книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов
..pdfмом n(t). Если же имеется рассогласование по какому-либо параметру, то
.кроме шумовой |
появится регулярная |
составляющая. |
Коэффициенты |
Ki(t) |
|||||
в оптимальном |
фильтре |
изменяются |
во времени в соответствии |
с |
видом |
||||
.функции /*[Х(/), |
/]. |
При импульсном сигнале большая часть |
периода |
||||||
Л[Х(/), /]=0, |
и |
таким |
образом коэффициенты |
Ki(t) |
также равны |
нулю |
|||
в промежутках между импульсами. |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим подробнее действие одного из каналов оптимального филь |
|||||||||
тра. Например, |
для |
параметра т коэффициент |
/Ci (/) равен |
|
|
||||
/<. (О = Я|1 (О |
Л |
[х ./), t] ЛГ-1 + P K [t) jJ- Л[х т. |
(] лг* + /»,*(/) X |
||||||
X ^ |
л |
[х (/). t] Л'-1 + Ри Щ щ П |
[х (Я, |
t] /V-', |
|
|
|||
тде Pij(t) — элемент |
i-ii |
строки и /-го |
столбца |
матрицы Р(/). |
|
|
Таким образом, коэффициент K\(t) является суммой производных функ
ции /i[X(/), /] по различным параметрам, причем вес производных зависит от значений дисперсий и ковариаций ошибок. Если в данный момент време ни велика дисперсия ошибки измерения задержки Яц(/), то коэффициент Ki (0 будет в основном определяться производном по т.
Производные по остальным параметрам используются в канале т лишь цри наличии корреляции ошибок в каналах измерения разных параметров
(коэффициенты ковариационной матрицы Pj2(0, |
Р\з(0 и P u(0 |
отличаются |
при этом от нуля). |
фильтра Ki(t) |
изменяются |
Таким образом, коэффициенты оптимального |
сложным образом во времени и зависят от формы сигнала и текущего зна чения дисперсий и ковариаций ошибок измерения параметров.
Заметим, что несмотря на формальную законченность данного решения, полученная схема малопригодна для технической реализации из-за чрезвы чайно сложной структуры алгоритма вычисления коэффициентов усиления /(,•(/) с помощью выражения (2.5). Вместе с тем исследование подобных схем представляет большой интерес. В частности, в известной схеме нели нейном фильтрации [9] когерентного радиосигнала отсутствует схема восста новления паразитных параметров A{t) и B(t), которая дает энергетический выигрыш по сравнению с обычной квадратурной обработкой сигнала с не известной фазой. Поэтому при конструировании реальной аппаратуры дол жно быть проведено сравнительное исследование различных (оптимальных и субоптимальных) схем обработки.
Выражения (2.3)—(2.7) описывают формирование апосте риорного распределения и оценки в непрерывном времени. При импульсном излучении радиосигналов передача информации происходит в дискретные моменты времени, что позволяет упростить математический аппарат, выполнив переход от диф ференциальных уравнений к разностным.
При использовании импульсов с большой скважностью функция h[X (/), t\ в течение большей части периода повторе ния сигнала равна нулю, поэтому в промежутке между 6-м и (6+1)-м импульсами распределение вероятностей описывается уравнением
^д[Х(М.'/У(/*)] = А+{р[Х(Л, fft < f< /* +ll (2.11)
где tk — момент приема 6-го импульса.
В качестве начального распределения при решении уравне
ния |
(2.11) используется значение p[X(fa), |
fa/Y (fa)']. Выраже |
|
ние |
(2.11) описывает преобразование распределения в |
процес |
|
се экстраполяции оценки. |
|
|
|
|
Функция f[X(f), f], входящая в первое слагаемое прямого |
||
дифференциального оператора L+{ } в |
выражении |
(2.11), |
определяет перемещение условного распределения в фазовом пространстве вектора Х(£), благодаря чему вершина распре деления соответствует значению экстраполированной оценки. Так как экстраполяция выполняется без использования новых данных, то неизбежно ухудшение точности оценки, обусловлен
ное старением данных. Это явление |
учитывается |
наличием |
|||
второго члена в L+{ |
}, |
определяющего процесс |
расширения |
||
распределения. Если |
шум |
W(/) в |
выражении |
(2.1) отсутст |
|
вует, второй член в L+{ |
} равен нулю, и экстраполяция вы |
||||
полняется без дополнительного снижения точности. |
Подобная |
||||
ситуация возникает в |
случае точно известного |
закона измене |
ния параметра.
