книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов
..pdfОтметим также, что переход от неравенства (7.48) к дифферен циальной постановке (с учетом зон застоя) достаточно сложен, и поэтому здесь заниматься этим не будем.
Если силы инерции пренебрежимо малы, то вариационное нера венство (7.48) (в котором pUibUi сх. 0) эквивалентно задаче миними зации функционала:
J (v) = j |
[ osett (о) -f -у pel (и)] d Q - L $ |
(7.49) |
и |
‘ |
|
на множестве кинематически допустимых полей скоростей (напом
ним, что в этом случае div и = 0 , v\s = g).
Доказательство последнего утверждения нетрудно получить на основании известных теорем из теории выпуклой оптимизации — нелинейного программирования, как это сделано, например, в ра боте [10] для деформационной теории пластичности.
Проводя рассуждения, аналогичные использованным выше, мож но показать, что для зависимости (7.14) квазистатические краевые
задачи приводятся к минимизации функционала |
|
|
Л |
'и Й |
|
J Ф (т) dx -f oseu (о)] dQ — L (о) |
(7-50) |
|
при достаточно общих |
ограничениях на функцию Ф (т) |
(которые |
также можно найти на основании теорем в работе [10]). |
|
В заключение этого параграфа приведем вариационную поста новку задач о течении жестковязкопластического материала при граничных условиях (7.19) — (7.20), учитывающих трение движу щегося материала о жесткую границу (штамп, стенку). Будем пред
полагать, что часть границы sc, |
на которой заданы условия (7.19) |
и (7.20), неподвижна; используя |
введенные (7.19) и (7.20) обозначе |
ния для коэффициента трения /, |
нормального ок и касательного <тт |
поверхностных усилий, вместо уравнения возможных мощностей
(7.36) |
будем |
иметь следующее уравнение: |
|
|
J |
ацёц (6м) |
dQ = L (6и) + J рiiibUi dQ + |
J (oNbuN + т6ыт)х< |
ds, (7.51) |
R |
|
R |
s |
|
которое даже при отсутствии сил инерции не сводится к задаче минимизации функционала. Предположим, что в процессе движения
в области Q могут |
возникать застойные зоны, материал в зоне sc мо |
|
жет отставать |
от |
границы — это влечет за собой ограничение на |
знак ON : aN < |
0, и что в зоне контакта могут возникать зоны сцеп |
ления и скольжения, граница между которыми заранее неизвестна и подлежит определению в процессе решения (как и истинная мгно венная зона контакта). Оценим плотность мощности внутренних
усилий Оцёц (би) по неравенству (7.46); мощность поверхностных усилий oNbuN оценивается следующим образом:
oNbuN ^ 0 |
(7.52) |
|
221
Мощность касательных усилий oT*6wt не меньше величины:
|
стт-6«т 5г - /|< % |(К 1 |
- |ит |)- |
(7-53) |
Из (7.51) с учетом указанных оценок получим неравенство |
|||
J [о, + |
Зцёи (и)] [ёи (о) - ёи («) dQ -f J |
f | ок | (| vr | - |
| «г |) ds ^ |
0 |
*с |
|
|
|
L (би) + f рHibui dQ, |
(7.54) |
|
|
п |
|
|
которое, как отмечалось выше, включает в себя физический закон (7.41), а также закон трения Кулона (7.19) и (7.20) (доказательство последнего утверждения достаточно громоздко — оно приведено в диссертации Кравчука А. С. — М.: МГУ, 1981 — и здесь опус кается).
Далее будут рассмотрены только задачи без трения; отметим, что трудности решения задач с учетом трения на границе преодоле ваются способами, аналогичными тем, которые изложены ниже при менительно к решению краевых задач теории жестковязкопластиче ских сред.
7.5.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Д ЛЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
а.Квазистатические задачи. Напомним, что эти задачи приво дятся либо к решению неравенства:
[ [ств + Зцв„ (и)] [в„ (о) - ёи (и)] d Q -^L (6и) |
(7.55) |
£1 |
|
(которое при отсутствии зон застоя превращается в уравнение вида (7.38)), либо к задаче минимизации функционала
J(v) = | [ а5ёи (v) -f — ре,2(о)] dQ — L (v) |
(7.56) |
й |
|
на множестве полей скоростей, удовлетворяющих условию несжима емости:
div v = О
и условию прилипания на Как уже отмечалось, точные решения данных задач удается по
строить лишь в крайне редких случаях, в практически интересных задачах приходится использовать приближенные, в частности, чи сленные методы и ЭВМ. Одна из трудностей в использовании при ближенных методов заключается в необходимости удовлетворения условия несжимаемости; вторая, более существенная, обусловлена
тем, что функционал (7.56) при наличии зон застоя (ёи (и) = 0 во внутренних точках области Q) является недифференцируемым, и
222
классические прямые методы вариационного исчисления, основанные на приведении задач к системе нелинейных алгебраических уравне ний, здесь не работают. В настоящем параграфе будут изложены спо собы, позволяющие преодолеть указанные затруднения и эффективно строить решения (конечно, с применением численных методов и ЭВМ).
