книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfформе оси, каким-либо образом нарушено, и рассмотрим последующее возмущенное движение стержня. Конечно, здесь, как при решении любой динамической задачи, необ ходимо исходить из определенных предположений относи
тельно |
распределения м а с с , даже если собственным |
в е с о м |
можно пренебречь по сравнению с силой Р. Оста |
новимся на случае, когда масса стержня равномерно распре делена по его длине.
Если обозначить интенсивность массы стержня через т, то интенсивность распределенных сил инерции запишется
в виде — и вместо (14.2) для прогибов o=v(z, t) полу
чится следующее дифференциальное уравнение в частных производных:
(15.1)
Частное решение этого уравнения имеет вид
V (г) е1'®"', |
(15.2) |
где V(z) — неизвестная функция, ©0 — неизвестная, вообще говоря, комплексная постоянная; от ее значений зависит общий характер возмущенного движения стержня. Если после данного ниже анализа окажется, что ©в — действи тельное число, то решение будет содержать слагаемые типа
и которые в сумме определяют гармонические колебания с частотой ©„, и систему следует признать устой чивой. Однако если юф окажется комплексным или чисто мнимым числом, то в решении возникнут слагаемые, содер жащие множители типа е“# и е~а*(а — действительное чис ло); независимо от знака а движение, соответствующее одно му из этих слагаемых, представляет собой колебания с воз растающими размахами или монотонный уход системы от положения равновесия, т. е. исследуемая система — неус тойчива.
При малых значениях Р частота ю0 — действительное число, поэтому наша задача сводится к тому, чтобы выяс нить, при каком значении сжимающей силы Р частота ©о перестает быть действительным числом.
Подставив (15.2) в (15.1), получим обыкновенное диффе ренциальное уравнение для функции V:
(15.3)
121
Здесь введены безразмерные параметры
C - f . |
Р= 1 Т . |
со = о |
§ j . |
(15-4) |
Общее решение уравнении (15.3) записывается в виде |
||||
У (£) — С, sin г& •: С„ cos Г|£ + С, sh r& -f C4 ch rt£, |
(15.5) |
|||
где |
|
|
|
|
|
/ ( T |
) 4 ^ ± |
| . |
(15-6) |
С помощью граничных условий |
(14.4) и (14.7) можно полу |
чить следующую систему однородных соотношений для по стоянных, входящих в (15.5):
С, + С4 = 0, |
ftC,-)- г,С,=0, |
|
С4 (г? sin тг-1- r{rt sh г4) + |
С* (r\ cos rl + rSch г,) = |
О, |
—С4 (г? cos г, + r ,r | ch г2) + С, (rj sin л,— r'ish rt) = 0 . |
(15.7) |
Приравнивая определитель этой системы нулю, приходим к следующему трансцендентному уравнению, которое свя зывает безразмерную нагрузку р с безразмерным параметром частоты со:
P4 + |
2ffls -10Ш sin г-Lsh r2 + 2coecos/,1c h ra= 0 . |
(15.8) |
||||||||||
Если сжимающая |
сила |
равна нулю (Р=0), то /•J=r|=<o и |
||||||||||
уравнение (15.8) |
переходит в обычное частотное уравнение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
для консольного |
стержня; |
кор |
|||||
|
|
|
|
|
ни этого уравнения действитель |
|||||||
|
|
|
|
|
ные. При |
возрастании сжимаю |
||||||
|
|
|
|
|
щей силы два наименьших кор |
|||||||
|
|
|
|
|
ня постепенно сближаются и при |
|||||||
|
|
|
|
|
критическом значении ркр= 20,05 |
|||||||
|
|
|
|
|
сливаются |
в один |
кратный |
ко |
||||
|
|
|
|
|
рень (рис. |
15.1). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
При |
дальнейшем увеличении |
||||||
|
|
|
|
|
нагрузки |
(параметра р) |
корни |
|||||
|
|
|
|
|
©становятся комплексными, т. е. |
|||||||
Рис. 15.1. График связи двух |
движение |
стержня |
будет |
пред |
||||||||
ставлять |
|
собой |
колебания |
с |
||||||||
низших безразмерных |
частот |
|
||||||||||
с безразмерным параметром |
возрастающими |
|
амплитудами |
|||||||||
нагрузки |
|
|
|
( ф л а т т е р |
стержня). Можно |
|||||||
|
|
|
|
|
было бы продолжить исследова |
|||||||
ние и установить, |
в |
|
частности, |
быстроту |
возрастания |
|||||||
амплитуд |
колебаний. |
Однако такие |
подробности |
прак |
тического интереса обычно не представляют: в конце концов, все равно, произойдет ли ставшее кеизбеж-
№
иым разрушение стержня через одну или через две секунды после приложения критической силы.