При приеме импульса сигнала (длительность которого со ставляет малую часть периода повторения) происходит сжа тие условного распределения в результате действия третьего слагаемого в выражении (2.3). Поскольку решение уравнения (2.3) является сложной задачей, при импульсном сигнале можно заменить вычисление условного распределения в непре рывном времени периодическим вычислением апостериорного
распределения, которое после приема (A -fl)-ro импульса |
сиг |
|
нала в соответствии с формулой Байеса равно |
|
|
р IX (tk+i), /*„/v (fa+i)l = l[X(fa„). /ьп/У (fall PIV (/».цУХ (б+i 1 |
l2.12> |
|
PIY (<*♦,)! |
|
|
где p[Y(fa+1)/X(fa+i ) ] — функция правдоподобия |
принятого |
|
(fc+l)-ro импульса сигнала. Используя выражения |
(2.11) и |
(2.12), можно организовать рекуррентное вычисление апосте риорного распределения при произвольной форме априорного распределения p[X(fa), fa] и функции правдоподобия.
Преимущество использования выражений (2.11) и (2.12) вместо непосредственного решения уравнения (2.3) заключа ется в возможности использования хорошо изученных способов построения функций правдоподобия радиотехнических сигна лов [7, 9]. Дополнительное достоинство такого подхода со стоит также и в том, что при вычислении функций правдопо
добия |
выполняется уореднение |
по паразитным параметрам |
||
радиосигнала и отпадает необходимость в |
расширении |
векто |
||
ра \ ( t ) |
из-за включения этих |
параметров. |
Естественно, |
что в |
последнем случае не используются межпериодные статистиче ские связи паразитных параметров, и, если такие связи суще ствуют, возможны потери качества обработки радиосигналов. ’’Импульсный” подход к решению задачи нелинейной фильтра-
ции |
на основе |
рекуррентного использования выражений (2.11) |
|
и (2.12) привлекателен также и простотой |
реализации, так как |
||
все |
операции |
с широкополосным сигналом |
Y(/) выполняются |
врадиотракте при формировании функции правдоподобия.
Вдальнейшем исследование ограничивается алгоритмами фильтрации, реализуемыми на цифровых вычислительных уст ройствах. Поэтому основное внимание уделяется построению
рекуррентных алгоритмов на основе выражений (2.11) и
(2.12).
В радиотехнических системах определения координат изме нение параметров движения объектов описывается с достаточ ной точностью линейным дифференциальным уравнением, т. е. f[X(f), /]=!(/)Х (<) и вместо уравнения (2.1) используется
|
X « ) - f « ) X ( t ) + g ( 0 W ( / j |
(2.13) |
1МИ |
X U) = f X ( / ) - f gW tf). |
(2.13а) |
В линейном случае решение уравнения (2.11) |
можно заме |
||||
нить более простым вычислением: |
|
|
|||
P [X |
W |
Y t/*)l = |
j О[X ,/*). X (/*„,'] pi X (/ftl./ft/Y <f*)| rfX (/,). (2.H) |
||
где 0[X(//t), |
X(//,+i ) ] — фундаментальное решение |
уравнения |
|||
(2.11). Это |
решение |
соответствует начальному |
распределению |
||
в виде |
многомерной |
ô-функции, расположенной |
в |
точке Х (4). |
Если коэффициенты дифференциального уравнения (2.13а) не зависят от времени, фундаментальное решение 0 [ ] зависит только от величины периода повторения сигнала.
Построим фундаментальное решение для случая постоянных коэффициентов f и g, учитывая, что это решение является ре акцией уравнения (2.11) на начальное распределение в виде дельта-фуикции. Так как система линейна, а шум W(t) имеет нормальное распределение, фундаментальное решение является нормальным распределением, параметры которого легко нахо дятся с помощью теории линейных систем [36] :
« [Х(М. X /**,)! = (2*Г"''2|О Г 1,*ехр [--у IX ( /* „ ) - *Х tf*)lГ Q-* X
X [X (/*+1! - ФХ (/*)] j .
где Ф — переходная матрица дифференциального уравнения (2.13а), соответствующая интервалу времени Tn=t/t+1—t/,; Q — ковариационная матрица (см. Приложение 1).
