книги / Моделирование переходных процессов в полюсопереключаемых асинхронных двигателях
..pdfми дифференциальными уравнениями и получать анали тическое решение.
Развитие вычислительной техники в значительной степени увеличивает возможности исследователей по изучению переходных процессов в электродвигателях и позволяет выполнять расчеты с мгновенными значе ниями реальных токов статора и ротора. Однако вопрос использования замены переменных остается актуальным. G целью определения целесообразности этой замены не обходимо сравнивать затраты на составление математи ческих моделей, программ для ЦВМ, их эффективность для машинного счета при работе с преобразованными и непреобразованными уравнениями. Полученный резуль тат сравнения зависит от особенностей исследуемого устройства и режимов его работы, системы допущений, принятой при составлении математической модели.
На этапе разработки алгоритмов и программ замена переменных хотя и требует некоторых дополнительных усилий на освоение этого метода и получение выраже ния ЭДС вращения (2.2), но позволяет работать с более простыми выражениями матриц параметров (отсутствие периодических коэффициентов), сократить число диф ференциальных уравнений, избежать дифференцирова ния матрицы индуктивности по углу поворота ротора (отсутствие в выражении (2.3) последнего слагаемого). При машинном счете алгоритмы с преобразованными уравнениями оказываются более эффективными, по скольку нет необходимости рассчитывать текущее зна чение угла поворота ротора и можно увеличить шар численного интегрирования системы дифференциальных уравнений. Это позволяет сократить затраты машинного времени, повысить точность расчетов. Эффективность замены переменных снижается, если обмотки и статора, и ротора обладают несимметрией. В этом случае нельзя избавиться от всех периодических коэффициентов, за висящих от угла поворота ротора. Однако, несмотря на это, в соответствии с работой [45] применение замены пе ременных остается целесообразным, поскольку коли чество периодических коэффициентов уменьшается. При анализе режимов работы двигателей, связанных с пи танием от полупроводниковых источников, необходимо рассчитывать мгновенные значения реальных токов ста тора. Это ограничивает использование замены перемен^ ных, но лишь для статорного контура. Представление роторных переменных в системе координат статора без преобразования статорных переменных позволяет иск
лючить периодические коэффициенты (такая замена при менена в данной работе).
Таким образом, если замена переменных позволяет упростить уравнения, применение ее остается целесо образным. Практика показывает, что вместе с ростом возможностей вычислительной техники наблюдается рост (причем всегда опережающий) сложности решаемых задач, поэтому следует создавать максимально эффек тивные алгоритмы.
3.Системы преобразованных переменных
иматриц параметров
Симметричные составляющие пространственных векто ров статора. При анализе процессов в асинхронном дви гателе с несимметричной трехфазной обмоткой статора, создающей одну пространственную гармонику, иногда
вкачестве новой переменной применяют изображаю щий вектор, характеризующий величину и положение
впространстве максимума МДС статора. Данный вектор получается в результате разложения системы трех про
странственных векторов МДС фаз FAt FB, FQ (1.3) на симметричные составляющие
F0 - Ы ЬНА + |
/в е'Ч в + f c ^ i c ; |
|
= fAe,t>AiA + |
afBe!{>BiB _j_ a2fcefC>cict |
(2.4) |
Fz *» fA ^ iA +
где a = e/120° — оператор поворота для трехфазной системы. Матрицы преобразования для статорных переменных в этом случае имеют вид
|
e~ltAlf» |
e~liAlfA |
e ~ '4 fA |
|
e~iiBlfB |
|
a e -lbBlfB |
|
<Г,вс//с |
«e~'*clfc |
a2e~ibc/fc |
|
fAeliA |
fse^B |
fceltc |
i |
f ^ bA |
afBel6B |
o*/ee"te |
fAefiA а^ве^в afceit>c
Нулевая симметричная составляющая F0 является сум марным вектором МДС фаз и вращается в прямом на правлении. Она соответствует изображающему вектору для несимметричного двигателя [66]. Первая симметрич
ная составляющая Ft вращается в обратном направле нии, а направление вращения второй зависит от степени несимметрии параметров. При такой замене переменных три дифференциальных уравнения для мгновенных ве личин фазных токов статора с учетом (2.2) преобразуют ся в три уравнения для пространственных комплексов.
