книги / Механика композитных материалов. 1980, т. 16, 1
.pdf1 |
м .• |
д . |
ф.- |
3 (1 ) |
0,3 |
0,3 |
о |
СП |
|||
2 |
0 |
0,6 |
0° |
|
|
|
а |
i |
мЛ |
и". |
ф.- |
9 (1 ) |
0,6 |
0 |
О со |
|
|
|
о |
8 (2) |
0,6 |
0 |
-6 0 ° |
7(3) |
0 |
0,6 |
0° |
6 (4 ) |
0,3 |
0,3 |
0° |
5 |
0,6 |
0 |
0° |
б
А,
0,3
0,4
-
А,-
0,1
0,1
0.1
0,1
0,2
Верхние половины трехслойного (а) и девятислойного (б) пакетов оболочки. Указаны номера слоев, коэффициенты армирования в двух ортогональных направлениях, углы по ворота слоев относительно оси х, относительные толщины слоев.
Подставив (24) в выражение для работы реакции заполнителя А, при ходим к (9).
3. А н а л и з чи сл ен н ы х р езул ь татов . Расчеты проводились для трех- и девятислойной оболочек, структурные схемы пакетов которых приве дены на рисунке. Здесь рЛ и р"* — коэффициенты армирования i-ro слоя в двух взаимно перпендикулярных направлениях; срг- — угол между об разующей оболочки и направлением армирования, соответствующим рЛ;
— отношение толщины i-го слоя к толщине оболочки h. Методика определения компонент матриц жесткостей Сц, Кц, Dij подробно опи сана в [15].
При расчетах использовались следующие характеристики армирую
щих |
волокон и связующего: Еа = 16,6• 1010 |
Н/м2; va= 0,2; |
ра= 1,55Х |
|
Х103 |
кг/м3; £ с = 3,48-109 Н/м2; vc = 0,35; рс = 1,3-103 |
кг/м3. Механиче |
||
ские |
параметры заполнителя: Е= 107 Н/м2; |
v= 0,45; |
р= 1,2 • 103 кг/м3. |
|
Геометрические размеры: L/R = 2,4; R/h= 144. |
|
|
(& = 1) при |
|
Рассматривалась первая форма собственных колебаний |
следующих трех типах граничных условий на прогиб на торцах обо лочки
а) w{0)=w, {0)=w"{L)=w"'{L)=0\
б) ш(0) =ш"(0) =w{L) =w"{L) =0; в) до(0) = ш'(0) =w(L) =w'{L) =0.
В табл. 1 приведены значения собственных частот пустых оболочек для 10 окружных форм колебаний п. Обратим внимание на сильное влияние типа граничных условий на частоты, соответствующие первым окружным формам колебаний. С ростом п это влияние ослабевает для обеих оболочек. Заметим также, что характер армирования, количество слоев, а также последовательность их расположения в пакете (как было показано й [15]) существенно влияют на начальные участки спектров частот собственных колебаний многослойных композитных оболочек.