В задачах местоопределения объектов закон изменения коор динат очень часто представляется в виде полинома с неизвест ными коэффициентами, что соответствует однородному диффе ренциальному уравнению (2.13а) при g = 0 . При этом функция О { } вырождается в многомерную дельта-функцию:
Выражения (2.12), (2.11) или (2.14) позволяют построить, рекуррентный алгоритм вычисления апостериорного распреде ления вероятностей для импульсного излучения сигнала. Мож но указать два основных направления исследования этого ал горитма — построение распределения в широком априорном интервале при отсутствии точных априорных данных и исполь зование нормальной аппроксимации апостериорного распреде ления при точных априорных данных. Первое направление ока зывается полезным при одновременном оценивании положения! многих сигналов или же совмещении операций поиска и изме рения координат. Второе направление представляет интерес потому, что получаемые измерители близки по структуре к ши роко распространенным на практике следящим системам.
П р и м е р 2.2. Изучим формирование апостериорного распределении* ве роятностей при импульсном излучении радиолокационных сигналов. Рассмат риваем задачу определения временного положения сигнала:
Y(f) = V2Hc \ u ( t - z ) \ cos [о>(t - * ) + ср„ С/ — х) -+ ?(*)] + л (f), ^*16)
где (Çi(k) — случайный фазовый сдвиг, обусловленный некогерентностыо фор
мирования сигнала и принимающий произвольные |
значения |
в интервале’ |
|
[О, 2л] с равной вероятностью при излучении /<-го |
импульса; |
т — задержка |
|
сигнала, связанная с расстоянием р до цели |
выражением т=2р /с0; с0— ско |
||
рость распространения света, n(t) — белый |
шум |
со спектральной плот |
ностью N.
Известно, что при обработке некогерентного сигнала, межпериодное додетекторное накопление сигнала нецелесообразно. Поэтому паразитный па
раметр |
<р(6) |
не включается в вектор состояния |
Х(/), который формируется |
||
из двух |
переменных: Хг (/) = [р (0 vp (/)]. Как и |
в примере 2.1 |
изменение |
||
вектора |
Х(/) |
во времени задается дифференциальным уравнением |
|||
|
|
* ( 0 - [ о |
5] х (О + [5] ЛхЮ, |
12.17) |
|
где шум пi(t) |
имеет спектральную плотность |
|
|
||
Из уравнений (2.11) н (2.17) |
получим |
|
|
Уравнение (2.18) описывает трансформацию условного распределения в промежутке между приемом импульсов сигнала. Чтобы наглядно показать трансформацию распределения, рассмотрим случай изменения р(/) с постоян
ной |
скоростью |
(Л/i= 0 ). Выберем |
слон распределения |
p[X(f), t/Y(th)], за |
|
ключенный |
в |
промежутке между |
значениями vp и |
v p + Avp . Для этого |
|
слоя |
можно |
написать: |
|
|
Переходя от дифференциального уравнения к разностному и учитывая соот ношение v p =Ap/At, получим
/>{[р (' + Л* I vf Y , t + \ t i y (tk)}=p{[?(t> — Др üp]r , tjY(tk)}. (2. 19>
Из этого уравнения следует, что сечение распределения плоскостью, прове
денной |
на уровне |
v ,t , смещается |
за |
интервал |
At |
на |
величину |
Дp = v 0At. |
||||||||
Этот же результат можно получить из выражения (2 .14). В рассматри |
||||||||||||||||
ваемом |
примере |
• - П - |
|
при |
iV = 0 |
из |
выражения (2.15) |
имеем |
||||||||
0 [ X ( / |
* ) , X ( * |
A+1)]X ^= „8 +1){ |
- |
[ |
J |
х |
(Л (Ц] |
= |
ГрС^л+i) —jp Vk) 4- Atvp) |
|||||||
|
3 |
^ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'р Uft+i) - Vp (tk) |
|
||
Тогда из выражения (2.14) следует выражение |
(2.19). |
|
|
решения; |
||||||||||||
В общем |
случае при |
|
среднее значение фундаментального |
|||||||||||||
смещается со |
скоростью и0, а |
матрица ковариаций Q |
равна [15] |
|
||||||||||||
|
|
|
Q= Nt |
àPU МЪ] |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ДР/, |
|
At J |
|
|
|
|
|
||||||
Функция |
правдоподобия сигнала |
|
(2.16) |
имеет вид [7] |
|
|
||||||||||
вР [ У |
|
</Л+1)] — с/0 |
2 У Р с |
tfi': |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||
|
|
( |
V (z)V 2 u |
( t - ^ ) eh-.dz |
, ( 2.20> |
|||||||||||
|
|
N |
|
|
'ft
где /0 ( ) — модифицированная функция Бесселя первого рода. Если отно шение сигнал/шум невелико, можно использовать приближение/0 {JC } « 1 - f л'-/4
|
2Р с |
'ft+i |
t t - |
- |
при * < |
I* |
% ) |
||
1. Тогда p [Y (tk^ )] lX ^ \ )] ^ c \ 1 -j—f i r |
| |
П т ) и ( ; |
CQ I |
|
|
1 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
Это выражение можно рассматривать как выход оптимального прием |
||||
ника, |
содержащего фильтр, согласованный с |
принимаемым |
сигналом u(t)T |
|
и квадратичный детектор. |
|
может |
иметь несколько* |
|
При слабом сигнале функция правдоподобия |
максимумов в пределах априорного интервала. Если длительность импульса сигнала невелика, функция правдоподобия зависит от расстояния р и прак тически не зависит от скорости vp.