Рассмотрим сначала проблему, связанную с недифференцируе мостью функционала. Для ее решения к настоящему времени опро бованы методы регуляризации, двойственности и прямого поиска минимума функционала (7.56).
Метод регуляризации. В данном методе недифференцируемая часть
функционала (7.56) |
|
|
|
\o seu(v)dQ |
(7.57) |
|
й |
|
аппроксимируется |
некоторым выражением /е (и), |
зависящим от чи |
слового параметра |
е, причем производная /е (у) |
существует всюду |
в области П, а разность | j (v) — je (о)) стремится к нулю при в -*-0. На практике для аппроксимации функционала (7.57) применяются следующие регуляризации:
/еI Й = |
2<J \ [ 4 |
Й + А ' п dQ; |
(7.58) |
h й = |
а |
(4)ll+e,/2dQ. |
|
о* J - q r j |
(7.59) |
||
|
Q |
|
|
При замене функционала (7.57) приближенным выражением (7.58) вместо неравенства (7.48) получается уравнение:
— - gs - - + 2ц 1 ёи (и) ёц (6и) dQ = L (6u) |
(7.60) |
|
У el (и) + Б2 |
J |
|
(вариация регуляризованногоИ |
функционала приравнивается |
нулю); |
использование аппроксимации (7.59) приводит к такому уравнению:
| 1 й ( Й 1 ~ + 2 ц } м « ) Ы Й ^ = М Й - (7-ei)
Как уравнение (7.60), так и уравнение (7.61) надо решать при со блюдении условия (7.57).
Методы двойственности. Применительно к рассматриваемым
здесь задачам метод двойственности строится на |
основе следую |
|
щего предельного равенства: |
|
|
1Л |
sup / Й |
(7.62) |
которое на плоскости, например, означает, что скалярное произве
дение векторов имеет максимальное значение, когда переменный
223
ограниченный по модулю вектор р, совпадает по направлению с век
тором /, и если | р | < 1, то максимум будет равен | f |.
Используя эту идею, заменим «нерегулярное» слагаемое следую
щим выражением: |
|
|
|
ёи (и) = |
sup |
тиёи (и), |
(7.63) |
|
mij' ти^ |
* |
|
где по определению ти = |
У 2l3mijtnjj. Внося выражение |
(7.63) |
в функционал (7.56), придем к следующей задаче: найти минимум по v и максимум по /п,7- функционала:
J {v, ти) = J [о/пиёи (и) + \ |
(«)] d Q - L (и) |
(7.64) |
Q |
|
|
при ограничениях: |
|
|
div v = 0, ти с |
1. |
(7.65) |
Применив теоремы о необходимых и достаточных условиях экстре мума функционала с ограничениями, получим следующие соотноше ния:
|
f[о,тиёц (би) -f- 21лёи (и) ёи (6м)] dQ = L (6м); |
(7.66) |
||
|
Q |
|
|
|
|
|
[ а3ёи (и) 6m,7 dQ < 0, |
|
(7.67) |
|
|
6 |
|
|
(где 6ти = n i} — triij\ т — истинное состояние; n tj |
— возможное; |
|||
bmi} — вариация |
решения), определяющее решение |
задачи |
м, т,/, |
|
решать |
систему |
(7.66) — (7.67) нужно по-прежнему |
при дополни |
|
тельных |
условиях (7.65). |
|
|
Методы прямого поиска представляют собой алгоритмы миними зации функций с ограничениями без использования производных; к этим методам относится метод локальных вариаций и его модифи кации; об этом методе будет сказано ниже, после преобразования полу ченных здесь задач к конечно-мерным (пространственной дискрети зации).
Рассмотрим теперь вопрос о методах учета условия несжимаемо сти (7.57), позволяющих без труда реализовать это условие на ЭВМ.
М е т о д |
м н о ж и т е л е й Л а г р а н ж а . Ограничение не |
сжимаемости |
(7.57) является ограничением — равенством, следова |
тельно, для его учета можно применить классический метод множи телей Лагранжа, в соответствии с которым задача минимизации функционала (7.56) с ограничением (7.57) заменяется задачей разы скания седловой точки функционала:
Jp (v, р) = J (v )— J р divу dQ |
(7.68) |
224
(минимума по v и максимума по р), где р — множитель Лагранжа, являющийся средним давлением в материале (последнее утвержде ние устанавливается с использованием необходимых условий ста ционарности функционала).
