , Хб |
и х? приравнены произведениям |
факторов: |
|
Х4=• *i*2 , *5 = *1*з; |
*6 = X2X3irX7= *i*2*3 • |
В связи с этим все линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия.
Поскольку число опытов в насыщенных планах равно числу оп ределяемых коэффициентов, число степеней свободы остаточной дисперсии равно нулю. Для проверки адекватности линейного урав нения, полученного по насыщенному плану, необходим дополни тельный эксперимент.
Таким образом, оптимальные двухуровневые планы 2к и имеют следующие преимущества: планы ортогональны, и поэтому все вычисления просты, все коэффициенты определяются независи мо друг от друга; каждый коэффициент определяется по результа там всех N опытов. Эти планы обладают также свойством D-опти мальности: для данного числа опытов N они имеют минимальный
определитель ковариационной матрицы {ХТХ )~ 1. Вследствие этого все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой и мини мальной дисперсией. Необходимо также отметить, что линейные планы 2к и 2к~Р обладают свойством ротатабельности. Вследствие отсутствия корреляции между коэффициентами по закону сложения дисперсий для линейного уравнения при k факторах имеем:
|
= 5 ь0+ |
+ |
,2_2 |
|
(V.29) |
|
+ xk*bus |
|
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
Sbj |
5воспр/^» |
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
воспр |
(1 + Х* + |
. .. + х 2) = • Jвоспр |
(1 + Р2), |
(V.30) |
|
~N |
|
|
N |
|
|
|
р2= 2 . |
|
|
|
|
|
|
7-г |
|
|
|
где р2 — квадрат радиуса сферы в fc-мерном пространстве. Величи ну, обратную sv2, можно принять за меру информации, содержа щейся в уравнении регрессии. Согласно (V.30) количество инфор мации убывает пропорционально квадрату радиуса сферы р2 и оди наково для всех эквидистантных точек (рис. 28). Планирование, обладающее таким свойством, называют ротатабельным планиро ванием.
Приведем в общем виде схему дисперсионного и регрессионного анализа планированного эксперимента, когда каждый опыт в мат рице планирования повторялся пг раз (табл. 37).
|
|
М а т р и ц а п л а н и р о в а н и я |
и р е зу л ьт ат ы |
изм ерений |
|
|
||
Номер |
Х0 |
Хх |
Хъ |
x k |
У |
|
У |
|
опыта |
|
|
||||||
1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
. . . + 1 |
Уп> У12» • • • » |
У1т |
7l |
4 |
2 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
. . . + 1 |
У2\, У22>->- » У2т |
~У2 |
4 |
|
3 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
. . . + 1 |
|
|
|
|
N |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
. . . — 1 |
ут > Ут*" •» |
y Nm |
yN |
s i |
В каждой строчке матрицы планирования определяется среднее значение измеряемой величины по т параллельным опытам:
2 |
уIй |
|
|
|
|
У; = — |
------ , i = 1, 2 . . . . N |
|
(V.31) |
||
и дисперсия |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т |
' У1)2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
и~1 |
|
i = 1, 2,. |
N. |
(V.32) |
|
т — 1 |
|||||
|
|
|
Проверяется однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена. Для этого составляется отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:
|
|
^ |
52 |
|
|
|
• s ma \ |
|
|
|
|
° = — ----- * |
|
|
|
|
|
2 - ? |
|
|
|
|
/=1 |
|
Полученное |
отношение |
сравнивает |
||
ся с табличным: Gi_p(fi, f2)> где р = |
||||
= 0,05; |
f\ = m—1; f2 = N. |
Если G< |
||
Рис. 28. Свойство ротатабель- |
|
/2), дисперсии однородны. |
||
ности линейного плана 22 |
Тогда в качестве оценки для дис- |
|||
Персии воспроизводимости можно взять среднюю дисперсию |
||||
|
N |
5* |
|
|
|
2 |
|
|
|
гп = |
<-1 |
|
|
(V.33) |
воспр |
дг |
|
|
|
с числом степеней свободы /воспр —N(т—1).
