книги / Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках
..pdfГ л а в а 4
Расчеты на сопротивление усталости при случайных нагрузках
§13. Расчеты при дискретных потоках случайных нагрузок
Расчеты на сопротивление усталости при дискретных потоках случайных нагрузок (рис. 13.1, а) основаны на результатах ма тематического описания и анализа таких воздействий (см. § 9) и на информации о прочностных свойствах материалов (см. § 1). Разрушение конструкции при случайных нагрузках может про изойти либо в момент достижения процессом нагружения at = ot (i = 1, 2, 3, ...) опасного уровня напряжений <т*, либо при на копленном усталостном повреждении, достигающем опасного зна чения v* = 1 (рис. 13.1, б). Под разрушением в этом случае по нимается либо появление в конструкции недопустимой по вели чине пластической деформации (тогда а„ = от, где <гт — предел текучести), либо появление магистральной усталостной трещины. Методы расчета элементов конструкций с учетом роста уста лостных трещин рассматриваются в гл. 5.
Прочностная надежность конструкции при заданном времени t нагружения оценивается вероятностью непревышения процессом нагружения a (f) уровня <т* и вероятностью непревышения про цессом накопления усталостных повреждений v (t) уровня v*. Может быть также поставлена задача по определению времени Т (см. рис. 13.1), которое соответствует моментам первого дости жения процессом о (/) уровня сг* или процессом v(t) — уровня v*.
Вероятность непревышения процессом a (t) уровня о* за время t может быть вычислена по формулам (9.9), (9.13) и (9.16), в которых вместо произвольного уровня воздействий х следует подставить напряжение сг*.
При стационарных процессах нагружения наиболее эффек тивную оценку для этой вероятности дает формула (9.16), кото рую можно записать в следующем виде:
1 - |
I {1 — F(ff*)} |
при |
()< * < /* ; |
H(t) = |
О |
при |
(13.1) |
|
t>t+, |
132
Рис. 13.1. Дискретный поток случайных воздействий (а) и процесс накопления усталостных повреждений (б)
Рис. 13.2. Изменение надежности (вероятности неразрушения) со временем (а) и функция распределения дол говечности (б)
где Н (0 — надежность конструкции за время t (вероятность не разрушения); ? — средний интервал времени между нагруже ниями; F (а) — функция распределения действующих напряже ний; <х* — опасный уровень напряжений; — корень уравнения
M l - F (**)] = ?.
Функция распределения времени, соответствующего моменту первого достижения процессом о (/) уровня а*,
1 |
при *>*«,; |
Ф(0 = |
(13.2) |
т О . - ^ Ю ) |
при |
На рис. 13.2 представлено качественное решение задачи о рас чете вероятности неразрушения, определяемое соотношениями (13.1) и (13.2). Использование в расчетах более точных соотно шений (9.9) и (9.13) не изменяет характер приведенного решения и дает заметное отклонение в численных оценках только при отно сительно малых уровнях надежности.
Рассмотрим задачу о расчете усталостной долговечности. Полагая, что форма импульса нагружения несущественно влияет на процесс накопления усталостных повреждений, переходим от заданного импульсного потока воздействий (рис. 13.3, а) к потоку гармонических циклов нагружения (рис. 13.3, б), характеризуе мых амплитудами оа1 и средними значениями от( = oat. Экви валентное напряжение цикла <r9i = oai (1 + ф), где ф — коэф-
133
|
|
|
Рис. 13.3. Импульсный поток воздей |
|||||||
|
|
|
ствий (а), поток циклов гармонических |
|||||||
|
|
|
нагружений |
(б), эквивалентный |
поток |
|||||
|
: |
|
напряжений |
(в) |
|
|
|
|
|
|
I* |
|
фициент, |
учитывающий |
асиммет |
||||||
а) |
h |
t |
заданного |
потока |
воздействий о{ |
|||||
|
|
|
получаем |
поток |
эквивалентных |
|||||
|
|
|
напряжений |
a9i (рис. 13.3, в). |
||||||
|
|
|
В общем случае процесс накоп |
|||||||
V * |
|
|
ления |
усталостных |
повреждений |
|||||
|
t |
описывается |
нелинейным |
|
диффе |
|||||
|
ренциальным |
уравнением |
(2.8), |
|||||||
б) |
|
где параметр |
нелинейности |
р. мо |
||||||
1> |
|
|
жет зависеть |
от |
уровня |
|
напря |
|||
|
<> |
|
жений в t-м цикле нагружения at. |
|||||||
|
|
Решение этой задачи определяется |
||||||||
бп |
|
|
соотношением (2.16), |
которое по |
||||||
|
|
зволяет |
получить |
оценку |
долго |
|||||
|
|
|
вечности |
с учетом |
всей |
истории |
||||
в ) |
|
* |
нагружения. Однако при большом |
числе циклов нагружения подобный расчет может быть выполнен только путем моделирования процессов нагружения и накоп ления повреждений на ЭВМ.