Одна из новых переменных (Г0) — суммарный вектор МДС.
Если обмотка статора обладает только пространст венной несимметрией, получают систему новых пере менных, одна из которых пропорциональна суммарной МДС, раскладывая пространственные векторы мгно: венных значений фазных токов на симметричные состав ляющие [52]. Модуль пространственного вектора в этом случае равен мгновенному значению тока; аргумент определяется положением в пространстве положитель ного максимума МДС. Симметричные составляющие таких векторов имеют вид
!„ = - 5 + i c e >Sc) ;
i, — f (iV*-4 + aiBel6s + aHc^c)-, |
(2.6) |
h = -i- ( U e fiA + r t / * + a i c e 1* ) . |
|
При симметричном расположении фазных обмоток, когда би = 0°, бв — 120°, б0 = —120°, выражения (2.6) прак тически совпадают с преобразованиями [51, 66, 75], ши роко используемыми при анализе переходных процес сов в симметричных двигателях:
*1 = |
{IA |
Шв 4" cFic)* |
|
|
k |
— |
( k + |
а Ч в - f |
(2.7) |
*о |
я "5“ |
|
4* к)* |
|
Выражения (2.7) представляют собой разложение на сим метричные составляющие пространственных векторов мгновенных значений фазных токов с аргументами е/0\ Коэффициент а/а выбран из тех соображений, чтобы в
установившемся симметричном режиме пространствен'
ный вектор совпадал с временным вектором /. В этом случае временная и пространственная комплексные пло*
скости совмещаются, изображаемый на них вектор / называется пространственно-временным комплексом [28]. Применив к мгновенным значениям фазных токов преобразование (2.7), получим векторы it и i2, являю щиеся сопряженными, и /0 — равный току нулевой по следовательности. Итак, после преобразования токов (2.7) имеем одно уравнение для комплекса ix при i0 = 0.
Выбор новой системы переменных целесообразно осу ществлять при условии инвариантности мощности [37]
Р = [*]/ N = [«],[«]» |
(2.8) |
*
где [i\t — транспонированная матрица сопряженных пространственных комплексов токов. Это позволяет из бавиться от дополнительных коэффициентов в выраже ниях для электромагнитного момента и мощности. При таком условии симметричные составляющие простран ственных векторов фазных токов с аргументами е>°г и матрицы преобразования имеют вид
ios = |
-у=- (iV°° |
|
ieei0° + к е ^ )\ |
|
|||
iis = |
-у=- (1*ле/0° + |
ш ве'0' -f аЧ се}{1Г)\ |
|
||||
~Ы= |
-р=- (й^°° -f a2iBe,0° -f- ai‘ce/0°) = hs\ |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
[C^ |
y |
f |
1 |
|
a2 |
a |
(2.9) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
a |
d2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
ICel” ! = |
T f |
|
1 |
a |
a* |
|
|
|
|
|
|
|
1 d2 a
В случае симметрии параметров анализируемых двига телей преобразования (2.7), (2.9) дают возможность со кратить число переменных от трех скалярных до одной комплексной. Кроме того, получаемый с их помощью модуль пространственного вектора it пропорционален амплитуде результирующей волны МДС обмотки. Если анализируемое устройство несимметрично, находим среди новых переменных результирующую МДС, применяя преобразования типа (2.4), (2.6). В этом случае число неизвестных не сокращается, поскольку три скалярные переменные заменяются тремя комплексными. Преоб разованиями (2.9) также используют для анализа про цессов в асинхронных двигателях с несимметричными обмотками. При этом три скалярные величины (мгновен ные значения фазных токов) заменяются одной скаляр
ной величиной t0, пропорциональной току нулевой по следовательности, и одним пространственным комплек
сом ilt не имеющим физических аналогий.
