книги / Прикладная статистика
..pdf1т
У1= —
/=1
По аналоги» с индексом корреляции, корреляционное отно шение »1уявводится так:
Напомним, что к — число интервалов группировки по составляющей х дву
мерной выборки;
—середина /-го интервала группировки по составляющей л;
и.— частота г-го интервала группировки по составляющей х,
/= 1, 2Р..., А;
у; — серсд|ша /-го интервала фупнировкн по составляющей у,
т— число интервалов группировки по составляющеиу;
— частота /-го интервала группировки по составляющей у,
>= 1,2 ......т;
и— объем двумерной выборки.
Если все точки на диаграмме рассеяния сгруппированной выборки лежат на горизонтальной прямой, то все частные сред ние у равны у.
г= 1, 2, . 1^ = ».
Тогда говорят об отсутствии связи между значениями х и у. Бели вес точки на диаграмме рассеяния сгруппированной вы борки лежат на некоторой прямой (кроме горизонтальной), то
^ = I. В остальных случаях 0 < |
< I. |
|
Величина |
зависит от группировки, Как правило, с ростом |
числа интервалов группировки по переменной х корреляционное
61
отношение растет. По аналогии с числом ц}г можно рассчитать число т\^Ф если считать х зависимой переменной, а у — неза висимой переменной.
Пример. На металлообрабатывающем заводе у 60 марок стали провели замеры предела текучести Р{х, кг/мм2) и преде ла прочности аш(у, кг/мм2). В итоге получили 60 пар значений, представленных в табл. 3.6. Предполагается, что большие зна чения обуславливают большие значения ; марки стали с низ ким пределом текучести имеют и низкий предел прочности. Для обоснования гипотезы о высокой положительной корреляции между пределом прочности и пределом текучести сгруппируем выборку (табл. 3.7) н рассчитаем числовые характеристики.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.6 |
г |
|
Р |
Ош |
Р |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X, |
>г |
■Ч |
Л |
|
Л |
Х1 |
Л |
154 |
т |
51 |
95 |
98 |
140 |
44 |
69 |
133 |
164 |
Е01 |
114 |
97 |
115 |
92 |
116 |
58 |
75 |
169 |
209 |
105 |
101 |
141 |
157 |
145 |
161 |
87 |
101 |
71 |
93 |
155 |
193 |
94 |
107 |
88 |
139 |
39 |
69 |
136 |
155 |
113 |
141 |
83 |
98 |
122 |
147 |
82 |
81 |
86 |
97 |
106 |
111 |
33 |
'52 |
136 |
163 |
121 |
127 |
92 |
104 |
78 |
117 |
72 |
79 |
119 |
138 |
85 |
103 |
114 |
138 |
66 |
81 |
112 |
125 |
112 |
118 |
125 |
149 |
42 |
61 |
85 |
97 |
98 |
102 |
73 |
76 |
ИЗ |
123 |
41 |
72 |
103 |
108 |
77 Г |
85 |
42 |
85 |
96 |
113 |
99 |
119 |
47 |
61 |
133 |
147 |
45 |
88 |
104 |
128 |
68 |
85 |
153 |
179 |
99 |
109 |
107 |
118 |
137 |
142 |
85 |
91 |
Внешний вид табл. 3.7 несколько отличается от вида табл. 3.5, иллюстрирующей двумерную группировку. Табл. 3.7 пост роена так, чтобы можно было легко вообразить диаграмму рас сеяния, не строя со саму.
