книги / Линейная алгебра
..pdfПравило 1. При построении жордановой матрицы J для ма трицы А порядка п можно проделать для каждого характеристиче ского корня А»- матрицы А следующие практические действия.
1.Составить матрицу А — А»Е и возводить ее последовательно в
степени т = 1 ,2 ,... до тех пор, пока не получится равенство
г ( А - \ {Е)т = п - т {, |
(4.24) |
где г(А —\{Е)т - ранг матрицы (А — \{Е)т\п - порядок матрицы А; т,- - кратность характеристического корня А,- матрицы А. Наимень шее натуральное число т , при котором выполняется равенство (4.24), даст максимальный порядок ft,- жордановых клеток по А; в матрице
J-
2. |
По формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
qh = 2mh - |
mh- i |
- |
mh+i , |
h = 1 , 2 , . . kt |
(4.25) |
||||||
или по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
qh = |
rh-i —2rh + |
гл+i, |
Л = 1 ,2 ,..., k{ |
(4.26) |
||||||
подсчитать число |
qh жордановых клеток по |
А,- порядка ft, Л = |
1,2, |
|||||||||
...,ifc,*, i = |
1, 2, |
..., |
8. Здесь |
qh - |
число |
жордановых клеток по |
||||||
А* порядка Л в жордановой матрице J матрицы А\ т о |
= 0, |
тр - |
||||||||||
дефект оператора с матрицей |
(А — \{Е)Р\ го = п, гр - ранг матрицы |
|||||||||||
(А - |
А{Е)Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
По вычисленным числам дл, |
Л = 1 ,2 ,...,ft,-, для всех А,- ма |
||||||||||
трицы А составить матрицу J. |
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1. |
Для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/ |
0 |
- |
4 - |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V о |
|
о |
1 |
|
|
|
|
построить жорданову матрицу J . |
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Характеристический многочлен |
|
|
|
||||||||
|
|
|
/ |
—А |
|
- 4 |
- 2 |
\ |
|
|
|
|
|
\А - ХЕ\ = |
( |
1 |
4 - |
А |
|
1 |
= -(А - 2)2(А - |
1) |
|
||
|
|
|
\ |
0 |
|
0 |
|
1 — А |
/ |
|
|
|
имеет корень Ai = |
2 кратности mi = 2 и корень Аг = |
1 кратности |
||||||||||
т2 = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Ai — 2 имеем |
|
|
|
|
|||
|
|
/ - 2 |
- 4 |
—2 |
\ |
||
А — 2Е |
= |
I |
1 |
|
2 |
1 |
, |
|
|
V |
о |
|
0 |
- 1 |
/ |
г(А —2Е) |
= |
г1 —2 ф п —mi |
= 3 — 2 = 1 , |
||||
|
|
/ |
0 |
0 |
|
2 \ |
|
( А - 2 Е )2 |
= |
|
0 0 |
- |
|
1 , |
r(A — 2Е)2 = г2 = 1 = n — mi , |
|
|
\ 0 |
0 |
|
1 / |
|
|
|
|
/ 0 |
0 |
—2 \ |
|
||
( А - 2 Е )3 = |
|
0 0 - 1 , |
г { А - 2Е)3 = г3 = 1 . |
||||
|
|
\ 0 |
0 |
|
1 / |
|
Следовательно, наибольший порядок жордановых клеток по Ai = 2 равен к\ = 2 и по формуле (4.26) находим
<1\ — го — 2ri + Г2 = 3 — 2 * 2 + 1 = 0,
9 2 — T i — 2 г 2 + г з = 2 — 2 * 1 + 1 = 1 .
Поэтому в жордановой матрице J для матрицы А будет по Ai = 2
всего лишь одна жорданова клетка
С!)
