книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения
..pdfbP2i = a2i( l - P i_ l), |
(5.61) |
где a2i — коэффициенты, характеризующие |
уменьшение остав |
шейся после (/—1)-го испытания вероятности отказа (1 — P/_i) за счет i-й доработки.
Следовательно, выражение (5.61) характеризует эффектив ность доработки и соответственно модель роста надежности. Принимая допущение о постоянстве параметра a2l= a2, запишем выражение (5.61) в виде
Д Р 2, = 0 ,(1 (5.62)
На основании результатов решения получено математичес
кое ожидание успеха в ( /+ 1 )-м испытании: |
|
м [Р,+, ] = я ^ + ( 1 - я2) М [/>,] + Я& М 2[/>], |
(5.63) |
где M[Pi\ — математическое ожидание процесса Pi в /-м сечении.
5.8. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ РОСТА НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Рассмотренные в предыдущих параграфах модели роста надежности основаны на описании процесса доработок посред ством учета статистических данных; тем самым лишь косвенно бу дут учтены факторы, с помощью которых осуществляют улучше ние параметров. Даже наилучшая аппроксимация кривых роста надежности описывает явление в среднем и не позволяет дать конкретные рекомендации в каждом отдельном случае. П°эт°му необходимо разработать такую модель роста надежности, кото рая бы позволяла активно вмешиваться в процесс доработок. Только при таком подходе теория роста надежности станет дей ствующим инструментом не только для описания процесса дора боток, но и его непосредственного улучшения.
Математическая модель роста надежности с учетом управ ляющих воздействий основывается на следующих допущениях и предпосылках:
испытания нового изделия проводят комплексно с учетом различных режимов испытаний (нагрузок, температур, вибраций
ит. д.);
вслучае появления отказа и установления его причины проводят доработку;
доработка изделия носит комплексный характер, т. е. до рабатывают не только отказавший элемент, но и другие элемен ты, непосредственно связанные функциональной зависимостью при выполнении изделием поставленной задачи. Можно проводить доработку и одного элемента одновременно по нескольким вы ходным параметрам.
131
Следует иметь в виду, что изменения конструктивных или технологических параметров дорабатываемых элементов связаны корреляционной зависимостью с отказавшим элементом и непо средственно влияют на выходную характеристику этого элемента и тем самым косвенно влияют на выходную характеристику
изделия.
Корреляционную зависимость дорабатываемых параметров между отказавшим элементом и элементами, связанными с ним функциональной зависимостью, находят классическими методами математической статистики, определяют коэффициенты корреля ции bijy которые затем вводят в уравнения отработки:
У- (0 = Ьп Щ(/)'+ Ьа «2 (/) + + bimum(0, (5.64)
где y,{t) — выходная характеристика элемента или изделия в мо мент проведения i-й доработки.
Обозначим bji = Ьцк, где Ьцк — коэффициент корреляции между /-м и k-м элементами (параметрами) в момент проведения /-й до работки. Коэффициент корреляции находят из соотношения вида
Ьijk |
Мцк , |
(5.65) |
|
||
YJ к - |
|
- “*) |
М„л = 1 = 1 |
п — 1 |
(5.66) |
|
|
где щ, Uk — средние значения параметров управлений /-го и &-го
элементов; / = |
1 , 2 , |
, п\ |
/, k = 1 , 2 , |
. , |
m. |
Параметры |
управления |
иц могут |
быть |
представлены в виде |
функций самих управлений, производных от функций управле ний и т. д. Таким образом, имея результаты проектирования и отработки изделия-аналога, можно построить функциональные зависимости и корреляционные связи, отражающие иизменения конструктивных, технологических и других параметров и влияние их на выходные характеристики элементов или изделия в целом. При проектировании и отработке нового изделия, когда стати стические данные отсутствуют, функциональные зависимости и корреляционные связи определяют расчетами. Принятые допу щения и предпосылки позволяют при разработке математичес кой модели применять матричный аппарат. В этом случае при составлении уравнений доработок в качестве коэффициентов
132
влияния на изменение параметров управлений |
иц |
используют |
и коэффициенты корреляции 6 ,-/, полученные |
по |
статистичес |
ким данным или расчетным путем. |
|
|
Необходимость матричного подхода отпала бы, если бы каж
дое управление |
щ влияло только на одну характеристику у{. |
В этом случае |
матрица в управлении была бы диагональной |
и матричный подход не дал бы ничего нового по сравнению со скалярными моделями, записываемыми для каждой характери стики отдельно. Однако, осуществляя направленное управление щ на £//, мы, в силу специфики отрабатываемой системы, косвенно влияем на другие характеристики, осуществляя косвенное управ ление. Степень косвенного влияния определяется коэффициентами bijy поэтому матрица не является диагональной и необходим матричный подход, который определяет зависимость выходных характеристик от входных. Все элементы матрицы, расположен ные на диагонали, непосредственно влияют на управление вы ходной характеристикой системы, а внедиагональные элементы матрицы отражают косвенное влияние управления на другие па раметры и соответственно выходную характеристику системы в целом.