В уравнениях электрического равновесия исключают периодически меняющиеся коэффициенты, зависящие от угла поворота ротора, если пространственные векторы статора и ротора описаны в одной системе координат. В системе координат, неподвижной относительно ста тора, пространственные векторы ротора должны содер жать множитель e'v0 (см. параграфы 2, 3 первой главы), учитывающий изменение взаимного положения статор ных и роторных контуров. Если система координат не подвижна относительно ротора, статорные пространст венные векторы должны содержать множитель e~ivB. В случае системы координат, неподвижной относительно поля, вращающегося с частотой <р0. статорные векторы должны содержать множитель e ~ i^ f роторные
Симметричные составляющие пространственных век торов ротора и преобразование к ним матриц параметров. Короткозамкнутая обмотка ротора представляет собой г2-фазную систему контуров (см, рис. 1), в которой каж дая пространственная гармоника статора наводит свои контурные токи. В системе координат статора запишем выражение пространственного вектора тока с аргумен том е/0*, наведенного v-й гармоникой статора в *-м кон
туре ротора, iK{V = iK/ve;ve. Систему нз гг простран ственных векторов для контурных токов ротора по v-й гармонике (1.4) раскладываем на га-фазные симметрич ные составляющие 1681, соблюдая условие инвариант ности мощности при преобразовании:
|
|
-I |
ejvQ |
|
[Crv) |
X |
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
ь |
Ь 2 |
|
1 |
b 2 |
|
|
1 |
^(2,-1) |
^2(2,-1) |
^(гг—1)(г,—1) |
Проанализировав выражение (2.10), заметим, что пер
вая симметричная составляющая i\n, пропорциональна суммарным пространственным векторам контурных то ков по гармоникам порядков iz2 + 1 в их системах ко
ординат, вторая симметричная составляющая 12™— сум марным векторам гармоник порядков щ + 2 в их коор динатах и так далее, вплоть до гармоник с порядком Щ + z2 — 1 (i = 0, 1, 2). Нулевая симметричная со
ставляющая ion, пропорциональна суммарным векторам гармоник с порядком iz2. Эти гармоники исключим из рассмотрения, поскольку ток нулевой последователь ности в. короткозамкнутом роторе равен нулю.
Преобразуем систему уравнений электрического рав новесия (1.8) к новым переменным. В качестве новых роторных величин используем симметричные составля ющие пространственных векторов мгновенных значений токов ротора (2.10), а статорные переменные оставим без изменения. В этом случае матрица-столбец новых пере менных состоит из пространственных векторов незави симых токов ветвей статора с аргументами и N групп г2-фазных симметричных составляющих роторных токов:
[f] |
[tsl> . . . |
, isht |
bit |
• • • J |
^rv> **• I |
w]*; ф i2) |
|
[fVv] “ |
UorVj |
i\rvt |
J |
l(2,—l)rv]/» |
|
Матрицы преобразования, связывающие значения |
токов |
|||
системы (1.8) и новые переменные (2.12), имеют |
вид |
|||
[С] = |
diag {[1], |
Cru |
» CrvI • • • » Сгл/)» |
^ |
[ С Г ] = |
diag {[ 11, |
Сн\ |
, C r f t ... , С 7 » )\ 2‘ * |
|
где ICrv), ICrvl” 1 — матрицы |
преобразования |
(2,11). |
[c r I 4 - [ 5 ] |
= |
diag{[°], . . . . |
[0], |
I |
|
|
|||||
- l ^ r U |
h . . . . |
|
|
||
. --------------------/ * - £ |
■ |
[ ! ] } ; |
|
|
|
(см. матрицу на с. 60) |
|
|
|||
[■^rvs] — |
[ C rv ] |
|
[L rv s /i] = " j / r |
X |
|
|
|
0 |
|
|
() |
0 |
0 |
|
A W '6™ '1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
A W " >'vV vrt |
Mrvshe~i6' vsl'eliv '> |
0 |
0 |
0 0
При вычислении матриц [rr], [Lrr], lLsr]| U»rsl необхо
димо |
учитывать значение |
ряда |
1 + |
ba 4* ^ 4- |
4- |
+ ь{г*~~1)а, который равен |
z2 при |
а = |
iz2 (i — 0, |
rfc U |
|
± 2 , |
нулю при а Ф iz2. Свойства этого ряда опреде |
ляют то, что в матрице [ZTm 1 ненулевыми буДУт 9ТР®КИ с номерами только 1 + v — iz2 и 1 -J- za — v <ec'