Когда параметр нелинейности р не зависит от уровня |
напря |
|
жений, дифференциальное уранение (2.9) имеет решение |
|
|
<«=* |
\и |
|
(2тгг) • |
<13-3> |
где Nt — число циклов до разрушения при уровне напряжений at; vfc — усталостное повреждение за k нагружений.
Выполнив усреднение, получим
< , з -4 )
где чертой сверху и знаком (...) показаны операции вычисления среднего значения.
Вероятностные свойства суммы, входящей в соотношение (13.4), описаны в § 9. Эта сумма при большом числе нагружений распределена по нормальному закону со средним значением и дисперсией, определяемыми по формулам (9.37) и (9.38). Если
х = 2 l 7r ,TO величина vh будет иметь распределение, совпада ющее с распределением функции у = х», где х — нормально
134
распределенная случайная величина со средним значением х
и дисперсией si.
При большом числе нагружений
*‘ » ( ( 2 т5гУ')- |
<135> |
Если момент разрушения определяется |
из условия vh = 1, |
то число циклов до разрушения k определяется из уравнения
2 |
( ж |
' |
) - 1- |
<136> |
f=i |
|
|
|
|
Для стационарных процессов нагружения среднее значение |
||||
долговечности, выраженное |
в числах циклов |
нагружения, |
||
‘ “ т ( ( т ) Г - |
<13-7> |
где ? — средний интервал времени между нагружениями.
При р. = 1 приходим к линейным процессам накопления уста лостных повреждений, описанным в § 9. Основной результат про веденного анализа выражен соотношениями (9.32) и (9.42), кото рые позволяют определить функцию распределения величины накопленного усталостного повреждения к любому моменту на гружения и вычислить функцию распределения усталостной долговечности. Поскольку число циклов до разрушения относи тельно велико, то с достаточной для практики точностью расчет накопленного усталостного повреждения и долговечности кон струкции может быть выполнен по соответствующим асимптотиче ским формулам (9.37), (9.38), (9.49) и (9.50). Исходными данными для такого расчета являются среднее значение усталостного по вреждения за один цикл нагружения и его второй момент распре деления:
|
00 |
|
II |
"t, |
* |
|
|
* |
Г /(®)Ж*
~ J N* (а) »
0
(13.8)
(13.9)
где N (о) — число циклов до разрушения на уровне напряжений о, определяемое по уравнению кривой усталости (см. § 1); / (а) — плотность распределения действующих напряжений. Под напря жением о понимается его эквивалентное значение, учитывающее асимметрию циклов нагружения.
135
Конкретный вид расчетных соотношений зависит от принятых выражений для плотности распределения напряжений f (о) и для уравнения кривой усталости N = N (о).
Пусть распределение амплитуд эквивалентных напряжений подчиняется экспоненциальному закону распределения с плот ностью
/(ff) |
= 4а- e x p (— 0/ 0), |
(13.10) |
|
а кривая усталости описывается уравнением |
|
||
amN — С = const. |
|
(13.11) |
|
Подставив соотношения (13.10) и (13.11) |
в формулы (13.8) |
||
и (13.9), получим |
|
|
|
v = |
(а)тС"‘Г (m + |
1); |
(13.12) |
(v2) = |
(д)2т С"2Г (2т + |
1), |
(13.13) |
где |
|
|
|
00
Г (п) = j xn~le~x dx — гамма-функция,
о
Дисперсия усталостного повреждения за один цикл нагруже ния
4 = (о)2т С~2[Г (2т + 1) - |
Г2(т + 1)]. |
(13.14) |
Коэффициент вариации распределения усталостного поврежде |
||
ния за один цикл нагружения |
|
|
бу = / Г ( 2 т + 1)/Г2( т + |
1) - 1. |
(13.15) |
График функции (13.15) представлен на рис. 13.4. Подставив (13.12) и (13.15) в формулы (9.49) и (9.51), получим
следующие выражения для определения среднего значения и коэф фициента вариации распределения усталостной долговечности (без учета рассеяния интервала времени между нагружениями):
Т |
1C |
|
(13.16) |
|
Г (от + 1) |
’ |
|||
(а)т |
|
|||
6г = "|/"-jj-ir (2m + |
1)/Г2(т |
+ 1 ) - 1], |
(13.17) |
где ? — интервал времени между нагружениями; п — число на гружений.
