книги / Периодические кусочно-однородные упругие структуры
..pdfОбозначим функции (9.5), соответствующие приложенпым в точках t + 7tt<j>i + rca)2 {тп, п ~ 0, ± 1, ...) одинаковым сосредото ченным пагрузкам S (t), через Ф{г, t, S {t)} и ЧЧг, t, 5 (f)}.
Согласно (9.5), имеем
ф { » .< .5 ( 0 ) - ^ ф * (* .0 . Ч '{М ,5<<)>-|§Ч '‘ М ). (9.8)
где
Ф* (г, t) = v .(z)- v ( z - t) — za0(t) + av(t),
V * (z,t) = U ( z - t ) - t , l (z)+ PM* [v.(* - t ) - v ( z ) ] ~ *Po(0 + Pi (f).
Пусть нагрузка приложена на конгруэнтных площадках или линиях От» — 0s(mod(Bi, юг). Тогда решение имеет вид
а
(9.9)
0
§ 10. Двоякопериодическис задачи изгиба пластин. Обзор результатов
Впервые задачи этого рода возникли в связи с расчетами различного рода перекрытии — илнг, опирающихся на систему опор. Решения прово дились обычно в двойных или одинарных рядах. Так, Л. С. Лейбензон [18] рассмотрел задачу об изгибе равномерной поперечной нагрузкой тонкой плиты, опирающейся на точечпые опоры, образующие прямоугольную сет ку периодов. Решение построено в специальных одинарных,рядах с исполь зованием фупкции Грина задачи Дирихле для прямоугольной области.
Несколько более общая задача об изгибе плиты, опирающейся на сис тему колопп, центры которых образуют параллелограымиую сетку периодов, рассмотрепа в работах В. И. Блоха [2—4]. Решения получены в двойных тригонометрических рядах, для точечных опор они являются точными. Ес ли оппраныс происходит но площадкам, то принимается, что реакции рас пределены на них равномерно. Следует отметить, что полученные двойные ряды мало пригодны для вычисления усилии в плите, возникающих вбли зи опор.
По пути улучшения сходимости рядов идет Мюллер, который дает рас чет покрытия, опирающегося па большое чпсло нолонн прямоугольной фор мы в плане, расположенных в узлах прямоугольной сетки, а также расчет фундамента под колоннами. Исходные решения для прогиба в двойных три гонометрических рядах преобразуются путем сворачивания внутренних сумм, в результате чего автор приходит к одипарпым рядам.
Более естественной представляется схема решения однородных и не однородных задач изгиба пластин, использующая методы теории фупкции комплексного переменного. Эта концепция развита в работах И. Н. Векуа
[5], С. Г. Лехницкого |
[19], Г. И. Савина [23], М. М. Фридмана [26], |
Д. И. Шермана [28], [29] |
и др. |
Таким путем Э. И. Григолюк и Л. А. Фильштипский получили замкну |
тые решения' задач об пэгибе пластины, опирающейся на двоякоперподичёскую систему точечных опор. В работе [8] рассмотрен изгиб пластины под действием равномерной ноперечпой лагрузки. В [9] построено Р-перио- дпческое фундаментальное решение неоднородного бигармопического урав нения, что дало возможность записать решения для произвольной двояко
91
периодической поперечной нагрузки. Более общая задача об изгибе пласти ны, защемленной на системе круговых опорных контуров, рассмотрена в [13].
Для анализа изгпбной жесткости регулярно перфорированных пластин были проведены исследования однородного изгиба решеток. В работе [12] рассмотрены решетки с круговыми отверстиями, в [13] — решетки со впаяппымп в отверстия инородными шайбами. К этому же кругу вопросов мож но отнести исследования Япа Дворжака [15].
Изгиб пластины, равномерно перфорированной произвольными гладки ми отверстиями, рассмотрен в [14].
Классическая теория упругости неоднородной среды в предположении, что ее свойства являются случайными функциями координат, приводит в определенном приблпжешш к моментной теории упругости [20]. Апалогичпые эффекты имеют место и в конструктивно пеодпородпых средах. В [24] Л. Н. Савова в качестве модели такой среды рассматривает квадратную ре шетку с круговыми отверстиями или JKOCTKHM II включениями.