172
Коэффициенты уравнения регрессии определяются по формуле
N
2 хпУ1
*=1
Ь] = |
( V .3 4 ) |
|
N |
Учитывая, что дисперсия у, полученного по выборке объема т, в т раз меньше дисперсии единичного измерения:
5^- = 4 ,с п р /да. |
( V -3 5 > |
в рассматриваемом примере (табл. 37) дисперсия коэффициентов Sbj определяется следующим образом:
= |
(V .3 6 ) |
Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюдента. В условиях нулевой гипотезы Н° Pj = 0, отношение абсолютной величины коэффициента уравнения регрессии к его ошибке имеет распределение Стьюдента. Для всех коэффициентов уравнения рег рессии составляется /-отношение
0 = |
(V .3 7 ) |
которое сравнивается с табличным t\-p(f) |
для уровня значимости |
р = 0,05 и числа степеней свободы f = N(m —1). Если /j< /i-p(f), то принимается гипотеза равенства нулю генерального коэффициента
регрессии f$j= 0, |
а соответствующий выборочный коэффициент bj |
как незначимый |
отсеивается из уравнения регрессии. При этом |
ввиду ортогональности матрицы планирования остальные коэффи циенты не приходится пересчитывать.
Адекватность уравнения регрессии эксперименту проверяется ^так же, как и при обработке пассивного эксперимента, по крите рию Фишера. В матрице планирования (табл. 36) каждый опыт повторялся т раз. Для проверки адекватности составляется диспер сионное отношение
|
2 |
F = sад/* воспр» |
|
где 52ад— дисперсия адекватности, определяемая формулой |
|
N |
_ |
т 2 |
0/г —Vi)2 |
2 _ |
(V .3 8 ) |
5ад |
N — l |
/ — число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.
Если полученное дисперсионное отношение оказывается меньше
табличного: |
|
/? < Л - р ( /ь / 2), |
(V .3 9 ) |
где р — уровень значимости; fi — число степеней свободы дисперсии адекватности,
|
— |
(V.40) |
/2 — число степеней свободы |
дисперсии |
воспроизводимости, fz — |
— N {т—1), уравнение адекватно эксперименту. |
||
Если |
|
|
r > |
F \ - PUx, / 2), |
(V.44) |
то для адекватного описания эксперимента необходимо увеличить порядок аппроксимирующего полинома.
3. Оптимизация методом крутого восхождения по поверхности отклика. Задача оптимизации ставится таким образом: необходимо определить экспериментально координа'ты экстремальной точки (*10ПТ, *2 0пт, . Хк0ПТ) функции y = f ( x 1, *2 , , X k ) . Построим кон турные сечения z/= const поверхности отклика для й=2 (рис. 29, а). При традиционном эксперименте обычно фиксируют один из фак-
Рис. 29. Движение по поверхности отклика (а) к экстрему му в однофакторном эксперименте и в методе крутого восхождения (б)
торов, например х\, и двигаются из точки L в направлении оси xz- Координаты точки L известны из предварительных опытов. Движе ние по xz продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост у (рис. 29, б).. В точке с лучшим выходом М фиксируется фактор Xz и начинается движение в направлении оси Х\ . В точке N снова фиксируется Х\ и начинается опять движение по переменной Xz и и т. д. Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной LMNR не са мый короткий. Известно, что движение по кратчайшему, наиболее крутому пути — это движение по градиенту, перпендикулярно лини ям y = const (на рис. 29, а показано пунктиром). Если описание по
верхности |
отклика |
в общем |
случае y = f ( x 1, Х 2, |
X / , ) , градиент |
||
функции |
|
|
df_ |
|
df_ —► |
|
|
grad / |
= |
i + |
(V.42) |
||
|
dxi |
J + |
||||
|
|
|
|
д х 2 |
|
|
где i, j, |
k — единичные векторы в направлении |
координатных |
||||
осей. |
|
|
|
|
|
|
Предполагается, что функция f непрерывна, однозначна и не имеет особых точек. Бокс и Уилсон [8] предложили шаговый метод движения по поверхности отклика. В окрестности точки L ставится эксперимент для локального описания поверхности отклика линейнйм уравнением регрессии:
^»
У = ь о + Ь \Х \ + #2*2 + .. • + &kxJi> |
(V *43) |
Далее двигаются по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения:
ду |
t . дУ |
^2» • |
(V.44) |
-----= |
0i,------ |
||
дхх |
дх2 |
|
|
При постановке опытов величина шага должна быть пропорцио нальна произведению коэффициента bj на интервал варьирования bjhzj. Если одного линейного приближения недостаточно, то ста вится новая серия опытов с центром в точке, которая соответствует наибольшему значению у, и находится новое направление для дви
жения по поверхности отклика. Такой шаговый процесс продолжа ется до достижения области, близкой к экстремуму, или «почти
стационарной области».