На |
рис. 2.2, а—в |
показаны |
соответственно сечения априорного |
распре |
деления |
вероятностей |
р{[р(0), |
(0)]т, 0}, функция правдоподобия |
и сече |
ние апостериорного распределения. В примере предполагается, что в преде лах априорной области содержится несколько выбросов функции правдопо добия. По этой причине после приема первого импульса сигнала условное распределение имеет несколько максимумов. Преобразование условного рас
пределения |
за интервал |
Т п |
показано |
на рис. 2.2, г, |
функция правдоподобия |
на втором |
такте — на |
рис. |
2.2, д. Так |
как сигнал |
повторяется регулярно, |
а выбросы помех распределены хаотически, происходит формирование основ
ного максимума распределения вблизи точки |
оценки Х (/) и |
постепенное за |
тухание боковых выбросов (рис. 2.2, е). При |
экстраполяции |
отдельные части |
распределения смещаются с разной скоростью, благодаря чему происходит
поворот сечения |
(сравним рис. 2.2, в и г ), что при последующем умноже |
нии на функцию |
правдоподобия приводит к сжатию распределения не только |
по оси р, но и по оси v0. Таким образом, с течением времени пик распреде ления сжимается в соответствии с ростом точности измерений. Если
о
А АЛЛА |
Л А А |
_ Д ___(\А |
|||||
В |
|
е |
|
|
|
|
|
|
V P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
9 |
|
9 |
|
|
9 |
"0 |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 2.2. |
|
|
|
||
N[ =0 |
(движение с |
постоянной |
скоростью), точность |
возрастает не |
|||
ограниченно с течением времени. При |
наличии случайного ускорения |
||||||
(Л/|#0) |
процесс экстраполяции будет сопровождаться расширением |
распре |
|||||
деления |
(рис. 2.2, ж) |
и с течением |
времени |
установится |
равновесие |
между |
процессами размытия распределения при экстраполяции и сужения распреде ления при приеме очередного импульса сигнала.
Ознакомление с примерами использования уравнений филь трации в задачах обработки радиотехнических сигналов пока зывает, что непосредственное применение теории затруднено из-за сложного математического аппарата. Поэтому в техниче ских приложениях следует искать более простые по реализа ции субоптимальные алгоритмы, сочетающие простоту с удов летворительными точностными характеристиками. Наиболее распространенные методы построения приближенных алгорит мов рассматриваются в следующих разделах.
2.2.Синтез оптимального фильтра по критерию максимума апостериорной вероятности
При импульсном излучении сигнала и цифровых методах обработки целесообразно строить алгоритмы фильтрации в дис кретном времени. Удобный подход к проектированию таких фильтров заключается в нахождении максимума апостериор ного распределения вероятности.