Согласно (15.4) критическая сила определяется выраже нием
Р .,-20 .0Б 4г- (15-9>
Она приблизительно в восемь раз больше силы, определяе мой выражением (14.1).
В случаях, когда масса стержня распределена неравно мерно по его длине, критическое значение силы окажется несколько иным; однако, как показали исследования, оно сравнительно мало зависит от распределения массы по дли не. Так, например, если вся масса сосредоточена на конце, то для критического параметра (5* иолучится значение 20,19, а если одновременно с равномерно распределенной массой имеется такая же сосредоточенная на конце масса, то {}*«16.
Впрочем, уже здесь мм должны предупредить читателя: коэффициент в выражении (15.9) заметно изменится, если принять во внимание вязкоупругие свойства метериала
стержня — даже |
п р и и с ч е з а ю щ е |
м а л ы х |
к о |
э ф ф и ц и е н т а х |
в я з к о с т и ; об |
этом см. в |
кон |
це § 16.
Кратко остановимся на истории вопроса о динамическом анализе устойчивости упругих систем.
Проверка устойчивости форм равновесия упругих си стем путем анализа свойств возмущенного движения была предложена давно. Однако, как мы уже писали во введении, в течение долгого времени как бы предполагалось (правда, отчетливо не формулировалось), что оценки, получаемые этим путем, должны совпадать с результатами исследования устойчивости статическими методами.
Недостаточность статического анализа и неэквивалент ность его динамическому исследованию устойчивости упру гих систем впервые были отмечены в 1927— 1929 гг., когда Е. Л. Николаи попытался с помощью метода Эйлера изу чить устойчивость консольного сжато-скрученного стержня. При этом неожиданно обнаружилось, что изогнутые формы равновесия возможны только при отсутствии скручивающе го момента, когда сжимающая сила достигает эйлерова значения. Отчетливо понимая, что отсутствие смежных форм равновесия еще не означает устойчивости основной формы, Е. Л. Николаи продолжил исследования устой чивости с помощью динамического метода (при этом выяви
123
лись также некоторые парадоксальные свойства системы, на которых мы здесь останавливаться не будем).
Выполненные Е. Л. Николаи исследования явились темой двух его докладов в Ленинградском механическом обществе (1927 г.). Выступивший при обсуждении П. Ф. Папкович *) высказал мысль о том, что неудача приложения
метода Эйлера к сжато-скручеиному стержню связана, повидимому, с неконсервативностью задачи.
В1939 г. В. И. Реут попытался применить метод Эйлера
кисследованию устойчивости стержня, нагруженного силой
сфиксированной линией действия (рис.
15.2); здесь также выяснилось, что прямо линейная форма оси стойки является единственной равновесной формой. В том же 1939 г. Б. Л. Николаи решил эту задачу путем исследования свойств движения системы и нашел конечное зна чение критической силы. В статье
Б . Л . Николаи справедливо отмечается:
«...для консервативных систем частоты колебаний с увеличением нагрузки умень
|
|
шаются |
и |
переход |
значений частоты А. |
||
|
|
от вещественных к мнимым происходит |
|||||
|
|
при А,=0; в этих случаях „статический" |
|||||
|
|
метод определения критической |
нагруз |
||||
Ш Ш |
ки вполне |
законен. |
Однако... |
в слу |
|||
чае схемы |
инж. Реута переход значений |
||||||
Рис. 15.2. Сжимаю |
|||||||
>. от вещественных к мнимым происходит |
|||||||
щая сила |
с фик |
||||||
сированной |
линией |
без всякого перехода через нуль, что |
|||||
действия |
лишает |
„статический" метод |
всякого |
||||
|
|
смысла». |
|
|
|
|
Эти разумные соображения далеко не сразу были оцене ны по достоинству. В § 14 мы уже писали об ошибке Пфлюгера и В. И. Феодосьева, которые в 1950 г. пытались применить метод Эйлера к решению задачи о действии следящей силы. Верное решение последней задачи было дано лишь в 1952 г. Бекком (для случая равномерного распределения массы по всей длине стойки); это решение было воспроизведено в предыдущем параграфе.
С этого момента, в значительной степени благодаря работам Г. Циглера и В. В. Болотина, динамический метод
*) Петр Федорович Папкович (1887— 1946) — профессор Военноморской академии, автор многих работ но теории устойчивости упругих систем и строительной механике корабля. С 1933 г.— член-корреспон дент АН СССР.