Частным случаем является доработка элемента без изменения параметра управления других элементов. В этом случае изме нение параметра управления при доработке оказывает непо средственное влияние на выходную характеристику дорабатыва емого элемента и соответственно выходную характеристику си стемы (изделия). Этот случай аналогичен использованию диаго нальной матрицы, когда изменение параметра управления влияет только на выходные характеристики дорабатываемого элемен та и изделия. Таким образом, математическая модель процесса отработки сложной технической системы основывается на мат ричном подходе к нахождению выходных характеристик создава емого изделия посредством изменения конструктивных, техно логических и других параметров управления, выраженных в явном виде.
При разработке математической модели задача состоит в том, чтобы при создании нового изделия получить выходную характеристику не хуже выходной характеристики, полученной после отработки изделия-аналога при условии изменения кон структивных, технологических и других параметров нового из делия, предназначенного для выполнения более сложных задач.
Учитывая специфику отработки сложных технических систем, рассмотрим задачу определения управляющих воздействий в явном аналитическом виде. Для решения этой задачи сделаны следующие предпосылки. При разработке математической модели сохранен подход, использованный в работе [6 ], т. е. считается неизвестной модель системы, а необходимые управляющие воз действия находят, исходя из задания желаемой динамики раз
133
вития системы и желаемого закона управления. Принимая во внимание специфику рассматриваемой задачи, в математичес кую модель вводят новый класс желаемых законов управления, а также допущение об экспоненциальности (плавности) желае мой динамики развития системы, что позволяет избежать постро ения нелинейных уравнений. При таком подходе к решению за дачи можно получить систему линейных уравнений, обеспечива ющих нахождение управляющих воздействий в явном виде. Модель отработки представим в виде системы, имеющей вход, выход и характеризуемое состояние (рис. 5.3).
В качестве входа в эту систему принимается вектор управ ляющих воздействий, который можно представить в виде: кон структивных изменений параметров отрабатываемой системы, узла или элемента, заложенных в конструкторской документа ции; изменение технологических параметров в части ужесточения допусков на изготавливаемые и контролируемые детали, узлы, сборки и т. п.; уточнение эксплуатационной документации.
Из практики отработки сложных технических систем извест но, что наибольшее влияние на выходную характеристику ока зывают управляющие воздействия, связанные с конструктив ными изменениями параметров отрабатываемой системы, узла и элемента. Меньшее влияние оказывают изменения технологи ческих параметров и еще менее — уточнения эксплуатационной документации.
Под конструктивными изменениями параметров понимается: изменение геометрических размеров, весовых характеристик, за паса прочности, запаса по ресурсу, изменение материала, вве дение резервирования элементов, узлов и т. п. Изменения тех-
Рис. 5.3. Модель отработки системы
134
нологических параметров связаны с увеличением или уменьше нием допусков при изготовлении или регулировании, введением дополнительных технологических операций и так далее, а уточ нение эксплуатационной документации — с внесением в инструк цию эксплуатации дополнительных указаний при ручных опера циях. Например, вводятся таблички с надписями: «Опасно», «Внимание», «Выпустить воздух» и т. д.
Если в процессе отработки изделия выполняют большое число доработок и соответственно накоплен достаточно обшир ный статистический материал, то в этом случае целесообразно строить модель роста надежности для каждого вида управляю щих воздействий, т. е. для конструкционных, технологических, изменений эксплуатационной документации. Влияние каждого управляющего воздействия на выходную характеристику си стемы целесообразно оценить по предыстории с помощью функ ций регрессии, которые позволяют учесть как количественные, так и качественные факторы. В качестве выходных характери стик элеметов, узлов, механизмов и изделия в целом понимается изменение основных параметров, заложенных в технических условиях на них. Такими характеристиками могут быть: вероят ность безотказной работы, наработка на отказ, величина вы ходного тока или напряжения, производительность и т. д.