На рис. 13.5 представлены графики функции (13.17) при раз личных значениях параметра т. При увеличении числа нагру жений коэффициент вариации распределения долговечности резко падает, и при малых значениях параметра т реализационным
136
*7>%
|
|
30 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
з |
4 |
S |
Ign |
|
|
Рис. 13.5. Зависимость коэффициента |
|||
|
|
вариации распределения |
долговечно |
||
Рис. |
13.4. Зависимость коэффици |
сти бт от числа циклов нагружения л |
|||
ента вариации распределения повреж |
рассеянием долговечности мож |
||||
дения за один цикл нагружения от |
|||||
параметра т: |
но пренебречь. Однако для боль |
||||
1 — по |
формуле (13.15); 2 — по формуле |
ших значений |
параметра т это |
||
(14.5) |
|
рассеяние долговечности может |
|||
|
|
быть значительным. |
|
урав |
|
Рассмотрим случай, когда кривая усталости описывается |
|||||
нением (1.2), а распределение действующих напряжений |
подчи |
||||
няется экспоненциальному закону с плотностью (13.10). |
Под |
ставив (1.2) и (13.10) в формулы (13.8) и (13.9), получим следу ющие выражения для определения первых двух Моментов распре деления долговечности:
v = |
(6/a _ ,f Щ ХТ (m + 1, |
<Т[_/а); |
(13.18) |
<v2> = |
(d/a_i)2m Л/о2Г (2m + |
1, a.,/a), |
(13.19) |
00
где Г (л, a) = J xn~le~xdx — неполная гамма-функция.
a
Дисперсия и коэффициент вариации распределения усталост ного повреждения за один цикл нагружения соответственно будут равны:
$v = (a/a_i)2m Щ2[Г (2m + 1, a_i/a) — Г2(т + 1, a_i/a)];
(13.20)
6V= у Т (2 т~ 4 Т 7 ^ 7 б )Д ,27'й-+ 1 7 ^ !л 7 ^ Г ~ ^ (13.21)
Для вычисления неполной гаммы-функции целесообразно вос
пользоваться |
следующим |
ее |
представлением: |
||
|
Г (л, |
а) |
= |
Г (л) Q (2а, |
2л), |
где Q (х2, v) — табулированная |
функция |
[1]. |
|||
Подставив |
соотношения (13.18) и (13.21) в (9.49) и (9.51), |
получим следующие выражения для определения среднего зна чения и коэффициента вариации распределения усталостной дол
137
говечности (без учета рассеяния интервала времени между нагру жениями):
уW
(<r)m Г (/и + 1, a_Ja) ’
&т = b v /y fiit
где п — число нагружений за время Т; бу определяется по (13.21). Аналогично проводятся расчеты долговечности и при других законах распределения действующих напряжений и уравнений
кривых усталости.
Так, для случая, когда кривая усталости описывается уравне нием (1.2), а распределение амплитуд напряжений подчиняется закону Вейбулла с плотностью
/ (о) = оф<ха-1 ехр [—Роа) 0< а < оо
( а и р — параметры) ожидаемая долговечность
Г [“ -+ »; ро?,] ’
Для практики интересен случай, когда распределение ампли туд напряжений описывается логарифмически нормальным зако ном. Плотность вероятности этого распределения
|
(In а — а)2 |
]■ |
f<" ) = - ^ F s - ex,>[ |
2sa |
где s и а — параметры распределения, определяемые по величине среднего значения амплитуд напряжений о и их дисперсии D {а} по формулам:
s2= 1 + D (а}/(ст)2;
а = In д — sa/2.
Если распределение амплитуд напряжений описывается ло гарифмически нормальным законом, а кривая усталости уравне нием (1.2), то ожидаемая долговечность
т = ______________ _____________________
,„р (“ + т - ) [ | - ф( 7 7 Г - # ) ] ’
где
и = In <т_1 — а;
138
Если кривая усталости описывается уравнением (13.11), то ожидаемая долговечность
Т = С? I exp (am — — .
Рассмотрим случай описания распределения амплитуд напря жений с помощью обобщенного трехпараметрического гаммараспределения с плотностью
|
|
|
|
( - * ? ) • |
а 3-22» |
|
где а > 0, а > |
О, Р > 0, у |
> 0. |
|
|
||
При |
у = а |
получаем распределение Вейбулла. При а = 1 |
||||
имеем |
двухпараметрическое |
гамма-распределение с плотностью |
||||
|
|
/ (®) = |
°У~' ехР (—Р®). |
|
||
При |
а = у = 1 и |
p-1 = |
2s2 получаем |
однопараметрическое |
||
распределение Релея |
(14.2). |
При у = 1, а |
= 2, |
Р"1 = 2s2 полу |
||
чаем положительную |
ветвь |
нормального |
закона |
распределения |
||
с плотностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
,(o, = 7 § b exp( - 'S ‘)' |
|
|||
При а = ‘у = |
1 и Р "1 = <х имеем экспоненциальное распределе |
ние (13.10).
