![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Теоретические основы процессов получения и переработки полимерных материалов
..pdf![](/html/65386/197/html_5FEZiJ6ZB5.wQlD/htmlconvd-jgYRIX41x1.jpg)
нольдса, которые бы соответствовали рассматриваемому реологическому закону, например формуле Освальда де Виля. Такая форма записи называется обобщенным критерием Рейнольдса.
Рис. 4.1. Определение эффективной вязкости
На основании зависимостей, приведенных в табл. 3.1 и описывающих течение полимерного материала в цилиндрической трубе, можно определить касательное напряжение у стенки трубы:
|
R∆P |
|
3n +1 n |
8vmid n−1 |
||||
τw = |
|
= K |
|
|
|
|
|
, |
2L |
|
D |
||||||
|
|
4n |
|
|
|
где D – диаметр трубы, K и n – параметры уравнения Освальда де Виля.
В этом случае динамический коэффициент вязкости можно определить как
|
D |
|
3n +1 n |
8vmid n−1 |
|
||||
η = τw |
|
= K |
|
|
|
|
. |
(4.2) |
|
8vmid |
4n |
D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражения (4.2) в формулу (4.1) и алгебраических преобразований получаем следующую форму записи крите-
рия Рейнольдса для полимерного потока, подчиняющегося реоло-
гическому закону Освальда де Виля, если принять L = D:
41
Re = |
8v2−n Dnρ |
(4.3) |
|||
|
mid |
|
. |
||
|
6n + 2 n |
||||
|
K |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Потери давления при турбулентном течении полимерных материалов в трубах можно рассчитать, если использовать теорему подобия Букингема, на основании которой из общей зависимости –
∆P = f (L, D,vmid ,ρ, K′,n′) |
– было получено следующее уравнение для |
|||||
оценки ∆P : |
|
|
|
|
|
|
∆P = |
4L ρv2 |
f [ReМ , K′,n′]. |
(4.4) |
|||
|
|
mid |
||||
D 2 |
||||||
|
|
|
Входящие в формулу (4.4) реологические константы Метцне-
ра и Рида (K′,n′) зависят от консистентной постоянной K и индекса
течения n, входящих в формулу реологического закона Освальда де Виля:
|
3n −1 n |
|
|
n |
|
|||||
K′ = K |
|
|
; n′ = |
|
|
|
|
|
|
. |
4n |
|
|
1 |
|
|
dn |
||||
|
|
1 |
− |
|
|
|
||||
|
|
|
(3n −1) |
|
d ln τmid |
|
Параметры же K и n определяются, как отмечалось ранее в лекции II, физико-химическими свойствами полимерного материала.
Наконец, выражение критерия Рейнольдса по Метцнеру (ReM)
определяет коэффициент внутреннего трения потока и трения о стенку трубы:
ReМ = |
Dn′v2−n′ρ |
; |
|
mid |
|
||
K′ |
|
||
|
|
|
|
cfr = f (ReМ,n′) |
(4.5) |
Додж и Метцнер определили вид функции f, входящей в уравнение (4.5), распространив на неньютоновские жидкости логарифмиче-
скийзаконсопротивления потока, предложенныйКарманом:
42
![](/html/65386/197/html_5FEZiJ6ZB5.wQlD/htmlconvd-jgYRIX43x1.jpg)
1 |
= 4,0log(Re cfr ) −0,4. |
(4.6) |
|
||
cfr |
|
Уравнение (4.6) для полимерных (неньютоновских) потоков, подчиняющихсяреологическому закону ОсвальдадеВиля, имеетвид
|
|
|
1 |
= C1 log(ReМ c1fr−n′/ 2 ) +C2 , |
|
(4.7) |
||||||
|
|
|
cfr |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где С1 и С2 – параметры, зависящие только от |
′ |
|
|
|||||||||
n : |
|
|
||||||||||
|
4,0 |
|
|
|
1 |
|
4,0 |
|
1−n′/ 2 |
|
|
|
C1 = |
|
|
; |
C2 = |
|
− |
|
log(ReМ cfr |
), |
(4.8) |
||
′ 0,75 |
|
cfr |
′ 0,75 |
|||||||||
|
(n ) |
|
|
|
|
(n ) |
|
|
|
причем найденный по формуле (4.8) параметр С2 связан с константой n′ :
C2 = − |
0,4 |
. |
(4.9) |
′ 1,2 |
|||
|
(n ) |
|
Учитывая зависимости (4.8) и (4.9), выражение для коэффициента трения полимерного потока можно записать в следующей форме
(рис. 4.2):
1 |
|
4,0 |
1−n′/ 2 |
|
0,4 |
|
|
|
= |
|
log(ReМ cfr |
)− |
|
. |
(4.10) |
cfr |
′ 0,75 |
′ 1,2 |
|||||
|
(n ) |
|
|
(n ) |
|
Формула (4.10) является обобщением логарифмического закона Кармана.