Наиболее важной выходной характеристикой, предъявляемой к сложной технической системе, является ее работоспособность, которая чаще всего представлена в виде наработки на отказ или вероятности безотказной работы. Эти характеристики явля ются обобщенными, так как они определяют, в конечном итоге, выполнение поставленной перед изделием задачиГ.
Рассмотрим случай, когда выходная характеристика выра
жается изменением |
наработки на отказ, |
представленной соот |
|
ношением вида |
|
|
|
|
|
Ui (0 = Т7Р(0 — Ti (0. |
(5.68) |
где |
77р(0 — требуемое значение наработки |
на отказ /-го элемен |
|
та; |
Ti(t) — текущее |
значение наработки на отказ /-го элемента |
|
в момент времени /. |
|
|
Основная задача процесса доработок состоит в том, чтобы обеспечить рост величин Tt{t\ а значит, приблизить к нулю зна чение функции (5.68). Практика отработки изделий показывает, что во многих случаях желательно иметь плавное изменение выходной характеристики, т. е. это изменение должно соответ ствовать изменению во времени решения дифференциального
уравнения |
|
M - = - D Y |
(5.69) |
135
Примем
У(/) = е - 0' У0, |
(5.70) |
е-"' = 1 И * т К |>
— матричная экспонента;
у°
— вектор начального состояния выходной характеристики из делия (системы).
Для простоты предположим, что D — диагональная мат рица, т. е.
Г АфОО. . . 0 '
D _ 0Х 20 |
0 |
000 |
к т |
где %i— некоторые постоянные независимые друг от друга из менения отклонений.
При таком выборе матрицы D из уравнения (5.70) следует
y ,( 0 = e - X'V - |
(5.71) |
Пусть t0— заданный срок отработки. Тогда уравнение |
(5.71) |
будет плавно приближаться к нулю, если положить коэффи
циенты Xi = 3/t0. Графически процесс отработки |
изображен на |
рис. 5.4. Такое допущение позволяет предположить, что |
|
Я =*7-1, |
(5.72) |
где |
|
100 ... (Л
[ 0 1 0 ... 0 I — единичная матрица
00 1J
Следует отметить, что в данном случае можно было обой тись решением скалярных уравнений, так как матрица диаго нальная, но она здесь дана для дальнейшего обобщения, по скольку использовалась матричная экспонента для недиагональ ной матрицы.
136
о t
Рис. 5.4. Желаемая динамика изменения выходной характеристики Y
Многолетняя практика отработки сложных технических си стем показывает, что механизмы, пульты и другие сборочные единицы испытывают в объеме, равном объему испытаний изде лия в целом. На основании этого можно предположить, что время отработки для всех исполнительных механизмов одинаково,
т. е. ti = t0. В этом случае выходная характеристика |
изделия |
упрощается и принимает вид |
|
Y ( t ) = е '* Y0 |
(5.73) |
Таким образом, соотношения (5.70) и (5.71) определяют заданные условия изменения выходной характеристики изделия. Эти условия должны обеспечиваться выбором управляющих воздействий, т. е. выбором вектора управлен . рактика по казывает, что успех в реализации заданной пр гр ммы отра от
к„ оееспечн^ся в Р е н а т е ояределенвых — |
"ин^кто- |
||||||
5ен„УюР: ” |
к о ^ к Х Т ”на "е1Рй сиростей изменения управ- |
||||||
чению вполне конкретных *** |
|
|
управления, к которому |
||||
ления. Таким образом, желаемый закон у w |
вектоэа |
||||||
глрпурт гтпрмиткгя |
полжен содержать производную от вектора |
||||||
следует стремиться, долже |
у |
|
оизводные |
являются |
фак- |
||
управления. Одновременно |
характеристику. Такой |
выбор |
|||||
торами, влияющими на выходную хар |
_ |
|
|
||||
желаемого закона |
управленияд |
|
|
_«— |
,,—«— |
||
статистических |
|
х по методу п а г 1 |
|
||||
LidiMtiwHCLKMA |
данныл |
|
воздействия |
всех управле- |
|||
и одновременно учесть суммар |
|
нно на суммарное измене- |
|||||
НИИft, действующих |
прямо или |
косвенно " о м |
|
|
|||
й характеристики изделия в целом. |
|
|
|||||
ние выходной |
|
|
|
|
|
|
|
137
Всякую доработку осуществляют лишь после определенного накопления факторов, вызывающих необходимость ее прове дения. В количественной форме это выражается следующим образом. Если выходная характеристика изделия представляет собой центральный момент, выраженный в функции времени Y (t)= T ?(t)— T(t), по которому проводят доработку, то управляю щее воздействие U(t) должно быть пропорционально интегралу на отрезке [0, /о]. Эти соображения предполагают выбор сле дующей формы желаемого закона управления:
t |
|
B U (t)= *\Y (x )d T , |
(5.74) |
О |
|
где В — постоянная в желаемом законе |
управления, подлежа |
щая нахождению из опытных данных; |
т — переменная инте |
грирования. |
|
Равносильная форма записи: |
|
|
(5.75) |
где U(t = 0 )= 0 .