Направление градиента зависит от выбранного интервала варь ирования независимых факторов. При изменении в п раз интервала варьирования для некоторого /-го фактора, меняется в п2 раз ве личина шага для этого фактора, так как в п раз изменяется коэф фициент регрессии bj и также в п раз — интервал варьирования. Инвариантными к изменению интервала остаются только знаки со ставляющих градиента. Удачный выбор интервала варьирования во многом связан с наличием априорной информации о параметриче ской чувствительности процесса. Интервал варьирования должен быть достаточно велик, чтобы диапазон изменения выходной вели чины был в несколько раз (не менее 3—4 раз) больше ошибки вос производимости. В то же время для большинства процессов линей ное приближение поверхности отклика адекватно эксперименту только при небольших интервалах варьирования. Если на величины интервалов варьирования не наложено никаких ограничений, их стремятся выбрать таким образом, чтобы получить уравнение рег рессии, симметричное относительно коэффициентов при линейных членах. Обработка результатов эксперимента, связанного с крутым восхождением, должна сопровождаться тщательным статистиче ским анализом полученных результатов.
Пример 1. Определялся оптимальный состав фотохромного стекла в системе Li20 —AI2O3—S i02. В качестве параметров оптимизации (у) рассматривалась
оптическая плотность в облученном состоянии. Надо было определить состав стекла и условия его варки, обеспечивающие максимальную оптическую плот ность.
В качестве независимых факторов были выбраны: Z\ — исходная концентра ция хлора, г-атом/100 г стекла; z2— исходная концентрация брома, г-атом/100 г стекла; z3— соотношение Ag : Gl; z4— температура варки, °С; z5— время вы держки, ч; z6— содержание А120з, мол. доли; z7— соотношение Li20 /S i0 2.
Основной уровень zj |
0,0425 |
0,0187 |
0,0675 |
1325 |
1,75 |
0,1405 |
0,4165 |
||
Интервал варьирования |
0,063 |
0,0093 |
0,099 |
25. |
0,025 |
0,0165 |
0,0835 |
||
дгу |
-и |
||||||||
0,063 |
0,028 |
од |
1350 |
2 |
0,157 |
0,5 ‘ |
|||
|
—1 |
0,022 |
0,0094 |
0,035 |
1300 |
1.5 |
0,124 |
0,333 |
Р е ш е н и е . |
Для |
определения |
коэффициентов линейного |
уравнения ре |
||
грессии |
|
|
|
|
|
|
у = |
bо + |
Ь\Х\ + Ь2х 2 + |
&гх г ~Ь |
-f- b$x§ -f- b§x§ + |
Ь7х7 |
|
использована Vie от ПФЭ 27 с генерирующими соотношениями |
|
|||||
|
X4 = X i X 2X 3 , |
= |
х 6 = x l x 3 f Х 7 = Х 2Х 3 . |
|
Номер |
опыта |
1 |
|
Каждый опыт в матрице планирования (табл. 38) повторен два раза.
|
|
|
Т а б л и ц а 38 |
Хо Хх Ха |
Ха XS х 9 Хч Ух |
У2 |
У $2-10* У (у-?)*' 10* |
1 |
+ |
|
+ |
|
+ |
_ |
+ |
_ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,017 |
2,9 |
+ |
|
. + |
|
|||||||||||
2 |
+ |
+ |
— |
— |
|
— |
0,108 |
0,15 |
0,129 |
8,82 |
0,136 |
0,49 |
||
3 |
+ |
+ |
|
— |
— |
+ |
+ |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,0088 . |
0,48 |
4 |
+ |
— |
— |
+ |
— |
— |
+ |
0,194 0,16 |
0,177 |
5,78 |
0,1618 |
2,3 |
||
5 |
•+ |
+ |
+ |
+ |
— |
— |
— |
+ |
0,298 0,292 |
0,295 |
1,8 |
0,2896 |
0,29 |
|
6 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
0,400 0,408 |
0,404 |
0,32 |
0,4086 |
0,21 |
||
7 |
+ |
+ |
— |
+ |
-ь |
+ |
— |
— |
0,255 |
0,278 |
0,266 |
2,6 |
0,2638 |
0,073 |
8 |
+ |
+ |
— |
— |
+ |
— |
0,453 0,408 |
0,431 |
10,1 |
0,4344 |
0,015 |
Средние значения оптической плотности у получены по двум измерениям. Проверим однородность дисперсий Si2, /= 1, 2, ..., 8 по критерию Кохрена. Сумма
дисперсий равна
8-
2 «/ = 27,88-10-4.