124
исследования устойчивости упругих систем завоевывает всеобщее признание, и к настоящему времени с помощью этого метода уже решено много задач о действии следящих нагрузок. В одном из обзоров но теории устойчивости упру гих систем справедливо отмечается: «Несмотря на то, что в элементарной физике анализ устойчивости всегда основы вается на теории маловозмущекных движений, теория упру гой устойчивости, следуя за Эйлером, Лагранжем и Брайа ном, почти исключительно основывается на соображениях статики. Довольно курьезным является тот факт, что ана логичная чисто статическая теория является вполне удов летворительной теорией для линейных упругих систем, нагруженных консервативными силами».
Словом, удивляться следует не тому, что статические методы могут оказаться недостаточными, а скорее тому, что они вообще эффективны для широкого класса задач. Беда, однако, в том, что границы этого класса представля ются недостаточно ясными. Хотя обычно применимость метода Эйлера связывают с потенциальностью действующих сил, но строгого обоснования достаточности или необходи мости этого признака пока не дано.
Известны случаи, когда метод Эйлера отказывает при анализе устойчивости к о н с е р в а т и в н о й системы— например, консольной стойки под действием следящей силы, если вся масса системы сосредоточена на конце стойки (этот пример был указан Л . И. Балабухом *)). Впрочем, по этому поводу Г. Ю. Джанелидзе **) писал: «Говоря о применимо сти бифуркационного критерия в консервативных задачах, мы имеем в виду не только формальную консервативность (существование интеграла энергии), но и положительную знакоопределенность потенциальной энергии. Обычно это условие выполняется, и о нем не принято говорить. Но в рассматриваемой системе, вследствие ее крайней схемати зации, приходится вспомнить и об этом дополнительном условии. В других случаях схематизация массовых свойств стержня (например, при двух сосредоточенных массах или при массе, имеющей иверцию вращения, и тем более при
*) Лев Иванович Балабух (1910—1978) — профессор Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана, автор многих работ в области прикладной теории упругости и строительной механики тонкостенных конструкций.
••) Георгий Юстинович (Иустивович) Джанелидзе (1916—1964) —- профессор Ленинградского политехнического института им. М. И. Ка линина, автор исследований ряда вопросов теории колебаний механи ческих систем и теории упругости.
125
распределенной массе) такой проблемы не возникает, ибо тогда система неконсервативна и в формальном смысле».
С другой стороны, методом Эйлера успешно исследуется устойчивость некоторых неконсервативных систем, в част ности нагруженных следящими силами. Одним из примеров может служить давно решенная задача об устойчивости радиально сжатого кольца, если радиальная равномерно распределенная нагрузка остается при изгибе кольца нор мальной к изогнутому контуру; другой пример — устой чивость двухопорных стержней при действии следящих сил, равномерно распределенных вдоль оси (ряд таких задач был решен в 1962 г. и позднее Г. Лейпхольцем). По-видимо му, граница применимости метода Эйлера не совпадает с границей, разделяющей области консервативных и некон сервативных систем. Некоторые полезные соображения по поводу границы применимости метода Эйлера для систем с двумя степенями свободы были высказаны в 1966 г. В. Хаугером.
Определенный практический интерес представляет зада ча о действии продольной следящей силы на конец свобод ного упругого стержня, центр масс которого ускоренно дви жется; статическая постановка вопроса об упругой устойчи вости такого стержня вообще лишена смысла. Первое решение этой задачи было дано в 1960 г. К. Н. Гопаком, который, заменив распределенную массу стержня шестью сосредоточенными массами, нашел для критической силы приближенное выражение
^ = 9 0 ^ - . |
(15.10) |
Впоследствии значение коэффициента в выражении (15.10) было уточнено рядом исследователей. В частности, в 1965 г. В. И. Феодосьев получил для этого коэффициента значение 109,7; близкий к этому результат получил в этом же году Т. Бил.
Изложенное выше динамическое исследование устойчивости стерж ня с равномерно распределенной массой было проведено в 1952 г. Бекком (см. его статью в cZcitschr. angew. Math. Phys.», 1952, т. 3. № 3). Одновременно была опубликована статья Г. Циглера, в которой тем же методом была исследована устойчивость системы с двумя степенями сво боды (двойной маятник с упругими шарнирами) (см. «log. Arehiv», 1952, т. XX, с. 49—56). Случай стержня с распределенной массой, ко торый несет на конце дополнительную сосредоточенную массу, был ис следован А. Пфлюгером (см. «Zeitschr. angew. Math. Mech.», 1955, т. 35. № 5).