При А2 = 1 имеем
1 to |
II |
{А - 2Ef =
|
|
- 4 |
|
, |
г(А — 2Е) = п = 2 = п —гиг |
V |
1 |
3 |
1 0 |
||
о |
0 |
/ |
|
||
|
|
- 3 |
|
|
г(А - 2Е)2 = г2 = 2. |
П |
о |
5 |
|
, |
|
0 |
0 |
/ |
|
||
V |
|
Поэтому в жордановой матрице J для матрицы А по А2 = 1 будет всего qi = го—2 ri+ r2 = 3—2-2+2 = Гжордановых клеток порядка 1. Из полученных жордановых клеток составляем жорданову матрицу
<7 =
При отыскании трансформирующей матрицы Т удобным может оказаться следующее
Правило 2. Бели для матрицы А известна ее жорданова матрица J , то для отыскания трансформирующей матрицы Г следует решить матричное уравнение
T J = АТ. |
(4.27) |
По столбцам матрицы Т легко выписать векторы жорданова базиса оператора А в пространстве X.
Пример 2. Для матрицы А , имеющей жорданову форму J , найти трансформирующую матрицу Г, если
|
0 |
—4 |
—2 \ |
/ |
2 |
1 |
0 |
А = |
1 |
4 |
1 |
, J = \ 0 |
2 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 / |
V |
0 |
0 |
1 |
Решение. Для решения задачи следует решить матричное урав нение T J = АТ, т.е. уравнение
Проведя умножение матриц в обеих частях этого уравнения и сравнив соответствующие элементы левой и правой части этого равенства, получим систему
r |
2®i |
|
= |
—4x2 |
—2*з, |
|
|
XI |
+2yi |
= |
-4у2 |
—2уз> |
|
|
|
*1 |
— |
—4^2 |
-2*3, |
|
|
2X2 |
|
= |
хг |
+4*2 |
+*3, |
< |
Х2 |
+ 2У2 |
= |
У1 |
+4У2 |
+уз, |
|
|
*2 |
= |
*1 |
+4*2 |
+*3, |
|
2хз |
|
= |
Хз, |
|
|
|
Хз |
+2уз |
= |
Уз, |
|
|
|
|
*3 |
= |
*3- |
|
|
Одним из решений этой системы является
XI - |
2, |
У1 = -1 , |
*1 = |
2, |
|
Х2 — Л1, |
У2= |
о, |
;*2 = -1 , |
||
хз = |
0, |
Уз = |
о, |
*3 = |
1. |
Поэтому
2 |
-1 |
2 |
т = - 1 |
О |
- 1 |
О |
О |
1 |
По столбцам этой матрицы можно выписать'векторы жорданова ба зиса оператора Л:
„(!) (2, —1,0)т , |
= (-1 ,0 ,0 )т , е(1) = (2 ,-1 ,1 )т |
4.4. Т рети й сп особ построени я ж ордановой и трансф орм ирую щ ей м атриц
Приведем еще один способ построения жордановой и трансформи рующей матриц. Для этого нам потребуется следующее замечание. Под элементарными преобразованиями над A-матрицей А(А) пони мают:
1.Умножение любой строки матрицы А(А) на любое число а ф О,
2.Умножение любого столбца матрицы А(А) на любое число а ф О,
3.Прибавление к любой г-й строке любой j-й строки, умноженной
на любой многочлен у?(А), г ф j щ
4.Прибавление к любому i-му столбцу любого j-ro столбца, умно женного на любой многочлен ^>(А).
Проверкой легко убедиться, что первое и третье элементарные преобразования над матрицей А(А) равносильны умножению ее слева соответственно на элементарные матрицы
/ 1 \ / 1
а |
<р(\) |
1 / |
(4.28) |
1 7 |
Аналогично второе и четвертое элементарные преобразования над матрицей А(А) равносильны умножению ее справа соответствен но на элементарные матрицы (4.28).