На рис. 4.3 приведены эпюры скоростей для ламинарного и турбулентного потоков одного из полимеров с индексом течения n = 0,377 и числом Re = 4875 в цилиндрической трубе. Данные получены Доджем и Метцнером на основе предложенных ими эмпирических формул. Видно, что турбулентный (с образованием вихрей) режим течения приводит к существенному увеличению коэффициента внутреннего трения и трения о стенку трубы и, как следствие, к росту динамического коэффициента вязкости полимерного потока в сравнении с ламинарным режимом течения.
43
![](/html/65386/197/html_5FEZiJ6ZB5.wQlD/htmlconvd-jgYRIX44x1.jpg)
Рис. 4.2. Определение коэффициента трения как функции критерия Рейнольдса по формуле (4.10) при различных значениях константы n′:
экспериментальные результаты; экстраполяция
Рис. 4.3. Эпюры скоростей для ламинарного (1) и турбулентного (2) потоков расплава полимера с n = 0,377 (штриховая кривая – n = 1)
44
![](/html/65386/197/html_5FEZiJ6ZB5.wQlD/htmlconvd-jgYRIX45x1.jpg)
Рис. 4.4. Определение критического числа Рейнольдса как функции параметра S
Основные параметры, характеризующие течение в ламинарном и турбулентном режимах и используемые в инженерной практике, следующие:
|
|
Re = |
vmid Dρ |
; |
Re = ST; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
τD |
; T = |
ρv2 |
|
; |
c |
|
= 0,5 |
∆P |
D |
. |
|
|
mid |
fr |
|
|
||||||||
ηv |
|
L |
ρv2 |
|||||||||
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
||||
|
mid |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mid |
|
На рис. 4.4 показана граница перехода из одного режима в другой в виде зависимости критического числа Рейнольдса (Reкр) от параметра S.
В результате исследования кинематических характеристик турбулентного потока в трубе Додж и Метцнер приняли, что для ньютоновских жидкостей, как и для неньютоновских сред, поток может быть разделен на три зоны:
1) ламинарный подслой толщиной δ у стенки трубы (область
0 ≤ y ≤ δ);
45
![](/html/65386/197/html_5FEZiJ6ZB5.wQlD/htmlconvd-jgYRIX46x1.jpg)
2)переходная область толщиной δ1 (δ ≤ y ≤ δ1 + δ);
3)развитый турбулентный поток (δ1 ≤ y ≤ R).
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 . 1 |
|
|
|
Параметры, характеризующие режим течения потока |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ламинарный режим |
Турбулентный режим |
|||||
ньютоновские |
вязкопластичные |
ньютоновские |
вязкопластичные |
||||||
|
среды |
|
среды |
среды |
среды |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆P |
D2 |
|
|
∆P |
D2 |
|
|
||
|
|
|
= 32 |
|
|
= f (S) |
2cfr = f (Re) |
2cfr = f (Re, S) |
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
ηvmid |
L |
ηvmid |
||||||
|
|
||||||||
cfr = |
16 |
2cfr = f (S) Re−1 |
|
2cfr = f (Re,T ) |
|||||
Re |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim f (S) = 32 |
|
2cfr = f (Re,T ) |
|||
|
|
|
|
S → 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.5. Зависимость коэффициента трения (cfr) от величины критерия Рейнольдса (Re) для полимерных суспензий при различных скоростях потока (vmid)
В табл. 4.5 обобщены данные, с помощью которых можно определить коэффициент трения (cfr) (рис. 4.5) при турбулентном течении ньютоновских (пластификаторы) и неньютоновских (полимерные расплавы) жидкостей в трубах.