126
Статья Г. Ю. Джанелидзе «Устойчивость упругих систем при ди* панических нагрузках» опубликована в сборнике «Проблемы устойчиво сти в строительной механике» (М.: Строниэдат, 1965, с. 81—82).
Исследования Е. Л. Николаи включены в сборник его работ «Тру ды по механике» (М.: Гостехиэдат, 1955, с. 357—406). Р а б о т В. И. Реутэ и Б. Л. Николаи были опубликованы в вып. 1 «Трудов Одесского института инж. гражд. и коммунальн. стр-ва* (1939).
Проблеме устойчивости свободного стержня, подверженного дей ствию следящей силы, посвящены работы К- Н. Гопака (Изв. АН СССР,
ОТН, Механика и машиностроение, 1960, № 4), В. И. Феодосьева (Прикл. мат. и мех., 1965, т. 29, № 2), Т. Била (Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 3), Кёнига (Raumfahrtforschung. 1964, т. 8, № 1); результаты В. Д. Бабанского и О. А. Горошко см. в книге последнего «Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета» (Киев: Наукова думка, 1965).
*Работа В. Хаугера опубликована в журнале «Ing. Archiv» (1966,
т.35); в этой работе также приводятся результаты решения задач о действии равномерно и неравномерно распределенных продольных сле дящих нагрузок. В том же журнале несколько ранее был опубликован
упомянутый в тексте цикл работ Г. Лейпхольца.
По затронутым в этом параграфе вопросам читатель может в первую очередь обратиться к книгам В. В. Болотина «Нсконсерватнвные зада чи теории упругой устойчивости» (М.: Физматгиз, 1961) и Г. Циглера «Основы теории устойчивости конструкций» (М.: Мир, 1971). Цитиро ванный на с. 138—139 текст заимствован из статьи Секлера я Фына «Неустойчивость тонких упругих оболочек» (в ки: Упругие оболочки.— М.: ИЛ, 1962, с. 67).
§ 16. Парадокс Циглера
Важность задачи о действии следящей силы далеко не полностью определяется непосредственными практическими приложениями (которых вовсе не так много); в гораздо большей мере эта задача имеет общеметодическое, эталонное значение. Ее изучение помогло выяснить, насколько сущест венны различия между статическим и динамическим метода ми исследования устойчивости, а такж е— в связи с обна ружением «парадокса дестабилизации» — стимулировало анализ своеобразного влияния малого трения на устойчи вость систем с неконсервативными силами.
Названный парадокс был отмечен Г. Циглером в статье, опубликованной в 1952 г., где, в частности, рассмотрена система с двумя степенями свободы, близкая к изображенной на рис. 14.2, но отличающаяся от последней тем, что грави тационное поле считается отсутствующим и шарниры обла
дают |
в я з к о у п р у г и м и свойствами; при этом момен |
||
ты в |
шарнирах соответственно |
имеют вид |
—с<рi—&q>i и |
—с («ря—фО—Мфз—Ф»). Приняв, |
что массы |
грузов равны |
2/« и т, Г. Циглер пришел к следующим дифференциальным
127
уравнениям |
движения: |
|
|
3т/»ф! + |
+ Ь(2ф,— <р*)+ |
(2с—Р1) ф£ +- (Pt- с ) Ф, = 0, |
|
|
|
|
(16.1) |
тРф !+ тР<р9+ Ь(ф,— Фх) + с (ф, — Фх) = 0, |
|||
которым соответствует характеристическое уравнение |
|||
|
+ |
+ |
(16.2) |
причем А = 7Ь /(2т/*), А,=(7с—2Pl)/(2nd*)+b*l(2тЧ*), Л ,= =Ьс!(т*Р), А<—с*1(2т2Р).
Для устойчивости системы необходимо, чтобы веществен*' ные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными.
Для этого в свою очередь нужно, чтобы величины
Аи ЛхЛ4- Л „ Л х Л А -Л З - Л М * , Л4 (16.3)
были положительными. Эти условия Гурвица для уравнений четвертой степени приводят к следующим неравенствам:
1 ) » > 0 ; |
2) Р < ^ . + ^ ; |
|
|
, , В . 4 1 С . |
Ь* |
. п |
О 6 -4) |
3> р < т + т ь '' 4) ^ > ° - |
|
Из условия 1) следует, что при отрицательном коэффициен те вязкости система всегда неустойчива. Условие 4) выполня ется автоматически. Из условия 3) (более жесткого, чем ус ловие 2)) следует, что при положительном демпфировании критическая сила равна
№
При исчезающе малом демпфирова ии, когда Ь-*- 0, имеем
/>,р= 1,464-у. |
(16.6) |
Эти результаты иллюстрированы в виде диаграммы устойчи вости на рис. 16.1 (смысл дополнительной точки Р, отме ченной на оси ординат, будет пояснен немного ниже). Пока в этой диаграмме не видно ничего неожиданного или пара доксального: во всяком случае влияние, которое оказывает трение, представляется вполне естественным — с увеличе нием трения (коэффициента Ь) область устойчивости расши ряется.