Преимущество данного метода — его простота и наглядность, недостаток — увеличение числа искомых функций на 1: например, при использовании регуляризации (7.58) вместо одного уравнения (7.60) получим систему связанных уравнений:
[ |
+ 2 ,] ё„ (Z) etj (61) - р div (6ы)| da = L (6u); (7.69) |
Q |
е,< ( ) + е |
|
[ (div u)bpd£l = 0 |
|
n |
относительно функции и, р.
Метод штрафа (псевдовязкости). Формально алгоритм данного метода можно построить, применив метод множителей Лагранжа к задаче минимизации функционала (7.56) с условием
(div u f = 0
эквивалентным условию несжимаемости, причем дополнительно по требовать, чтобы соответствующий множитель Лагранжа был задан ным положительным числом. Если этот множитель обозначить че рез fc/2, то получается задача минимизации функционала:
о
которая, в свою очередь, при использовании регуляризации (7.58)
эквивалентна одному уравнению: |
|
|
J 11’- ^ = |
+ 2р.J ёц (и) ёц (8п) + k div и div (8u)J dQ = L (6w). (7.70) |
|
Нетрудно |
убедиться в том, что при |
= 0 уравнение (7.70) от |
вечает некоторому фиктивному материалу (жидкости) со следующим законом поведения:
= {k ~ Т" 0 (div “) + 2рё1} (и), |
(7.71) |
т. е. линейно вязкой жидкости Ньютона с ненулевой объемной (вто рой) вязкостью, чем и объясняется второе название метода (псевдо вязкости). Очевидно, при os Ф 0 получается некоторая нелинейно вязкая жидкость, коэффициент вязкости которой зависит от скоро сти деформации и параметра регуляризации е. Отметим в заключе нии этого пункта, что изложенный прием приближенного учета не сжимаемости представляет собой один из вариантов широко исполь зуемого в задачах нелинейной оптимизации метода штрафа.
225
Если рассматриваются плоские задачи, то, вводя функцию на пряжений и функцию тока — как это сделано в п. 7.2 — также из бавляемся от необходимости удовлетворять условию несжимаемости, однако, очевидно, и в дифференциальной и в вариационной поста новке задач будут фигурировать вторые производные от искомых функций, что, конечно, осложняет численное решение соответствую щих уравнений.
б. Динамические задачи. В динамических задачах учитываются силы инерции, следовательно, эти задачи не сводятся к минимизации функционалов типа (7.56). Если во всей области Q материал нахо дится в состоянии пластического течения, то, как показано выше, задачи динамики здесь приводятся к вариационному уравнению (7.38), которое для краткости перепишем следующим образом:
|
|
|
— J |
piiibUidQ = |
(А (м), Ьи), |
|
(7.72) |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
где через (А (и), |
Ьи) обозначено |
выражение: |
|
|
||||
|
(А (и), Ьи) = J [crs + 3\ieu Й ] Ьёи (и) dQ—L {Ьи). |
(7.73) |
||||||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
При наличии зон застоя можно поступать следующим образом: |
||||||||
в качестве |
исходной постановки, задачи выбирать |
вариационное |
||||||
уравнение |
типа |
(7.60) — (7.61), |
в котором к мощности заданных |
|||||
внешних |
сил |
следует |
добавить |
мощность сил |
инерции — |
|||
JpUibUidQ в результате снова придем к уравнению(7.72), в котором |
||||||||
а |
|
|
Ьи) будет другим, например, при использовании |
|||||
выражение {А {и), |
||||||||
уравнения |
(7.60) |
|
будем |
иметь: |
|
|
|
|
(A (Z). 6и) = Г Г |
”1 |
+ 2ц1 ё„ (Z) ё„ (Щ д а - L |
(Си). |
(7.74) |
||||
|
J |
1*ёи (“) + |
J |
|
|
|
||
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Определенные возможности для построения алгоритмов |
решения |
возникают после дискретизации по времени t, об одной из них ска зано ниже.
Для решения уравнения (7.72) с начальным условием |
|
и| t=o = и {х, 0) = и0 (х) |
(7.75) |
применяются различные шаговые процедуры по времени, простей шей из которых является схема Эйлера:
пJ Р |
I/ J+I _ип |
|
|
‘ д<„ |
' «в?<Й2.= <Д (и"), «и">, |
(7.76) |
|
где и1 = Ui (х , tn), |
Дtn = |
tn+i — tn, t — момент времени, |
для ко |
торых определяется решение. Схема Эйлера, как известно, приводит к значительному накоплению погрешности с увеличением времени t и,
226
кроме того, условно устойчива, однако она чрезвычайно проста в реализации и экономична по затратам машинного времени и памяти и до настоящего времени используется в расчетах.