Подставив соотношение (13.22) в формулу (13.8) и приняв для описания кривой усталости уравнение (1.2), получим
тГ (у/ос) Г /а
г( ^ . К?,)’
Описанная выше методика расчета ресурса конструкций при случайных потоках нагрузок основана на предположении о не изменности предела выносливости, который во все время нагру жения остается на уровне своего первоначального значения. Такое предположение равносильно тому, что наклонный участок кривой усталости по мере накопления усталостных повреждений сдвигается влево, оставаясь параллельным своему первоначаль ному расположению, а предел выносливости не изменяется (рис. 13.6, а). Однако в действительности (как это следует из многочисленных экспериментальных исследований) по мере на копления усталостных повреждений предел выносливости по степенно понижается (рис. 13.6, б). Для учета этого изменения рекомендуется заменять истинное его значение на расчетную ве личину, равную 0,5—0,7 первоначального значения предела' вы носливости. Вместе с тем уровень снижения предела выносливости
139
Рис. 13.6. Изменение кривых усталости по мере накопления в материале уста лостных повреждений:
а — при <7^ = const; б — при изменении предела выносливости
зависит от спектра нагрузок: чем большая часть этого спектра находится выше предела выносливости, тем больше следует сни жать его расчетное значение. Для получения конкретных рекомен даций по такому снижению предела выносливости необходимо полное решение задачи о расчете ресурса конструкции с учетом постепенного его снижения. Предварительно необходимо выявить саму закономерность этого снижения. Однако прямое эксперимен тальное выявление закономерности изменения предела выносли вости по мере накопления усталостного повреждения для кон кретных материалов и конструкций связано с почти непреодоли мыми техническими трудностями. Поэтому на первоначальном этапе исследований целесообразно построить гипотетические за висимости изменения предела выносливости от накопленного усталостного повреждения с последующим выяснением их прак тической применяемости по результатам сопоставления расчет ных и экспериментальных данных о ресурсе конструкции.
В простейшем случае можно, например, предположить, что скорость снижения предела выносливости зависит от его перво начального значения, скорости накопления усталостного повреж дения и от величины уже накопленного к данному моменту вре мени усталостного повреждения:
|
|
^ |
= - а а _ 1>0-1-(1 - |
V ) - 1, |
(13.23) |
|
где а_1(0— первоначальное |
значение |
предела |
выносливости; |
|||
o_liV — значение |
предела выносливости |
при усталостном повре |
||||
ждении v = |
n/N\ |
N — предельное значение числа циклов нагру |
||||
жения при |
заданном |
уровне |
нагрузки; п — текущее значение |
числа циклов нагружения; а — параметр, зависящий от свойств материала.
Из уравнения (13.23) следует |
|
OLi,v = a_1,0(l — v)a. |
(13.24) |
140
Рис. 13.7. Кривые усталости для ис ходного (1) и поврежденного (2) ме талла
Таким образом, при сделанных выше предположениях оказывается, что изменение пре дела выносливости для данного
материала зависит только от л<у меры усталостного поврежде ния, ' и в момент разрушения
(в момент появления заметной усталостной трещины) он стано вится равным нулю.
Известно, что для некоторых материалов темп снижения пре дела выносливости зависит не только от величины усталостного повреждения, но и от уровня напряжений, при котором проис ходило нагружение. В этом случае для описания кинетики сни жения предела выносливости в соотношение (13.23) необходимо внести соответствующие коррективы. Так, полагая, что скорость снижения предела выносливости зависит еще и от интенсивности нагружения, можно принять, что
(13.25)
где k = o_li0/cr; а — действующее напряжение.
Интегрируя уравнение (13.25), получаем, что по мере накопле ния усталостного повреждения изменение предела выносливости происходит в соответствии с уравнением
(13.26)
Соотношение (13.26) отражает влияние на темп снижения пре дела выносливости степени превышения действующими напря
жениями |
уровня предела |
выносливости [степени |
перегрузки |
|
(1 — &)]. |
При перегрузке, |
равной нулю (при k = |
1), снижения |
|
предела |
выносливости |
не |
происходит. |
|
Изменение предела |
выносливости в зависимости от величины |
накопленного усталостного повреждения должно быть поставлено в соответствие с происходящим при этом изменением формы всей кривой усталости в целом. Наличие некоторого усталостного повреждения v означает, что не только горизонтальный участок кривой усталости смещается вниз, но и что ее наклонный участок смещается влево. Это смещение влево, например, на уровне на пряжений o_ll0 составляет величину п0 = vN0 (рис. 13.7). При этом уравнение кривой усталости для поврежденного металла можно записать в следующем виде:
(13.27)
141