Каноническим видом м атрицы А(А) называют диагональную матрицу
/ ei(A)
е2(А) |
|
е„(А) |
|
в которой каждый многочлен е,(А), i = 2,3, |
нацело делится |
на многочлен e,_i(A), и старший коэффициент каждого многочлена е,*(А), i = 1,2, ... ,п, равен единице. Многочлены ei(A), . . еп(А) называют инвариантными множителями м атрицы Л(А). Мно гочлен еп(А) совпадает с минимальным многочленом матрицы А.
Правило 1. При построении жордановой матрицы J для матрицы
Апорядка п можно осуществить практические действия в следующей последовательности.
1.Составить матрицу А — ХЕ и для каждого jfc, 1 < к < п, вычи слить наибольший общий делитель d*(A) всех миноров fc-ro порядка этой матрицы, взятый со старшим коэффициентом, равным единице.
2.Вычислить инвариантные множители ei(A), ..., еп(А) матрицы
А— АЕ по формулам
|
|
(4.29) |
3. |
Разложить каждый инвариантный множитель е*(А) в произве |
|
дение элементарных делителей, т.е. в произведение вида |
|
|
|
е*(А) = (А - АО"*! ... (А - А,)"**, к = 1,2,..., п. |
(4.30) |
4. Составить жорданову матрицу J матрицы А, ставя по ее диа гонали в соответствие каждому элементарному делителю (А — А; )Л*>
из разложений (4.&0) жорданову клетку по Aj порядка пьг
Примечание. Пункты 1 и 2 правила 1 можно заменить следующим: инвариантные множители ei(A), ..., еп(А) матрицы А - \ Е получить путем приведения ее к каноническому виду с помощью элементарных преобразования над нею.
Пример 1. Пользуясь правилом 1, найти жорданову матрицу J для матрицы
Реш ение. Составим матрицу |
|
|
'- А |
1 |
О |
А - А\Е = ^| - 4 |
4 — А |
О |
- 2 |
1 |
2 - А , |
Очевидно, что общий наибольший делитель всех ее элементов tf1(A) = 1. Для отыскания ^г(А) выпишем все миноры второго по рядка матрицы А — АЕ:
-А |
|
1 |
|
|
-А |
О |
= 0, |
1 |
О |
|
- 4 |
4 |
- А |
= (А — 2)2, |
|
- 4 |
О |
4 — А |
О = 0, |
||
-А |
1 |
— —А + 2, |
-А |
|
О |
= А(А — 2), |
|
|||
-2 |
1 |
-2 |
2 - А |
|
||||||
1 |
О |
|
|
- 4 |
|
1 - А |
= |
—2(А — 2), |
|
|
1 |
2 - А = |
2 - А, |
-2 |
|
1 |
|
||||
- 4 |
|
О |
= 4(А — 2), |
4 |
- А |
О |
|
= |
( 2 - А)(4 - А) . |
|
-2 |
2 - А |
1 |
2 - А |
Отсюда видно, что ^г(А) = А — 2. Для отыскания <^з(А) замечаем, что
-А |
1 |
0 |
|
|А - ХЕ\ = - 4 |
4 - А |
0 |
= - ( * - 2)3. |
- 2 |
1 |
2 - |
А |
\з Следовательно, ^з(А) = (А — 2 ) . Теперь по формулам (4.29) получаем
ех(А) = * ( А) = 1, е2(А) = |
= А - 2, е3(А) = |
= (А - 2)2. |
Поэтому
2 |
1 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
2 |
) |