128
Обратим теперь внимание на результат (16.6), соответ ствующий случаю исчезающе малого трения (/>-*-0). Me ка жется ли читателю, что, положив с самого начала Ь==0, мы придем к тому же значению (16.6)? Чем определеннее читатель думает, что названное совпадение предрешено, тем больше он будет удивлен, ознакомившись со следующи ми выкладками.
Итак, допустим, что задача решается в исходном пред положении 6=0. Тогда вместо (16.2) характеристическое уравнение оказывается биквадрат ным:
V + |
= |
(16.7) |
причем по-прежнему |
|
Л*=(7с— |
—2Pf)l(2ml*), At=c4(2m2l*). В этом вырожденном случае нельзя непос редственно воспользоваться усло виями Гурвица (16.3), и для выяс нения свойств возмущенного дви жения нужно определить знак дискриминанта
Рис. 16.1. Диаграмма ус тойчивости для системы Циглера
Д = Л ? - 4 Л 4 |
(16.8) |
при различных значениях силы Р. Если эти значения достаточно малы, то дискриминант (16.8) больше нуля и все корни уравнения (16.7) мнимые. В этом случае возму щенное движение представляет собой сумму двух гармони ческих колебаиий с частотами
т. е. состояние равновесия у с т о й ч и в о . При возраста нии силы дискриминант (16.8) уменьшается и при
Р = Р = 2,086-^- |
(16.9) |
меняет знак. Если к системе приложить силу, значение ко торой больше, чем (16.9), то Д <0, и корни уравнения (16.7) уже не будут мнимыми. Среди них найдется по крайней мере один комплексный с положительной вещественной час тью или вещественный положительный корень. Соответст венно возмущенное движение системы окажется неограни ченно возрастающим, т. с. состояние равновесия системы н е у с т о й ч и в о . Получается, что если 6= 0, то система
129
устойчива при Р<Р и неустойчива при Р > Р , т. е. значение Р (отмеченное на рис. 16.1 дополнительной точкой на оси ординат) как будто определяет критическую силу.
Но результаты (16.6) и (16.9) существенно различаются, т. е. оценки устойчивости системы без демпфирования за висят от того, на каком этапе анализа совершается переход
к вырожденной схеме. В этом |
и состоит п а р а д о к с |
Ц и г л е р а . |
|
Для того чтобы разобраться |
в этой — нужно сказать, |
довольно редкой — ситуации, сосредоточим свое внимание на «спорном» участке оси ординат Р,ц^Р<.Р на рис. 16.1. Любой точке этого участка соответствует возмущенное дви жение в виде гармонических колебаний; именно об этом (и только об этом!) свидетельствует анализ вырожденного характеристического уравнения (16.7). В подобных случа ях — когда движение системы без трения представляет собой гармонические колебания — мы склонны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения действительное движение будет носить характер затухающих колебаний (т. е. что система в дейст вительности асимптотически устойчива). Однако для такого заключения (можно сказать, для такой н а д е ж д ы ) не всегда есть основания. Принимая с самого начала 6—0, мы привязываем исследование к оси ординат и попросту не можем судить об изменении свойств возмущенного движе ния, если при какой-либо фиксированной силе Р в систему вводится трение. Для такого суждения необходим анализ полного характеристического уравнения (16.2), и лишь после этого выясняется, что при любой силе, принадлежа щей рассматриваемому участку, и любом, сколь угодно малом коэффициенте вязкости (отрицательном или положи тельном) система в своем возмущенном движении н е б у- д е т все время оставаться в окрестности состояния равнове сия. Можно сказать, что при сколь угодно малом демпфиро вании изображающая точка, лежащая на рассматриваемом участке, «соскальзывает» в область неустойчивости. Образно говоря, эшг участок представляет собой бесконечно узкий аппендикс, отходящий от материка устойчивости и омывае мый с обеих сторон морем неустойчивости.
Отсюда можно заключись, что состояния равновесия,
соответствующие участку 1Ркр, Р|, нельзя считать устойчи выми в полном смысле этого слова, поскольку их «устойчи вость» разрушается любым сколь угодно малым трением; такие состояния называют квази- или псевдоустойчивыми
130