Такая форма записи желаемого закона управления содер жит управление в неявной форме. В этом случае описывается ситуация, когда управление осуществляется по накопленному суммарному изменению выходной характеристики. Кроме того, считается, что каждое управление прямо и косвенно влияет на суммарное изменение выходной характеристики в форме линейной комбинации управлений. Переходя от скалярного слу чая к векторному, когда управление является векторной функ цией времени, имеем
[ «I ( 0 ■
U(t) = u-it)
. Unit) .
и аналогично выходная характеристика представляет вектор
У\ (O'
Y(t) = у 2(0
у40
Постоянная величина В в уравнении (5.75) является не чи слом, а матрицей, постоянной и определенной для некоторого одного момента времени, т. е.
138
bu\lul2\b\n •*• •ьulm
в = ^ 21^22 • • • ^ 2 m
^nl^n2 *• *bnm
где коэффициенты Ьц (элементы матрицы) находят, используя опытные данные.
Тогда уравнение (5.75) в развернутом виде можно записать так:
Таким образом, желаемый закон управления, отображаемый ууравнением (5.75), является уравнением неявного вида. Если в это уравнение подставить заданное значение вектора У(/)= =у]р>то полученное в результате уравнение
(5.77)
может не иметь решения при каждом значении /, так как в этом случае ничем не гарантируется выполнение условия
ВВ+у? = у]р, |
(5.78) |
являющегося необходимым и достаточным для разрешимости уравнения. В уравнении (5.78) В + — матрица, псевдообратная к матрице В.
Для решения уравнения (5.77) воспользуемся методом наи
меньших квадратов [5], согласно |
которому вектор управле |
ния должен удовлетворять условию |
(5.78) наилучшим образом, |
т. е. сумма квадратов координат вектора г= у}р — В - ^ р - дол
жна достигать наименьшего значения. В соответствии с этим решение имеет вид
(5.79)
или с учетом соотношений (5.70) и (5.75) и при введении обо значения у°= утр получим
139
Откуда |
|
|
U ( t y = и 0 + В + \ е ' D'i/TpdT, |
(5.81) |
|
где U° —начальный вектор управления. |
|
|
Учитывая, что |
|
|
I |
|
(5.82) |
J е-°' y pdx = -i-(l — е-°') Г р, |
||
получим |
|
(5.83) |
U (t) = U° + В + -i-(l —е-ш) Гр |
||
Преобразуем соотношения (5.72) и |
(5.83): |
|
|
|
(5.84) |
( I _ e- D,) = (l - e - ° ' ) l = |
( l - е '») I. |
(5.85) |
После подстановки (5.85) в выражение (5.83) имеем
■утр
1= t/° + 4-(l - е '°)в+1 (5.86) U(О-
В общем виде при заданном времени отработки Т вектор управляющих воздействий
|
|
U (t) = I f + |
гО - |
е_т)в+ Гр, |
|
(5.87) |
|
Развернутый вид этого вектора: |
|
+' |
|
|
|||
‘ “1(0' |
[41 |
|
^и6,2 . . |
У? |
' |
||
«.(0 |
_ |
+ т {{ - е |
г) |
^21^22 •'■Ь2т |
|
У? |
(5.88) |
|
U°m |
|
^л1^л2 * • Ьпт |
|
i f f |
|
|
Из формулы |
(5.86) следует, что при /= 0 вектор управления |
||||||
U ( t ) = U о, а при |
t = t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(У(<)«и° + -5-В+Ур |
|
|
(5.89) |
Таким образом, функция управления u,{t) экспоненциально возрастает или убывает относительно значения и? в зависимости от того, является произведение i-Pi строки матрицы В + на стол-
140