Рассмотрим два случая определения максимума апостернор-
ного распределения. В первом случае при большой априорной неопределенности апостериорное распределение при приеме первых импульсов сигнала имеет весьма произвольную форму, и только через некоторый интервал измерений выделяется ос
новной максимум, который используется |
для |
оценки. |
Из-за |
||
произвольной |
формы распределения при |
большой |
априорной |
||
неопределенности необходимо использовать численное |
реше |
||||
ние уравнения |
Кушнера — Стратоновича. |
Во втором |
случае |
||
имеются достаточно точные априорные данные |
о положении |
||||
сигнала и возможно использование нормальной |
аппроксима |
ции функции правдоподобия принятого сигнала. Так как апосте риорное распределение в этом случае оказывается нормаль ным, нахождение максимума сводится к расчету среднего зна чения апостериорного распределения. Второй подход позволя ет получить простые алгоритмы, близкие по своей структуре к следящим измерителям.
Первый подход целесообразно использовать при поиске сиг нала, второй — при его автоматическом сопровождении.
Рассмотрим задачу поиска сигнала, которая отличается от известной задачи [32] из-за изменения параметра во времени.
Полагаем, что параметр сигнала является частью компо нент векторного случайного процесса, удовлетворяющего урав нению (2.13а). Принимаемое сообщение имеет вид (2.2). В этой задаче при импульсном излучении сигнала трансформация апо стериорного распределения в промежутке между импульсами описывается уравнением (2.11). С учетом (2.11) и (2.13а)
ж и>Iх «>. |
м I = - »р— 1|Х (|),''ю 1 ( о '" ум *>| + |
+ 7 8р [й ^ { « ш )Г |S4 V (' 1*”>|Х </), /Т (/,)|Ц , (2.21)
ti,<i<tk+1. Уравнение (2.21) необходимо дополнить начальным н граничным условиями. Начальное условие определяется из выражения (2.12):
/>[Х(**♦,). W Y (**«)] = Q> IX(<*«), f*., Y (£*)!/? (Y (4ti), Х(/А+1)],
/ЧХр,,), М = М Х 1 , |
(2.22) |
где С — постоянный нормирующий множитель.
Граничные условия определяют значения плотности вероят ности на границе априорной области. Очень часто значения на границе выбираются нулевыми, при этом наблюдается умень шение вероятности с течением времени. В нашей задаче выбор граничных условий мало влияет на результат, так как при при еме новой информации ширина распределения быстро сокра щается и значения распределения вблизи границ малы. Поэто му можно использовать самое простое задание граничных усло
вий и считать, что за пределами априорной области значение плотности вероятности равно нулю.
Численный метод решения (так называемый метод сеток) основан на замене дифференциального уравнения в частных производных (2.21) соответствующим разностным. При этом методе априорная область задания параметров в пространстве X разбивается на элементы. Выбор шага разбиения определяет точность приближенного решения и производится опытным пу тем. Недостаток метода сеток заключается в быстром росте числа элементов сетки при увеличении размерности вектора X. Поэтому реальные возможности осуществления метода сеток имеются лишь для простейших моделей изменения параметра, задаваемых уравнением (2.13а). Выберем несколько значений матриц f и g, соответствующих моделям первого, второго и третьего порядков:
Если 1/7л>0, то уравнение (2.13а) первого порядка опи сывает медленно изменяющуюся во времени случайную вели чину X(ï) (экспоненциально-коррелированный случайный про цесс). Соответственно модели второго и третьего порядка опи сывают случайные процессы с экспоненциально-коррелирован ной скоростью и ускорением. Если 1/7'Л= 0 , то моделируются величины с неизвестным постоянным значением, скоростью или ускорением, причем неизвестный параметр задается с помощью начального условия Х(0). Предполагается, что величина X(0) является случайной величиной с известными средним значением и ковариационной матрицей. При отсутствии случайных изме нений параметра во времени получаются наиболее простые алгоритмы, заслуживающие внимательного изучения. Из вы ражения (2.21) при g = 0 получаем
Обозначая Хг = [рг»р] или ХГ= [рт>РаР], из (2.23) получим
£ /> [Х , |
(/V (4)1 = |
t/ У (4)I|. |
Л-р [X , t/Y <<„)! = |
- Л | ^ | Х , ЦГ(1,)]) - |
Л\а,р IX , t,y« ,) ]] . |
(2.24)
Особенность выражений (2.24) заключается в том, что число производных меньше числа переменных в векторе X. Таким образом, введение условия g = 0 существенно упрощает реше ние задачи. Уравнениям (2.24) соответствуют разностные урав нения
P [X, t + btiY (f*)] = 2 р [X, |
tJY (*ft)]- p |
{[P + оЛр] , |
</V (/*)} |
|||||
P IX, t + à t l Y {tk)]=3p [X, |
t(Y (/*)]- p j P |
. |
j |
|||||
|
tlY (tk) \ - p |
P |
1 |
. |
t!Y(f*) |
|
(2.25) |
|
|
v f + Avt |
|
||||||
|
|
a„ |
J |
|
|
|
|
|
В общем случае при использовании метода сеток простран |
||||||||
ство вектора |
X разбивается |
на элементы |
размерами Лр X Лир |
|||||
(в двумерной |
задаче) или |
ДрХДирХДар |
(в трехмерной |
зада |
||||
че), и для каждого узла сетки задается |
значение р[Х, </Y(/&)]. |
Чтобы найти значение р[Х, t-\-At/Y(th)], необходимо решить разностные уравнения (2.25). Из-за специфики уравнений (2.24) сеточные уравнения (2.25) зависят лишь от части со ставляющих вектора X. Благодаря этому двумерная сеточная задача распадается на ряд одномерных задач, соответствую щих разным скоростям. Аналогично трехмерная задача стано вится эквивалентной ряду двумерных задач, соответствующих заданным значениям ускорения.