Ситуация меняется при наличии заполнителя во внутренней полости оболочки. В табл. 2 для тех же двух оболочек приведены начальные участки спектров частот собственных колебании (заполнитель сплош ной). Как и для пустой оболочки, наименьшие частоты соответствуют условиям консольного закрепления, наибольшие — условиям защемле ния. Однако влияние типа граничных условий значительно слабее. Для пустых оболочек наименьшие частоты соответствовали окружным
Частоты собственных колебаний со/2я, Гц, для девятислойной оболочки с пустотелым заполнителем
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения RJR |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
0 |
0,5 |
0.7 |
0,9 |
0 |
0,5 |
0.7 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
27,25* |
31,91 |
39,51 |
67,01 |
40,47* |
50,25 |
63,87 |
>100 |
46,03* |
54,03 |
69,71 |
>100 |
2 |
33,45 |
22,06 |
20,32* |
29,93 |
44,59 |
37,47* |
40,55 |
62,88 |
53,31 |
50,00 |
51,66 |
81,55 |
3 |
48,93 |
37,32 |
27,54 |
19,13* |
54,25 |
43,67 |
36,89* |
38,92 |
59,41 |
49,62* |
45,36* |
56,20 |
4 |
64,69 |
55,93 |
42,92 |
23,49 |
67,80 |
59,21 |
47,36 |
33,09* |
70,79 |
62,31 |
51,93 |
45,49* |
5 |
80,14 |
74,18 |
59,49 |
34,33 |
82,31 |
76,40 |
62,22 |
39,00 |
84,12 |
78,15 |
64,62 |
46,05 |
6 |
95,44 |
91,74 |
76,30 |
47,78 |
97,17 |
93,48 |
78,30 |
50,61 |
98,33 |
94,57 |
79,67 |
54,35 |
7 |
|
|
93,24 |
62,88 |
|
|
94,85 |
64,97 |
|
|
95,72 |
67,06 |
8 |
|
|
|
79,34 |
|
|
|
81,06 |
|
|
|
82,35 |
9 |
|
|
|
97,00 |
|
|
|
98,51 |
|
|
|
99,38 |
заполнителя. Отметим, что именно на эти первые частоты сильнее всего влияет тип граничных условий на торцах оболочки. Это влияние, как следует из приведенных результатов, усиливается с ростом RJR и осла бевает с ростом п (для формы п = 6 даже при R\/R = 0,9 частоты для рас сматриваемых трех типов граничных условий весьма близки). Обратим также внимание на то, что здесь, как и в случае осесимметричных коле баний с условиями шарнирного опирания [17], минимальное значение частота собственных колебаний имеет, когда у внутренней поверхности оболочки остается весьма тонкий слой заполнителя (для всех трех типов граничных условий RJR 0,8-н0,9). Как только этот слой исчезает, мини мальная частота возрастает в три-четыре раза.
Таким образом, основные закономерности влияния вида граничных условий, установленные ранее для пустых цилиндрических оболочек (рост минимальной частоты собственных колебаний при переходе от консольных к шарнирным и далее к условиям защемления, а также ос лабление этого влияния с ростом окружной формы колебаний) имеют место и в случае оболочек с заполнителем. Однако наличие заполнителя делает конструкционный элемент существенно менее чувствительным как к виду граничных условий на торцах оболочки, так и к структуре многослойного пакета-оболочки.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Гонткевин В. С. Собственные колебания ортотропных цилиндрических оболо
чек. — Тр. конф. по теории пластин н оболочек. Казань, 1961, с. 124— 129.
2. |
Sewall I. L., |
Pusey С. G. Vibration study of clamped-free elliptical cylindrical |
||
shells. — AIAA |
J., |
1970, N 6, p. 1004— 1011. |
||
3. |
Sharma |
С. B. Calculation |
of natural frequencies of fixed-free circular cylindrical |
|
shells. |
— J. Sound |
a. Vibration, |
1974, vol. 35, N 1, p. 55—76. |
|
4. |
Forsberg K. Influence of boundary conditions on the modal characteristics of thin |
|||
cylindrical shells. — |
AIAA J., 1964, vol. 2, N 12, p. 2150—2157. |
5. Швейко Ю. Ю., Гаврилов Ю. В., Брусиловский А. Д. О влиянии граничных усло вий на спектр собственных частот цилиндрических оболочек. — Московск. энергет. ин-т. Докл. науч.-техн. конф. по итогам науч.-исслед. работ за 1964— 1965 гг. Секция энер гомашиностроения. М., 1965, с. 131 — 148.
6.Купцов В. И. О собственных поперечных колебаниях консольных ортотропных Цилиндрических оболочек. — Прнкл. механика, 1977, т. 13, вып. 4, с. 38—44.
7.Медведев В. И., Мяченков В. И. Несимметричные колебания оболочек враще
ния. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № 2, с. 53—58.