1
Критерий Кохрена
5max |
10,1-10-4 |
G = |
0,364. |
N |
27,68-10-4 |
Табличное значение критерия Кохрена для уровня значимости р=0,05 и чисел степеней свободы fi —\t [2=8
O0i95(1,8) = 0,6798;
£ < ^ 0,95( 1,8) И) следовательно, дисперсии однородны. Дисперсия .воспроизводи
мости определяется в связи с этим как средняя арифметическая
N |
|
S |
27,88-10-4 |
s2восир __ |
3,5-10-4. |
Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно
/восир = N ( я — 1) = 8 (2 - 1) = 8 .
Коэффициенты уравнения регрессии определяем по формуле (V.34):
*0 = 0,2128, |
= |
0,0724, 62 = |
— 0,00575, |
63= 0,1363, |
*4 = — 0,00088, |
*5 = |
— 0,0129, |
*6 = — 0,041, |
*7 = 0,00625. |
Оценим значимость коэффициентов по критерию Стыодента. Для этого по формуле (V.36) определим ошибку коэффициентов
_ |
/ з л ю |
1 1 _ |
bi ~ V |
2-8 |
468-10-2 |
~ ’ |
и составим ^-отношение для всех коэффициентов уравнения регрессии
0,2128 |
45,5; |
0,0724 |
15,45; |
|
= |
0,468*10-2 |
|||
0,468*10-2 |
|
|
||
0,00575 |
|
0,1363 |
29,1; |
|
0,468*10-2 = 1,23; |
0,468*10-2 |
|||
0,00088 |
0 , 188; |
0,0129 |
2,77; |
|
0,468*10-2 |
0,468*10-2 |
|||
|
|
|||
0,0041 |
|
0,00625 |
|
|
h = 0,468*10-2 = |
0,875; |
0,468*10-2 |
= 1,35. |
Табличное значение критерия Стыодента /0,05(8) =2,31. Коэффициенты Ь2у 64, Ь6) Ь7 незначимы, так как составленные для них /-отношения меньше табличного.
После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид
^ = 0,2128 -Ь 0 ,0724л:1+ 0 ,13бЗлг3— 0,0129лг5.
Проверим адекватность этого уравнения эксперименту по критерию Фишера. Дисперсия адекватности определяется по (V.38):
2 |
2 2 (У1-Ъ)2 |
2*6,77*10-4 |
|
J t i __________ |
3,385*10-4. |
||
|
8 - 4 |
= |
|
|
|
|
|
Тогда /-'-отношение равно |
|
|
|
|
F = |
3,385*10-4 |
|
|
3,35*10-4 = |
1,01. |
|
|
воспр |
|
|
Табличное значение критерия Фишера для р=0,05, fi=4 и /2=8 ^о,95(4,8) =3,8. |
|||
^0,95(4,8) и уравнение регрессии |
адекватно эксперименту. Используем полу |
ченное уравнение для крутого восхождения по поверхности отклика для увели чения оптической плотности стекла. При крутом восхождении незначимые пара
метры |
были зафиксированы |
на |
нулевом |
уровне, |
время выдержки |
на нижнем |
||
уровне |
1,5 ч. Таким "образом, |
изменялись |
только |
исходная |
концентрация хлора |
|||
(г0 |
и соотношение A g : Cl (z3). |
Первые |
три опыта при |
крутом |
восхождении |
|||
(9, |
10, |
11) были «мысленные» |
(таблица). |
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве шагов взяты величины, |
||||||||
|
|
|
У |
в 2,5 раза |
большие |
произведений |
||||||
|
|
|
bjAzj. Лучший результат получен в |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
12-м опыте. |
Дальнейшее |
увеличение |
||||||
|
0,0425 |
0,0675 |
|
концентрации |
хлора |
и |
отношения |
|||||
4 |
|
Ag : О ухудшает фотохромные |
свой |
|||||||||
AZ] |
0,0205 |
0,099 |
|
ства стекла. В связи с этим были реа |
||||||||
|
0,0724 |
0,1363 |
|
лизованы |
|
пропущенные |
опыты |
10 |
||||
bj |
|
и 11. Получены следующие значения |
||||||||||
b)Az) |
0,00148 |
0,00443 |
|
оптической плотности стекла: |
|
|
||||||
Шаг |
0,0036 |
0,0111 |
|
#10 = |
0,496, |
|#п = |
0,561. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Номер |
|
|
Таким образом, |
в качестве опти |
||||||||
опыта |
0,0787 |
|
мального |
рекомендуется |
состав |
стек |
||||||
9 |
0,0462 |
— |
ла, полученный в 11-м опыте. |