Бели хотим воспользоваться примечанием к правилу 1, то матрицу А — ХЕ нужно элементарными преобразованиями привести к канони ческому виду:
|
II |
|
|
" |
1 |
|
|
1 |
1 |
||
|
|||
— |
^ |
||
ю |
н* |
||
|
1 |
|
0 |
'\ |
/ -А |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
- А |
0 |
2 — А ,Г |
- 2 + А |
0 |
2 - А |
|
/ |
—А 1 |
0 |
\ |
/ 1 |
|
1 |
0 |
\ |
|
~ ( -4 4 - А |
О |
|
~ |
- А 4 - А 0 |
~ |
|||||
|
V 0 |
0 |
2 — А ) |
\ |
0 |
0 |
2 / |
|||
|
( |
1 |
А - 3 |
0 |
\ |
/ 1 |
А — 3 |
0 \ |
||
~ |
I |
-А |
4 - А |
0 |
~ |
0 |
(А - |
2)2 |
0 |
~ |
|
\ 0 |
0 |
2 — А ) |
\ 0 |
0 |
2 — А / |
||||
|
/ 1 |
|
0 |
0 |
\ |
/ 1 |
0 |
|
0 |
\ |
~ |
I |
0 |
(А — 2)2 |
0 |
~ |
0 |
0 |
|
2 — А |
) ~ |
|
\ |
0 |
0 |
2 — А |
/ |
\ 0 |
(А — 2)2, |
0 |
) |
|
|
/ |
1 |
0 |
0 |
\ |
/ 1 |
|
0 |
0 |
\ |
~ |
|
0 |
2 — А |
0 |
|
~ |
О А — 2 |
О |
|
|
|
\ |
О |
О |
(А - 2)2 |
/ |
\ О |
О |
(А — 2)2 / |
Отсюда следует, что ei(A) = 1 , 62(A) = А—2, ез(А) = (А—I)2. Поэтому
2 |
1 |
0 |
' |
0 |
2 |
0 |
|
о |
О |
2 |
, |
|
|
Правило 2. Для отыскания матрицы Т, приводящей матрицу А к жордановой матрице J , можно осуществить следующие действия.
1.Матрицу А —АЕ элементарными преобразованиями привести
квиду J —АЕ.
2.Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразо вания над столбцами, найти соответствующие им элементарные ма трицы вида (4.28) и составить матрицу К(А), равную произведению этих элементарных матриц слева направо в том же порядке, в каком они использовались.
3.Матрицу V (А) записать в виде
К(А) = VoA* + ViA*"1 + |
... + 14А° |
(4.31) |
и подсчитать матрицу |
|
|
Т = V(A) = V0Ak + ViA*-1 |
+ ... + VkA°. |
(4.32) |
Если матрица V’(A) окажется матрицей нулевой степени от А, то она сразу дает матрицу Т.
Запись A-матрицы в виде многочлена от А не представляет затруд
нений. Например, |
|
|
/ А2 + 5А + 1 |
6А + 2 \ |
|
V |
7А |
А2 - 2А + 3 у |
-G |
-ОЧ; з) |
П римечание. Вместо пунктов 2 и 3 можно проделать следующее. Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразования над строками, заменить их элементарными матрицами вида (4.28) и составить матрицу U{\), равную произведению этих элементарных матриц справа налево в том порядке, в каком они использовались. Матрицу Ы{А) записать в виде
U(X) = XmUo + Xm~1U1 + ... + А°Um |
(4.33) |
и подсчитать матрицу
Г " 1 = К(А) = AmU0 + Am~xUx + ... + A°Um. |
(4.34) |
П ример 2. Матрица
О 1 О А - 4 4 О
- 2 1 2
имеет жорданову форму
2 1 О
J = 0 2 0
0 0 2
Найти трансформррующую матрицу Т, приводящую матрицу А к матрице J .