Исследуем алгоритм вычисления апостериорного распреде ления в двумерной задаче, описывающей изменение параметра
сигнала с постоянной скоростью. Разделив выражение |
(2.24) |
на р[Х, f/Y (/*)], получим |
|
£ ln p [ X , t l \ ( t b) } = — £ {*,ln/> [X , */Y (*,)!}. |
(2.26) |
Выражению (2.26) соответствует разностное уравнение
ln p |Х, * + A//Y (f*)]= In/»Цр +Ар «»Г. */Y (**)), (2.27)
где Д р=ирДЛ Из выражения (2.27) следует, что каждое сече* ние распределения плоскостью ир= const смещается со скоро
стью vp вдоль |
оси р. Если At |
равно |
периоду повторения Тп, |
|
то из (2.22) и (2.27) имеем |
|
|
|
|
ln P (X, |
t„/Y (tk)] = \ n c + l n p 0 \[f — kvtT„ 'Op]7'} -Ь |
|
||
+ |
2 ,n P |Y |
- |
i) v fT„ vfV). |
(2.28) |
|
i=i |
|
|
|
Выражение (2.28) соответствует сечению распределения пло скостью ир= const. Сумма в этом выражении принимает наи-
большее значение в том случае, если скорость изменения пара метра близка к скорости Vp. В этом случае максимумы всех функций правдоподобия p{Y(/,)/[p— (А—i)vpTn ир] т} совме щаются наилучшим образом и апостериорное распределение имеет максимальное значение. Схема алгоритма показана на рис. 2.3. Реализация подобной схемы обработки требует запи-
1п Ро
tnp[Y(t,)] |
|
|
|
lnp[Y({2)] |
|
|
|
lnp[Y(î*)] |
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. |
|
ей величины |
In р |
для различных периодов сигнала в |
память |
ЭВМ. При цр= 0 |
сдвиг исключается, и схема превращается в |
||
обычную схему накопления импульсных сигналов [32]. |
Рас |
||
сматриваемая |
схема отличается наличием поиска по |
скоро |
|
сти vp. |
|
|
|
Аналогичное исследование в трехмерной задаче показывает, что при наличии постоянного ускорения каждый элемент рас пределения перемещается не только по дальности, но и по скорости на величину Тпар. По этой причине перед суммиро ванием необходимо варьировать задержку, обусловленную влиянием не только скорости vp, но и ускорения ар. Размер ность пространства поиска при этом увеличивается, так как максимум отыскивается в пространстве [pi/pap].
Следует заметить, что размерность вектора Х(/) не влияет на объем памяти для хранения значений функции правдоподо бия. При усложнении задачи возрастает лишь количество обра щений к памяти для расчета очередного значения функций p{[f>VpapjT, t/Y(th)} в точке [рпряр].
Рассмотренный алгоритм хорош при произвольной форме функции правдоподобия, но он сложен в реализации и поэто му практически пригоден для простых моделей движения объ екта. Можно существенно упростить алгоритм оценивания, ес ли принять, что функция правдоподобия может быть аппрокси мирована нормальным распределением [2,9]. Такая аппрокси мация справёдлива, если истинное значение параметра доста точно хорошо известно. Фактически это означает, что априор-