Исследованию задач пзгпба регулярно перфорированных пластнп, при менительно к оцепке прочпосги и жесткости трубных решеток, посвнщепо много работ. Обзор их содержится в [И ].
Г л а в а 3
НАПРЯЖЕНИЯ В РЕГУЛЯРНО ПЕРФОРИРОВАННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ
Использование композиционных материалов в современных конструкциях стимулировало развитие краевых задач теории упругости анизотропного тела.
В частности, значение приобрели исследованпя концентрации напряжений у отверстий, ребер, включений в анизотропных пластинах.
Ниже рассматриваются основные граничные задачи теории упругости для .анизотропной среды, ослабленной двоякоперподпческой системой одинаковых отверстий.
§ 1. Постановка осповных граничных задач для анпзотроппой решетки
Рассмотрим неограниченную анизотропную среду, ослабленпую двоякопериодической системой групп непересекающпхся
между собой |
отверстий. Так же как и ранее, положим, что |
о)-, |
|||||
и о)2 (lm a > i= 0, Im (02/0)1) > 0) — основные периоды |
образован |
||||||
ной таким образом решетки, |
1>1ч = |
Lj (/ = 1, 2. .. •, к) — кон- |
|||||
тур /-го отверстия в |
основном |
параллелограмме |
периодов |
По* |
|||
Все остальные отверстия в среде |
L}mn (т, п — ± 1, ± |
2, . . . ) |
по |
||||
лучаются из |
Lj сдвигом на величину Р = т(И\ + п а 2. |
|
|
||||
Область, |
запятую |
средой, обозначим через |
а |
конечную |
|||
односвязную |
область, |
ограниченную |
контуром |
Lj — через |
3), |
||
(/ = 1, 2 ,...., |
к). Будем предполагать, |
что Lj — простой замкну |
тый контур с непрерывной по Гельдеру кривизной. Начало коор динат поместим в области 2Е>\ (рис. 3.1.1, а).
В области 2D имеют место [17]: уравнения равновесия
diOn + 320 l2 = O , 0 1 0 ,2 + д2022 = 0, |
(1.1) |
|
закон Гука |
|
|
е\\ = |
0Ц011 + a i2022 + ®16012i |
(1.2) |
622 = |
012011 + 022022 + 026012i |
|
Че\2 = |
Д16011 + 026022 + 066012, |
|
условие совместности деформации |
|
d&n ■+■5x^22 = 25152б12‘ |
(1.3) |
|
93
Средние по толщине пластины смещения щ, и2 и деформацпп е,„ связапы соотношениями
e\\ = diiiu е22 = д2и2, 2ei2 — д2щ + d[U2. |
(1.4) |
Уравпеппя (1.1) удовлетворяются, если ввести функцию на пряжений ^ .(T I, хг) посредством соотношений
= з5чг, <ГМ- al'V, я а = - ЗДЧ'. |
(1.5) |
Выражая деформации eik из (1.2), (1.5) через функцию на пряжений и подставляя их в условие совместности (1.3),
получаем дифференциальное уравнение относительно vF (x j, х2)
a2idA^ - 2a29dld2V + (2aia + aee) 5^ 4' - га^а^Ч' + а^ЧТ - 0.
(1.6)
Разыокнвать решение этого уравнения эллиптического типа удобно в форме [2]
^(ari, л2) = ф(^1+ М^г). |
(1.7) |
Подставляя функцию (1.7) в уравнение (1.6), приходим к характеристическому уравнению
аир4 — 2ai6|i3 + (2ai2+ flee) р.2 — 2аге|л + a22 — 0 . |
(1.8) |
Корни уравнения (1.8) не могут быть вещественными [17], ниже будем считать, что все они различны.
Значения упругих постоянных и корней pfc (к = 1, 2) для некоторых ортотропных материалов приведены в табл. 3.1.1.