8. Мяченков В. И., Репин А. А. Влияние граничных условий на собственные час тоты колебаний цилиндрических оболочек. — Прнкл. механика, 1971, т. 7, вып. 6,
с.31—36.
9.Богданович А. Е., Столярова Л. А. Спектры собственных частот и областей ди
намической неустойчивости цилиндрических оболочек с упругим заполнителем при не осесимметричных колебаниях. — Механика полимеров, 1977, № 2, с. 263 269.
.МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 1, с. 73—77
УДК 624.072:678.067
В. Ф. Кириленко
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ В ТОНКОСТЕННЫХ БАЛКАХ С КОНСТРУКТИВНО АНИЗОТРОПНЫМИ СТЕНКАМИ
Во многих областях техники применяются тонкостенные пространст венные конструкции, составленные из прямоугольных пластинчатых сис тем таврового и двутаврового сечения, стенки которых выполнены из конструктивно анизотропных материалов — армированных пластмасс, фанеры, древесных пластиков и др. При определении напряженного со стояния таких конструкций обычно пользуются приближенными спосо бами, основанными на применении известных формул сопротивления материалов с введением приведенных геометрических характеристик се чения либо приведенного сечения [1]. Особый интерес представляют во просы, связанные с определением напряжений в местах приложения вер тикальных и горизонтальных сосредоточенных сил или сил, распределен ных на малых отрезках длины призматического стержня. Такие вопросы частично ставились в работах [2, 3], однако в первой из работ рассмат ривался случай определения только отрывающих напряжений без изуче ния распределения всех компонент напряжения вблизи места приложе ния сосредоточенной силы, во второй — только упругое равновесие ани зотропной полуплоскости с подкрепленным краем.
Будем считать, что ширина поясов и их толщина невелики по сравнению с высотой сечения, поэтому расчетную схему примем в виде прямоугольной анизотропной пластинки, края которой подкреплены упругими стержнями, заменяющими верхний и нижний пояса балки. На балку действуют поперечная и продольная нагрузки, приложенные по верхнему и нижнему поясам, интенсивность которых соответственно f~(x), п~(х) при у= —hi2 и f+{x) , п+(х) при у= +/г/2 (рис. 1).
При решении задачи наибольший интерес вызывает определение на пряжений в местах контакта поясов с анизотропной стенкой, нормаль ные и касательные компоненты которых обозначим соответственно q~{x), t~{x) на верхней стороне (y = —h/2) и q+(x), t+(x) — на нижней стороне {y=+h/2). По линиям соединения поясов со стенкой должно выпол няться равенство напряжений
Gy= Oy°= q~{x)', |
Xxy= Xxy°= t~{x) |
Gy= Gy0 = £l+(x) ’ |
xxy= Xxy0=t+{x) |
и равенство перемещений |
U = UQ\ V = V0, |
|
где ay0, Тху°, «о, Vo — соответственно нормальные к оси стержня, касатель ные напряжения и перемещения в точ ках стержня, контактирующих с анизо тропной стенкой; ау, тХу, и, v — то же по горизонтальным кромкам стенки.
Связь между перемещениями стержней по линиям соединения со стенкой и действующей на них
при y = —hl2; при У=+Ы2
(1)
1fix)
т
гм
£ X
jcJ
’г/ТТ~ |
M't |
l |
f (х) |
Рис. 1.
В форме ряда типа (6) можно представить только такую функцию для тху, средняя величина которой на каждой отдельной из кромок y= const равна нулю. В общем решении для полосы в правую часть вы
ражения (6) следует добавить |
величину Вху, где |
|
||
i |
|
|
|
|
= ^-тJ t+(x)dx. Вид функции fn(y) |
будет зависеть от значений |
корней |
||
о |
|
соответствующего дифференциальному |
||
характеристического уравнения, |
||||
уравнению плоской задачи с применением функции напряжений [6] |
||||
Г4- ( |
— |
2v) а 2г2+ -ф -а4 = 0. |
( 7 ) |
|
' |
Сл |
' |
Е о |
|
Для случаев комплексных либо вещественных корней функция Д, (у) вы ражается через гиперболические и тригонометрические функции; посто янные интегрирования, соответствующие каждому члену ряда (6), нахо дятся из большого числа систем алгебраических уравнений, а напряже ния получаются в виде рядов довольно сложной структуры [2, 6].