46
Лекция V
Теплообмен при течении полимерных материалов
К уравнениям, описывающим процесс теплообмена в потоке жидкости или полимерного материала, относятся уравнения сохранения количества движения, неразрывности и теплообмена. В записи этих формул следует учитывать изменение реологических характеристик потока от температуры.
Уравнение теплообмена в обобщенном виде записывается так:
∂T |
+v |
|
∂T +v |
|
∂T |
+v |
∂T |
= |
|
|
|||||
∂t |
|
x ∂x |
|
y ∂y |
|
|
z ∂z |
|
|
|
(5.1) |
||||
= − |
1 |
|
|
∂q |
x + |
∂qy |
+ |
∂q |
|
+ |
|
G |
|||
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
∂y |
|
|
ρcp A |
|||||||||
|
ρcp |
∂x |
|
|
∂z |
|
|
где qx, qy, qz – удельные тепловые потоки вдоль осей x, y, z; ρ – плотность полимерного материала; сp – теплоемкость потока; А – механический эквивалент теплоты; G – диссипативная функция, равная:
G=
+∂vx∂y
|
n−1 |
|
∂vx |
2 |
|
|
∂vy 2 |
|
∂vz 2 |
|
|
|
|
|||
2KI2 |
[ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
||||
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2) |
|||
|
∂vy |
2 |
|
∂vx |
|
∂vz 2 |
|
∂vz |
|
∂vy 2 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
]. |
|
∂x |
∂z |
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина G характеризует ту часть механической энергии, которая переходит в тепловую и способствует нагреву полимерного потока.
Например, во время экструзии высоковязкого полимерного материала через формующий канал слои потока у стенки нагреваются за счет больших скоростей сдвига в этом месте, изменяя при этом динамический коэффициент вязкости, а следовательно, и величину потерь – диссипации – энергии.
Помимо функционального параметра G в уравнение притока теплоты (5.1) входят величины удельных (на единицу площади) тепловых потоков qx, qy, qz. Согласно закону Фурье указанные потоки для
47
ньютоновских сред можно вычислить по формуле q = −λ gradT , где λ – коэффициент теплопроводности полимерного материала.
Входящие в уравнение (5.2) параметры K, n – константы закона Освальда де Виля, зависящие от физико-химических свойств полимерного материала и температуры. Поэтому необходимо учитывать и температурную зависимость динамического коэффициента вязкости, например, с помощью эмпирической формулы Вильямса – Ланделя – Ферри.
Функциональный параметр I2 – квадратичный (второго ранга) инвариант тензора скоростей деформаций, который записывается в виде
|
|
|
|
|
|
∂vx 2 |
|
|
∂vy |
2 |
|
∂vz 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
I2 |
= [2 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂vx |
|
∂vy |
2 |
|
∂vy |
|
|
∂vz |
|
2 |
∂vx |
|
|
∂vz 2 |
1/ 2 |
|
|||||||||||
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
] |
. |
|||
∂y |
∂x |
|
∂z |
|
∂y |
|
∂z |
∂x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для неньютоновских сред, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля, существуют и другие формы записи закона Фурье:
q = −B(2I2 )(n−1) / 2 gradT; q = −N[gradT ]n−1gradT ,
где B и N – некоторые постоянные величины, зависящие от физикохимических свойств полимерных материалов.
Теплообмен при ламинарном течении в канале. Рассматрива-
ется стабилизированный полимерный поток в цилиндрическом канале. Распределение температур при его течении в соответствии с законом Освальда де Виля определяется из уравнения теплопроводности в виде
v |
x |
∂T |
= |
λ |
|
1 |
∂2T |
+ |
1 ∂T |
|
+ |
η |
∂v |
x |
2 |
+ |
v |
x |
T |
|
|
∂P |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eff |
|
|
|
|
|
mid |
|
|
. |
(5.3) |
||||||||
L ∂t |
ρc R2 |
∂y2 |
y ∂y |
ρc R2 |
∂y |
|
|
|
∂L |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
ρc |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь диссипативный член уравнения (5.1) эквивалентен выражению
G |
= |
η |
∂v |
|
2 |
+ |
v |
x |
T |
|
|
∂P |
|
|
||
|
eff |
|
|
x |
|
|
|
mid |
|
|
, |
(5.4) |
||||
ρc |
ρc R2 |
|
|
|
|
∂L |
||||||||||
|
∂y |
|
L |
ρc |
|
|
|
|
||||||||
pA |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
где ηeff – эффективная вязкость; Tmid – средняя температура полимерного потока; L – длина участка трубы радиусом R.