-94
Общее представление вещественного решения уравнения (1.6) таково:
'Г(*|. |
х*)= 2 Re [q>i (z() + ф2(г2) ], |
(1.9) |
где |
|
|
21 = .г’1+ piX2, |
z2 = xi + p2x2, Im p ^ O , |
lm p2> 0 . |
Остальные корпи уравнения (1.8), очевидно, имеют вид tu3= p iT
М4=И2.
Функции si(xi, х2) и z2(xi, ,-г2) осуществляют аффпнньте ото бражения кривых н областей в «физической» плоскости z = Х\+ + ix2 на соответствующие множества точек в плоскостях zx н з2
Т а б л и ц а 3.1.1. Упругие постояппые некоторых материалов
М атер и ал |
7 |
WS
Кз-Ю-'», мпа
Е .
Я
7 >
а £ Е?
Стеклопластик ЛГ-4С |
2,1 |
1,8 |
0,42 |
0,09 |
2,128 |
0.539 |
1,3 |
Стекмоэпокспдный композит |
7,8 |
1,2 |
1,25 |
0,25 |
2.271 |
0,763 |
6,5 |
Бороэпоксидпмн композит |
40 |
4,0 |
1,5 |
0,25 |
5,077 |
0,623 |
10 |
Графптоэпокспдиын компо |
40 |
1,6 |
|
|
|
|
|
зит |
0,8 |
0,25 |
6.994 |
0,714 |
25 |
||
Стеклопластик КЛСТ-В |
2,1 |
1,2 |
0,2 |
0.19 |
3.18 |
0,42 |
1,8 |
Текстолит |
0,96 |
0,68 |
0,28 |
0.33 |
1,376 |
0,863 |
1,4 |
Дельта-древесина |
3,0 |
0,46 |
0,21 |
0,13 |
3,71 |
0,69 |
6,5 |
Фанера |
1,2 |
0,6 |
0,07 |
0,07 |
4,12 |
0,34 |
2,0 |
(рис. 3.1.1, б). Аффинные образы в плоскости zm (т = 1, 2) |
бу |
||||||
дем помечать сверху индексом т. |
|
|
|
|
|
||
Из самого процесса |
получения |
общего |
решения |
(1.9) |
сле |
дует, что фт(ит) — функция комплексного переменного zm, анали
тическая в области |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенств |
(1.5) и |
закона |
Гука |
(1.2) |
находим выражения |
|||
напряжений п смещений в области SD через функции ф т^т): |
||||||||
их = |
2 Re ГРтФ! (г,) + |
Р2Ф2 (z,)] + |
и10 — ел:,, |
|||||
и, = |
2 Re |
(z2) + q2Ф, (z,)] + u20 + exv |
|
|||||
a n = |
2 Re [^ ф [ fa) + |
^ Ф 2fa)], |
|
(1.10> |
||||
[a12------ 2 Re |
fa) + р2Ф2 (z2)], |
|
||||||
a22 = |
2 Re [Ф^ fa) + |
Ф2 (z2)]. |
|
|
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
P (Р тп ) — Pm = |
|
+ |
C 12 |
— |
Gl6 p m |
(m ~ |
^ )i |
|
|
9 (p m ) = |
Qm = |
Gi 2 Pm |
+ |
— |
a 26i |
|
|
|
|
dm_ |
, |
|
d<D_ |
|
< М * 0 « а £ . Ф ь Ы - т ^
9&
«, Ию, U20 — пеществеппые постоянные, характеризующие жест кое перемещение пластинки.
Ниже мы рассматриваем поля напряжении, обладающие той же группой симметрии, что и область 2). В аффинных областях 2>in и 2 )(2) характер групповой симметрии пе нарушится, одна ко основной период ©2 изменится.