Для уменьшения объема вычислительных работ используем видоизмененное решение Файлона, в котором функция fn(y) выбрана таким образом, чтобы постоянными интегрирования в ней были коэффи циенты разложения искомых напряжений q~{x), q+{x), t~(x), i+{x) в тригонометрические ряды [7]
In (У) = - - Е |
, (у) + bnV 2 (у) + с Л (у) + g n rVi (у) ], |
где ап, Ьп, сп, gn — коэффициенты Фурье, определяемые формулами
|
i |
|
i |
|
2 |
Г |
2 |
Г |
q+[x) sin axdx\ |
a „ = — J q~(x)sin axdx\ |
bn= — J |
|||
|
0 |
|
о |
|
2 |
1 |
2 |
i |
|
f |
f |
^+(x)cos axdx, |
||
cn= — J t~(x)cos axdx\ |
gn = -j~J |
Цг{(у){=,_4 — функции, не зависящие от внешней нагрузки, а зависящие от размеров ортотропной стенки и ее упругих постоянных [7]. Напряже ния в ортотропной стенке в этом случае будут выражаться следующим образом:
ох=- |
д 2Ф = V . - |
—, К У " , (у) + ЬпЧГ'г(у) + С п Г ' , (у) + g n xV", (у) ]sin ax; |
|||
|
ду2 |
п= 1 |
a 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
д2ф |
= |
^ |
(у) + ЬпхУ2 {у) + СпЧз {у) + gn^ 4 {у) ]sin ax; |
|
0y~~l№ |
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8) |
|
Хху — |
|
д 2Ф |
= X i —[flnV'i (у)+b nV '2 {у) + cnW'z (у) + |
|
|
|
|
|
дхду |
” a |
+ г л " 4(!/)] cos ах.
примере оказались весьма близкими к результатам, полученным в [3], т. е. при замене прямоугольной стенки конечной высоты ортотропной по луплоскостью. Касательные напряжения получаются несколько боль шими, чем в работе [3], поскольку здесь они суммируются с напряже ниями, возникающими в результате общего изгиба балки.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Семенов П. И. Расчет прочности и деформативностн анизотропных тонкостенных стержней открытого профиля. Киев, 1974. 184 с.
2.Вдовин В. М. К вопросу о работе нижних полок двутавровых клееных балок на отрыв. — Учен. зап. Мордовск. гос. ун-та, 1968, вып. 65, с. 63—74 (Саранск).
3.Мартынович Т Л. Анизотропная полуплоскость с подкрепленным краем. — Инж. журн., 1965, т. 5, вып. 2, с. 360—367.
4.Кириленко В. Ф. Определение напряженного состояния двутавровых балок с гоф рированными стенками методами плоской задачи теории упругости. — Тез. докл. научн.-
техн. конф. молодых ученых Харькова. Харьков, 1968, с. 17— 19.
5.Шереметьев М. П. Определение напряженного состояния тавровых и двутавро вых балок методами плоской задачи теории упругости. — В кн.: Приложения теории функций в механике сплошной среды. Т. 1. М., 1965, с. 340—351.
6.Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.
7.Лозбинев В. П. Форма решения плоской задачи теории упругости для прямо угольной ортотропной пластинки. — В кн.: Вопросы транспортного машиностроения, 1974, вып. 3, с. 190—202 (Брянск).
Симферопольский филиал Севастопольского |
Поступило в редакцию 08.06.79 |
приборостроительного института |
|