Реш ение. Сначала элементарными преобразованиями приведем ма трицу А — АЕ к матрице J — АЕ:
А — \Е =
|
/ —А |
1 |
0 |
\ |
/ |
-А |
1 |
0 |
\ |
|
= |
( |
- 4 |
4 - А |
0 |
~ |
|
- 4 |
4 - А |
0 |
|
|
\ - 2 |
1 |
2 — А / |
|
\ —2 + А |
0 |
2 — А / |
|||
|
/ |
—А |
1 |
0 |
\ |
/ |
-А |
1 |
0 |
\ |
~ |
|
- 4 |
4 — А |
0 |
~ |
|
- 4 + 2А 2 — А |
0 |
|
\ 0 0 |
2 — А |
/ |
V |
0 |
0 2 — А / |
||
/ |
2 — А |
1 |
|
0 |
\ |
|
|
~ |
0 |
2 — А |
|
0 |
I |
= J — ХЕ. |
|
\ |
0 |
0 |
2 |
— А |
) |
|
|
Далее замечаем, что над столбцами матрицы А —АЕ проведены эле ментарные преобразования, равносильные умножению ее справа по следовательно на матрицы
1 |
О |
О |
1 |
О |
О |
0 |
1 |
О |
2 |
1 |
О |
1 |
0 |
1 |
О |
0 |
1 |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 0 |
0 |
1 |
о |
о |
1 |
0 |
0 |
|
V(A) = 0 1 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
V1 |
о |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Поскольку матрица У(А) оказалась матрицей нулевой степени от А, то она сразу дает матрицу Т. Следовательно,
1 |
0 |
0 |
Т — 2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Точно так же можно заметить, что над строками матрицы А — АЕ проведены элементарные преобразования, равносильные умножению ее слева последовательно на матрицы
/ |
|
1 |
|
0 |
0\ |
|
/ |
1 |
|
0 |
0\ |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 0 |
, |
|
|
- |
2 |
1 0 |
|
|
\ - 1 |
0 |
1 / |
|
\ 0 |
0 |
1 / |
|
|
|||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 |
0 |
0\ / 1 0 |
0\ |
|
|
|
/ 1 0 |
0\ |
|||||
U(А) = 0 |
1 0 |
|
- 2 |
1 |
о |
|
= |
|
- 2 |
1 |
0 = Т ~ 1. |
||
\ - 1 |
0 |
1 / |
|
V 0 0 |
1 / |
|
|
|
\ - 1 |
0 |
1 / |
4.5.К п остр оен и ю минимального многочлена
При построении минимального многочлена матрицы может ока заться полезным следующее
Правило. При построении минимального многочлена ^(А) ма трицы А порядка п нужно для каждого характеристического корня
А,-, %= 1 ,2 ,...,$ , матрицы А составить матрицу А — AiE и возво дить ее в степени m = 1 ,2 ,... до тех пор, пока не удовлетворится равенство
г(А —\{Е)т = п — т ,-, |
(4.35) |
где г(А — AiE)m - ранг матрицы (А — At*-E')m; п - порядок матрицы А; тп{ - кратность характеристического корня А» матрицы А.
Наименьшее натуральное число т , при котором выполняется ра венство (4.35), дает кратность к{ корня А,- в минимальном многочлене <р(\) матрицы А. Поэтому минимальным многочленом матрицы А бу дет многочлен
у>(А) = (А - Aj.)*1 (А - А2)*» .. . |
(А - А,)*-. |
(4.36) |
Заметим, что каждое &,* совпадает с наибольшим порядком жордановой клетки по А,- в жордановой матрице J матрицы А. Поэтому все числа к\у ..., к81 а следовательно, и минимальный многочлен матрицы А легко выписать, если известна жорданова матрица J матрицы А . Полезно также помнить, что минимальный многочлен матрицы А со впадает с инвариантным множителем еп(А) матрицы А — АЕ.
П ример. Для матрицы
характеристический многочлен |
|
|
|
-А |
1 |
О |
|
\А-ХЕ\= - 4 |
4 - А |
0 |
= —(А — 2)3 |
- 2 |
1 |
2 - |
А |
имеет единственный корень Ai = 2 кратности т\ = 3. Причем
А —2Е |
= |
, г(А —2Е) = 1 ф п — т\ = О, |
( А - 2 Е ) 2 |
= |
r(A — 2Е)2 = 0 = п — тщ. |
Следовательно, ki = 2 и у>(А) = (А — 2)2. Минимальный многочлен матрицы А можно было выписать по ее жордановой форме J или