|
|
|||||||
10 |
0,0498 |
0,0897 |
4. |
|
Описание |
области, |
близ |
|||||
— |
|
|||||||||||
11 |
0,0536 |
0,1008 |
кой к экстремуму. Композици |
|||||||||
12 |
0,0573 |
0,1119 |
0,552 |
|||||||||
13 |
0,0610 |
0,1230 |
0,500 |
онные планы Бокса— Уилсонл. |
||||||||
14 |
0,0647 |
0,1341 |
0,476 |
Область, |
близкую |
к |
экстрему |
|||||
15 |
0,0683 |
0,1452 |
0,436 |
му, называют также почти ста |
||||||||
16 |
0,0719 |
0,1563 |
0,426 |
ционарной |
областью. Это |
|
об |
|||||
|
|
|
|
ласть с существенной нелиней |
||||||||
сания |
которой необходимо |
|
ностью, |
для адекватного |
опи |
|||||||
использовать |
нелинейные |
|
полиномы. |
В настоящее время наиболее широко для описания области, близ кой к экстремуму, применяют полиномы второго порядка. Это связано с тем, что, во-первых, имеются хорошо разработанные пла ны второго порядка, во-вторых, с тем, что поверхности второго по рядка легко поддаются систематизации и, следовательно, определе нию экстремальной точки. И, наконец, увеличение порядка аппрок симирующего полинома приводит к значительному увеличению числа опытов.
Обычно эксперимент, реализованный для определения опти мальных условий процесса, можно адекватно описать полиномом второго порядка. При этом число опытов в плане N должно быть не меньше числа определяемых коэффициентов в уравнении регрес сии второго порядка для k факторов:
У = ьо + |
Ь\Х\ -}- #2*2 + |
• • • + bkx k "Ь Ъ\чХ\Хч |
. . . -Ь |
|
+ bk—i,kxk—Iх k + Ьцх\ "Ь• • • + Ьмх\. |
(V.45) |
|
Коэффициенты |
уравнения |
регрессии (V.45) |
служат оценками |
для соответствующих коэффициентов уравнения теоретической рег рессии:
|
т У ~ Ро + Pl*l + • • • + $kx k + |
Pl2*l-*2 + • • • 4- |
|||
|
+ ?k—i,k x k—\x k + ? n x i + |
•< • + $ttkx k* |
(V.46) |
||
Число |
коэффициентов I в полиноме второго |
порядка (V.45) |
|||
можно определить по формуле |
|
|
|
|
|
I = |
k -f- 1 + £ + С\ = 2k -j- 1 |
|
k\ |
(* + l)(* + 2) |
|
21 |
{k— 2)! |
(V .47) |
|||
|
|
2 |
где Ch2 — количество сочетаний из k факторов по два, равное чис лу эффектов парного взаимодействия в уравнении (V.45).
Если почти стационарную область адекватно можно описать теоретическим уравнением регрессии второго порядка (V.46), тог да становятся значимыми определенные по эксперименту эффекты взаимодействия факторов и квадратичные эффекты. Это позволяет установить факт нахождения в почти стационарной области. Бли зость почти стационарной области можно установить, если поста вить дополнительно к факторному плану 2h или 2к~Р опыты в цент ре плана (*i = 0; * 2 = 0; */t= 0) и вычислить среднее у0. Среднее у 0 является оценкой для свободного члена уравнения теоретической регрессии
(V.48)
в то время как коэффициент Ь0>подсчитываемый в факторном экс перименте по формуле
N
2 х 0iUi
,<-1
является совместной оценкой для свободного члена и суммы квад ратичных
и
*о-*Ро + |
2 |
(V.49) |
|
7-1 |
|
Поэтому разность |
k |
|
_ |
|
|
bo— У о ^ |
2 Р^ |
(V .50) |
|
7=1 |
|
может до некоторой степени служить мерой кривизны поверхности. Для описания поверхности отклика полиномами второго поряд ка независимые факторы в планах должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализова ны все возможные, комбинации из k факторов на трех уровнях, представляет собой полный факторный эксперимент Зк. В табл. 39 приведена матрица планирования полного факторного экспери
мента З2.