Так, двоякопериодическая в плоскости z решетка с основны
ми периодами ©1 и ©2 (lm © i= 0, Im(©2/©i)> 0) |
отображается |
||||
в плоскости |
zm на двоякопериодическую' решетку |
с осповпымп |
|||
периодами |
|
|
|
|
|
©i^ = ©j, |
©г"^ = Re©, + pmIm ©2 |
(m. = |
1,2), |
(1.11) |
|
причем величина |
Irn(©2,n>/(0xm)) остается положительной. |
|
|||
Исходя из этих соображений и учитывая формулы |
(1.10), |
||||
заключаем, |
что Фт (гт) — двоякопериодичеекпе функции, т. е. |
||||
|
|
( v |
- 1. 2), |
|
(112) |
|
ф Дгг + щ ® ) - ф ;( 2г) _ 0. |
|
|
|
Соответственно |
Фт (zm) = фт (zm) — квазипериодпческне функции |
г 2>{т) (т = 1, |
2). |
Таким образом, при соблюдении условий групповой симмет рии (1.12) смещения в решетке будут квазипериодпческимп функциями.
Запишем выражения для главного вектора и главного момен
та сил, действующих на дуге |
А В в |
области 2 ). Компоненты |
|||||
вектора напряжения на площадке с |
нормалью |
re(cost|>, |
sin г|>) |
||||
определяются формулами |
|
|
|
|
|
|
|
X„ = Oiicosi|) + ai2Sin\|), |
У„ = |
O12 cos -ф+• 022 sin ф. |
(1.13) |
||||
Подставляя сюда выражения напряжений а* |
из |
(1.40), |
полу |
||||
чаем обычным образом: |
|
|
|
|
|
|
|
X + |
( У - f |
(X , + |
iYn) d s = — ig («)|ЛЭ, |
(1.14) |
|||
где |
А В |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
_ |
______ |
|
||
|
|
|
|
||||
g (z) = |
Д {(1 + |
щк) фк (zk) + |
(1 + |
фк ( з а |
|
||
главный момент относительно начала координат имеет вид |
|||||||
|
M = Re|-ig(z)|AB+ |
f *(*)<fe|. |
|
(1.15) |
В случае первой основной задачи будем считать, что на гра нице области 2) задана одинаковая в конгруэнтных точках на грузка {Хп, У„), причем главный вектор усилий на каждом U (/=■1, 2, .... к) и главный момент на L = U L j равны нулю.
36
Граничное условие, исходя из (1.14) и квазипериодичности Фт(ят), можно представить в форме
S [(1 + |
Ф т) Ф?п (tm)+ ( l + |
ф т ) Фт (*т)] — |
|
|
||||||
171=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
те |
|
|
|
|
-/ < 0 + |
ч |
</ = 1 .2.........*>. |
(116) |
||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
f(t) = |
|
+ iY n) ds, |
tm = |
R e t + [ i mI m t , t < = L = |
L h |
|||||
i f (Хп |
(J |
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с, — некоторые |
комплексные постоянные, определяемые |
в |
про |
|||||||
цессе решения краевой задачи. |
|
|
|
|
|
|||||
Условию |
(1.16) |
удобно |
придать следующий вид [30]: |
|
||||||
где |
|
аФ,(*0+ ЬФГЙ)+Ф2(^) = ^(0+ с ь |
(1-17)' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
И, ~ Й 2 |
, |
К1 - ^ 2 |
|
|
||
|
|
|
а = —1— =—, |
о --------- ■=—» |
|
|
||||
|
|
|
|
^2-М 2 |
|
h - h |
|
|
||
|
|
|
r m |
( 1 - W . ) / « - О + < й .)Л 5 |
|
|
||||
|
|
|
*<0------- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( 1 - < 1 ч ) 4 - ( » + |
^ Ь |
. |
( . _ 1>2........... |
|
|
||
|
|
|
|
2 ф 2- р а) |
, |
|
|
|
|
|
При рассмотрении второй краевой задачи предположим, что |
||||||||||
на границе |
области |
3 ) задана |
квазипериодическая система сме |
щений й\ и Й2, причем потребуем, чтобы главный момент возни кающих на L = ULj усилий был равен нулю.