Левая часть уравнения теплопроводности (5.3) представляет изменение температуры потока вдоль трубы; первый член в правой части отражает распределение температуры по сечению трубы; второй и третий члены правой части – локальное тепловое напряжение.
Величина ∂P / ∂x , так же как и vx, определяется из записанного соответствующимобразомуравнениясохраненияколичествадвижения.
Уравнение (5.3) является основным при решении задачи о теплообмене полимерного потока со стенкой трубы, через которую может подводиться или отводиться тепловая энергия соответствующим устройством.
Ниже приведены необходимые граничные условия по температурам: текущей (T), начальной (T0) и на стенке (Tw):
|
T − T0 |
= 0 |
при r = R и x > 0; |
||
|
|
||||
T |
− T |
|
|
|
|
|
w |
0 |
|
|
|
|
T − T0 |
|
= 1 |
при r < R и x = 0. |
|
|
|
|
|||
|
T |
− T |
|
|
|
|
w |
0 |
|
|
|
Если в уравнение (5.3) величину скорости потока (vx) выразить через формулу (3.19), то искомое распределение температур выразится так:
vxmid 3n +1 |
|
|
r |
(n+1) / n |
|
∂T |
|
|
λ |
1 |
|
∂2T |
|
|
1 ∂T |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[1− |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
] + |
|
||||
|
L n +1 |
R |
|
|
|
∂L |
ρcp R |
2 |
∂y |
|
y ∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.5) |
|||||||||||||||||||||
+ |
|
η |
|
∂v |
|
2 |
+ |
|
vx |
|
|
T |
|
|
|
∂P |
|
3n +1 |
|
[1 |
− |
|
|
r (n+1) / n |
||||||||||||||
|
|
|
eff |
|
|
|
x |
|
|
mid |
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ρcp R |
2 |
∂y |
|
|
L |
|
|
|
|
|
∂L |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρcp |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая последними двумя членами правой части (не учитывая диссипацию энергии), можно также записать
vxmid |
|
3n +1 |
1 |
− |
|
r |
(n+1) / n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L |
|
n +1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂T |
= |
λ 1 |
|
∂2T |
+ |
1 ∂T |
(5.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|||
∂L |
ρcp R |
2 |
∂y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y ∂y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя безразмерную температуру θ= (T −T0 ) /(Tw −T0 ) и разделив переменные путем замены θ = ϕ( y)ψ(L), можно прийти к систе-
ме следующих вспомогательных уравнений:
1 dψ |
= − |
λ |
|
β2 |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ψ dL |
ρcp v |
|
|
3n +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
xmid |
|
n +1 |
|
|||||||||||
d 2ϕ |
+ |
1 |
|
dϕ |
+β2 |
1 |
− |
|
r |
(n+1) / n |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dy |
2 |
|
|
y dy |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.7)
ϕ = 0.
Диапазон0 < n < 1 соответствуетпотокамполимерныхматериалов. На рис. 5.1 показано распределение температур в цилиндрическом канале при течении в нем расплава полиэтилена за счет перепада давления в 30 МПа. Форма кривых распределения температуры по сечению трубы обусловлена нагреванием полимерного потока за счет внутреннего трения и охлаждением за счет теплопроводности. Непосредственно у стенки канала, при y = r = R = 1, преобладает процесс охлаждения за счет теплопроводности стенки трубы. На некотором расстоянии от стенки скорость сдвига потока так велика, что преобладающим фактором оказывается нагревание за счет внутрен-
него трения между макромолекулами полиэтилена (рис. 5.2).
Плавление, отверждение полимерных материалов. В большин-
стве случаев процессу формования изделий предшествуют операции транспортировки и деформации размягченных или расплавленных полимеров, атакжекомпозиционныхматериалов наихоснове.
Стадия плавления является типичной, прежде всего, при переработке термопластичных материалов. Однако методы решения уравнений теплопроводности применительно к плавлению справедливы и для фазы отверждения изделия за счет образования поперечных химических связей.
50