Т а б л и ц а 39
ПФЭ З2
Номер |
Хх |
х* |
У |
Номер |
Хх |
ЛГ |
У |
опыта |
опыта |
1 |
0 |
0 |
У\ |
5 |
+1 |
+ 1 |
Уъ |
2 |
+ 1 |
0 |
У2 |
6 |
—1 |
+ 1 |
У 6 |
3 |
—1 |
0 |
Уз |
7 |
0 |
— 1 |
т |
4 |
0 |
+1 |
У4 |
8 |
■+1 |
— 1 |
УЯ |
|
|
|
|
9 |
|
— 1 |
У9 |
Полный факторный эксперимент 3h требует слишком большого
числа опытов, намного превышающего число определяемых коэф |
|||||
фициентов I уже для k>2. |
|
|
|
|
|
Число опытов в ПФЭ 3h и число коэффициентов I в уравнении |
|||||
регрессии второго порядка приведены ниже: |
|
||||
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
б |
3* |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
1 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
Сократить.число опытов |
можно, |
если воспользоваться так на |
|||||
зываемыми композиционными или |
последовательными |
планами, |
|||||
|
предложенными Боксом и Уилсоном |
||||||
|
[8]. Ядро |
таких |
планов составляет |
||||
|
ПФЭ 2h при k<5 |
или полуреплика |
|||||
|
от него при k ^ 5 . |
Возможность ис |
|||||
|
пользования в качестве ядра плана |
||||||
|
полуреплики при k ^ 5 |
обусловлена |
|||||
|
тем, что уже полуреплика обеспечи |
||||||
|
вает получение |
несмешанных оце |
|||||
|
нок для |
линейных |
эффектов и эф |
||||
|
фектов |
парного |
взаимодействия |
||||
|
(см. гл. V.2). |
|
|
|
|
||
|
Если линейное уравнение регрес |
||||||
Рис. 30. Композиционный план |
сии оказалось |
неадекватным, необ |
|||||
второго порядка для k=2 |
ходимо: |
1) добавить |
2k |
звездных |
|||
|
точек, |
расположенных |
на |
коорди |
натных осях факторного пространства. Координаты звездных то чек:
( ± а , 0, . . . , 0), (0, ± а, 0, . . . , 0) . . . ( 0, 0, . . . , 0, ± а ) ,
где а — расстояние от центра плана до звездной точки — звездное плечо; 2) увеличить число экспериментов в центре плана по.
Рассмотрим построение композиционных планов на примере k = 2 (рис. 30). Точки 1, 2, 3, 4 образуют ПФЭ 22, точки 5, 6 ,7 ,8 — звездные точки с координатами (=Ьа, 0) и (0, ± а), координаты Яо опытов в центре плана нулевые— (0, 0) (табл. 40).
Т а б л и ц а 40
Композиционный план второго порядка для двух факторов
Номер |
*0 |
Хх |
*2 |
ХхХ3 А |
х2 1 |
Номер |
Х0 |
Хх |
хя |
ХхХ2 |
А |
|
опыта |
опыта |
|||||||||||
1 +1 |
+ 1 —1 —1 + i |
+ 1 |
7 |
+ 1 |
0 |
+ а |
0 |
0 |
||||
2 |
+1 + 1 + 1 +1 |
+ i |
+ 1 |
8 |
+ 1 |
0 |
—а |
0 |
0 |
|||
3 |
+1 |
— 1 |
+ 1 —1 + i |
+ 1 |
9 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
4 |
+1 |
— 1 |
— 1 +1 |
+ i |
+ 1 |
10 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
+1 |
—а |
0 |
0 |
а 2 |
о |
|
. |
|
. |
. |
|
6 |
+1 |
0 |
0 |
а 2 |
0 |
N |
0 |
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
0 |
0 |
toto
а2
а2
0
0
6