Граничные условия, исходя из квазипериодичности переме
щений и формул |
(1.-10), запишем в виде |
|
|
||
2 |
_ |
______ |
|
|
|
2^ ((Pm + Щт) Ф т (^т) "Ь ( Pm + IQm) Фт (^т)1 = |
|
|
|||
|
= |
их + |
Ш , t ^ L = |
U Lj. |
(1.18) |
Далее будем использовать эквивалентную запись условия |
(1.18) |
||||
«,Ф,(Щ + 6»ФПУ + Ф П У -А'Ю. |
|
(1.19) |
|||
где |
|
|
|
|
|
< * * = - £ |
(PiQi — Pitts), |
Ь* = |
д- (р>& - М |
, ) , |
|
h (L) = -j- (p2u2 — q2Uj) . |
Д = |
Рг<7г — Р2<7з Ф 0. |
|
Помимо задания усилий или перемещений на границе обла сти 3), будем предполагать так же как и в изотропном случае, что в решетке имеют место средние напряжения <5ц>, (БцУ и
^ 9. И. Григолгак, Л. А. Филыптиыскнй |
?7 |
<S,2>. Это означает, что в 3 ) должны выполняться статические условия (1.1.17), причем под g(z) теперь следует понимать вы ражение (1.14). Все сказанное в конце § 1 гл. 1 относительна средних напряжений <£,ц> (<с,л>) остается в силе и здесь при рассмотрении анизотропной рёшетки.
§ 2. Интегральное уравпепие первой краевой задачи
Представления решений. Первая основная задача сводится к определению двух регулярных соответственно в областях 2>,п и квазипериодических функции O i(zi) и Ф г^г), удовлетво ряющих на L граничным условиям (1.'17) и обеспечивающих существование в решетке заданных средних напряжений <oik>. Общее решение первой основной задачи построим, исходя из представлений Д. И. Шермана [29, 30] для конечпой многосвяз
ной области1)
L |
1 |
1 |
J=1 |
1 |
13 |
|
|
|
|
|
( 2. 1) |
L |
2 |
2 |
l |
2 |
2 |
Здесь
( / - 1 , 2 , . . . , ft),
i i s L n>, t2& L {2\ tm= R et + pmIm t, t ^ L (m = 1, 2).
На основании (2.1) искомые квазипериодические функции представим в виде (интегрирование— по часовой стрелке)
i |
С |
^ |
ф1w = ш |
,) “ W£ (h - |
*.) «в, + 2 « (*. - *u) + АЛ , |
(гг)2nt J* ® (О S(^2 — 2а) £Й2 4"
|
L |
|
|
|
|
|
+ |
2яГJ 10 (f) ^ (<2 ~ |
zz)d t 2 + |
*1e |
3 >(1), |
г2 e 2)(a), |
(2.2) |
где |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©(<)— (fi)i(0i |
— неизвестные |
функции |
(предполагаем, |
что |
||
они |
удовлетворяют |
условию Гельдера), |
£ (zm) — даета-функцип |
|||
') |
Иптогрировапие в |
(2.1) ведется по образцам L |
в плоскостях zt и zj, |
|||
т. е. по кривым L<‘) и LW соответственпо. Здесь и |
далее индексы пал L |
|||||
опускаем. |
|
|
|
|
м |
Вейерштрасса, построенные на периодах ©im) и ©(2"°, а и Ъ опре делены в (1.17), Z\j — в (2.1). Постоянные А\ и As должны обес печить выполнение статических условий (1.1.17). Начало коор динат совместим с точкой z 'e jZ ),.