На практике чаще используются стандартные программы инте грирования по методу Рунге — Кутта с автоматическим контролем точ ности, что избавляет от необходимости заранее обеспечивать устой чивость, хотя приводит к большим затратам времени и памяти ЭВМ.
Рассмотрим подробнее вопрос о использовании неявных разност ных схем на примере простейшей схемы:
£/2 |
//'+• — пп |
|
Р 1 А1 ‘ би"+| dQ = {А (и"+|), 6«"+1> |
(7.77) |
неявная схема обладает тем преимуществом, что формально она сво дится к задаче минимизации функционала:
7» Й = j Й + J 23Г Р Й 2 dn — J-S7 р й -' dQ, (7.78)
ОQ
где J (v) определяется по формуле (7.56), элемент vn~l считается из вестным из предыдущего шага; сформулированное утверждение по лучается как следствие уже цитированных в § 7.4 теорем из теории нелинейной оптимизации и естественного предположения о том, что плотность материала р > 0.
Аналогичное утверждение справедливо и при наличии зон за
стоя, когда вместо |
уравнения (7.77) |
имеется неравенство: |
|
||
Г |
и п+ { — |
и'} |
Г |
(7.79) |
|
— J Р |
- |
& |
- 8u?+ldQ < |
J [а + Зр<?п(пп+1)] х |
X [ёп (о) — ёп (n)n+l]dQ — L (Ьи11-И), 6un+l = v — ип+1.
Соответствующий данному неравенству функционал совпадает с функ ционалом (7.78) и минимизируется на множестве полей скоростей, удовлетворяющих условию несжимаемости и условию прилипания на части поверхности Sw.
Отметим, что проблемы, связанные с несжимаемостью и с недиф ференцируемостью функционала (7.78), решаются при помощи спо собов, рассмотренных выше для случая квазистатических задач.
7.6. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ЖЕСТКОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД*
Рассмотрим теперь один универсальный метод дискретизации по лученных выше задач, позволяющий фактически строить с помощью ЭВМ их приближенные решения. Речь пойдет о методе конечных элементов, который получил широкое распространение для решения
* Данный параграф, будучи естественным продолжением гл. 8 , излагается здесь применительно к расчету течений жестковязкопластнческих сред.
227
задач механики и вообще задач, приводимых к краевым и начально краевым задачам для дифференциальных уравнений. Популярность данного метода обусловлена его относительной простотой и нагляд ностью, нечувствительностью к форме области, коэффициентов урав нений и виду внешних воздействий; кроме того, к настоящему вре мени на базе метода конечных элементов созданы пакеты приклад ных программ и системы автоматизированного проектирования раз личных машиностроительных и строительных конструкций, что сде лало метод конечных элементов доступным широкому кругу пользо вателей, не являющихся профессиональными вычислителями. По ме тоду конечных элементов опубликовано большое число руководств, учебников и учебных пособий; сршлемся здесь лишь на книгу авто ров [10], идеи которой будут использованы ниже.
Рассмотрим для определенности задачу о плоской деформации жестковязкопластического материала; проблему недифференцируе мости решим с помощью метода регуляризации (7.59), проблему не сжимаемости — по методу штрафа (7.72), в результате придем к урав нению:
| {2цёгу {и) ёц (б«) + а* [ 4 ёа Й ёи Й ] 2ёи Й ёи ( Й |
+ |
Я |
|
+ k (div и) + put би£} dQ = L (би), |
(7.80) |
которое необходимо решать при условии прилипания на части гра ницы So в начальном условии
и(0, х) = М *) |
(7.81) |
(которое не нужно при решении квазистатических задач). Будем
предполагать, что задана начальная конфигурация области Й, т. е. что
* |,=0 = *о = а |
(7.82) |
и построим по методу конечных элементов систему обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих уравнению (7.80) и оп ределяющих мгновенное поле скоростей в некоторой текущей конфи
гурации й |
= Й (/). Использовав |
начальное условие |
(7.82) для сме |
щений и |
интегрируя уравнение: |
|
|
|
£ = |
0 |
(7.83) |
можем проследить область й в ее движении; для этого можно исполь зовать либо перестройку сетки конечных элементов, либо алгоритмы типа «крупных частиц».
Для того, чтобы иметь возможность в процессе вычислений из менять параметр штрафа k, аппроксимируем отдельно квадрат ин-
228