Приращения функций (2.2) таковы:
Фд (z2 + |
© » ) — фд (zj) = |
a 16v1) + |
А ^ К |
|
|
|
|||
Ф2 (z2 + |
©<2)) _ |
Ф2 (z2) = |
a 26<2) + |
Л2©<,2) |
(v = |
1 ,2). |
(2' 3) |
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a i = |
Ш J |
1“ W |
"" |
Л 1 “ ®(*)* J . |
|
|
|||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
а - = |
2лГ,[ taC0 W _ |
М О ] л 2* |
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
а™ - { ( * , + «>?’) - £ |
W - |
2? (4 |
1 ) . |
|
|
||||
|
|
6<” >ш'" > _ б Г Ч " >- 2 д г , |
|
|
|
||||
6<?> = с (*, + и® ) - ? (»,) - |
2? ( 4 1 ) |
(I» - |
1, 2). |
|
|||||
Основпые периоды ©(,т) |
(v, т = 1,2) в аффинных плоскостях zm |
||||||||
определены в (1.11). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя приращения (2.3) |
в статическое условие |
(1.1.17) |
с учетом (1.14), имеем после отделения вещественной и мнимой частей в полученных выражениях
2 Re |
+ Л2©£2>) + ( а ^ |
+ |
ссаб[2))] = ©х <S22> sin а, |
|
|||
2 R e [(M i© i1) + |
h r f ) |
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
= - |
©XK SM) + |
<S22> cos а], |
(2.4) |
||
2 Re [(А © *1* + |
Л2©22^) + |
(адб^ + а2б22*)] = |
— |w21(S 12> sin а, |
||||
2 Re [(рдЛд©^ + |
i v l 2©£2)) + |
+ |
р2а 26(22))] = |
|
|
||
|
|
|
|
= I ®a I\<Sn y + |
<S12>cos а]. |
||
Подставляя в соотношения (2.4) |
выражения для периодов |
©vm) |
|||||
И8 (1.11) и используя равенства |
(1.1.16), |
(П.1.6), |
приходим к |
||||
соотношениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
Re (Лд + Л2) = -у <о22) + |
Ад, |
|
|
|||
Re (ЦдЛд + |
ц,Л2) = |
- 1 |
<ст12> + Д„ |
|
(2.5) |
||
Re (цхЛд + |
Ц2Л2) — у <аи ) + ^з» |
|
|
7*
где
A ^ - ^ R e W i ^ + a ^ ) , |
|
|
||||
Аа = |
- |
Re |
+ |
Цаа 2^12>)» |
|
|
Дз = |
-- ^ - R ® |
(^ «i6i1) + |
|4a*6ia>) - |
a jn x (og Im (^ a ‘ + |
!*««*). |
|
Условие совместности равенств (2.4) |
таково: |
|
||||
|
|
Im (ax + a 2) = ■— Re |b j* to (t) dl21 = 0. |
(2.G) |
Покажем, что (2.6) равносильно равенству нулю глапного момента всех сил, действующих на L. Прежде всего, в силу непрерывности функции g (z) на L, (j = 1, 2, ..., 7с), формула (1.45) для главного момента на L принимает вид
|
|
М = |
Re J £ (t) dt. |
|
|
(2.7) |
|||
Подставляя сюда вместо g(t) |
ее выражение из |
(1.14) и учи |
|||||||
тывая формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(1 + |
■*> ' |
dtm— (1 + |
dlm |
(иг = 1, 2), |
(2.8) |
|||
dt = |
К - |
j - |
v |
Т |
”* |
||||
находим |
|
l" (^m ~ |
М'тп)' |
|
|
' |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
2 Re {J Фj {t,) dt, |
+ f Ф2 (t2) d/2}. |
|
(2.9) |
||||
Введем функции Q>\j{z{) и Фг/(гг), аналитические соотпет- |
|||||||||
ственно в областях |
|
и |
|
по формулам |
|
|
|||
®ц(*0 = 2kJ°№t(*,- г.)<#, + А*.. |
|
||||||||
Фу W = 1НГ J“ W £ & - |
L |
|
|
|
|
|
|
||
2=) * . + М |
- |
|
|
(2.Ю) |
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
)(2> |
|
|
- Ъ а \ < * Ш к - Ъ ) И г, z ^ 2 > ? \ '2 |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( У - 1 . 2 , . . . , Л). |
|
|
|
|||
Здесь интегрирование ведется по часовой стрелке. |
|
, |
|||||||
Разность предельных значений функций (2.2) |
и (2.10) |
па |
|||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф. (М - |
фц А) - |
®№ + |
2 |
Ы (<Х - |
г»), |
|
|
||
|
|
|
|
|
Р=1 |
|
|
|
|
Фа (*8) - |
ф2,- (<2) = |
- СО) (г) + |
ъ Щ |
(; = 1,2,... /с). |
|
100