6 2
Имеем:
« = 60; к ^7; т = 8; к = Л = 20 (длины интервалов груп пировки)^
= _ ± (200x2 + 180x2 + 160x5 + 140x9 + 120x13 + 100x14 +
У60
+60x10+ 60x5) =114,7;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гв&тица 3.7 |
|
|
|
|
|
|
Предел текучести [*/р |
кг/мм1 |
|
|
|||
Предел |
|
|
130- |
[5 0 - |
[7 0 - |
[9 0 - |
[110 - |
[120- |
[1 5 0 - |
|
|
прочное™, |
у, |
50) |
70) |
90) |
110) |
130) |
150) |
170) |
т 1 |
||
кг/мм’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[] 90-210) |
|
200 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
140 |
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||
[170-190) |
|
130 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
[150-170) |
|
160 |
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
[130-150) |
|
140 |
|
|
1 |
1 |
5 |
2 |
|
9 |
|
[110-130) |
|
120 |
|
|
1 |
8 |
4 |
|
|
13 |
|
[90-110) |
100 |
|
1 |
7 |
0 |
|
|
|
14 |
||
[70-90) |
30 |
3 |
3 |
4 |
|
|
- |
|
10' |
||
[50-70) |
60 |
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
"| |
|
|
13 |
15 |
9 |
7 |
4 |
60 |
||
Л “ | |
(60x5 + 80x3) = 67,5; |
^ ь I |
(80x4 + 100) = 105; |
|
|||||||
Г, = ~ |
(160 + 120 + 100x7 + 80x4) = Ю0; у , = 113,3; |
|
|
||||||||
Т |
Л |
=131»*; |
Л = 'Я З ; |
|
у} =190; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е (^ |
- |
7 ) 4 |
= 8х(б7,5 - |
114,7? + 4х(|05 -114,7У + 13х(Ю0- |
|||||||
~ 114,7)* + |
15х(| 13,3 - |
114,7)? + 9*031,1 _ 1 И ,?)1 + 7х( 154,3 - |
|||||||||
- 114,7)’ + 4х(190 - 114,7)* = 57115,8; |
|
|
|
|
63
± ( у, - у У>)= 2х(2О0 - 114,7)? + 2х(18» - 114,7)’ 4- 5*(160 -
/•I
-1 14,7>2+9х(140-114,7)2+13х(12О -114,7)*+14*(100-1 И,7)2+ +10х(*0 - 114,7)* + 5х(60 - 114,7)? = 69493,4;
г .= Э,82.
Для справки: коэффициент корреляции г = 0,92, предел про чности и предел текучести связаны сильной линейной зависи мостью.
3 .9 . З А Д А Ч И
1. Как выражаются коэффициенты лIшейного уравнения рег рессии через выборочный коэффициент корреляции г7
2. Показать, что выборочный коэффициент корреляции г нс изменится, если значения г, у. подвергнуть преобразованию:
X, =*, + ЪУ, =У,+ Ь \: = 1,2,..., я.
Как изменится выборочный коэффициент корреляции г, сеян лее числа*, умножить на одно кто же число </, все числау умно жить на одно и то же число &, г = 1,2, л?
3. В соответствии с методом наименьших квадратов соста вить систему уравнений для определения коэффициентов следу ющих уравнений регрессии:
у =а + Ье, у = а + Ьх5\п(т) + с*со${ш)
, х Ь (ф — заданное число), У = л + —.
В задачах 4-19 нужно найти числовые характеристики вы борки н определить (если г > 0,7) коэффициенты линейного уравнения регрессии х на у, если у можно принять за независи мую переменную.
4. Результаты тестирования (баллы) 10 студентов. Первый тест проверяет память (к), второй — способность к логическому мышлению (у):
64
\ |
5 |
8 |
7 |
10 |
4 |
7 |
9 |
6 |
8 |
6 |
У* |
7 |
9 |
б |
9 |
6 |
7 |
10 |
7 |
6 |
8 |
5. Оценка затеет по способностям (.г) шести продавцов-прак- тпкаптоз и результаты их работы за первый год (у) в сотнях фун тов проданного товара:____________________
|
*» |
25 |
42 |
33 |
54 |
29 |
36 |
|
|
|
42 |
73 |
50 |
90 |
45 |
48 |
|
6. Снашивание (л) и твердость (у)резины в условных единицах: |
||||||||
|
|
21 |
15 |
|
12 |
22 |
5 |
|
|
У< |
5 |
6 |
|
7 |
4 |
8 |
|
7- Мисса поросят (у) в килограммах в зависимости от возрас |
||||||||
та (л) в неделях: |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
д- |
1 |
& |
||||||
у 1 |
2,5 |
3,9 |
5.2 |
6,3 |
7,5 |
9,0 |
10,8 |
13,1 |
8. В книге «Основы химии» Д.И. Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого Есатрия № N0^ в зави симости от температуры воды. Указывается, сколько условных частей N81^ О1) растворяется в 100 частях воды при соответс твующих температурах в °С (х):
X, |
|
0 |
|
А |
10 |
|
15 |
21 |
29 |
|
36 |
51 |
68 |
|
У, |
66,7 |
71,0 |
76,3 |
|
80,6 |
85,7 |
92,9 |
99,4 |
113,6 |
125,1 |
||||
9. Средняя температура января в г. Саратове (х) и в г. Алаты |
||||||||||||||
ре (Чувашия) (у) измерялась в течение 13 лет: |
|
|
|
|||||||||||
Г о д |
|
1891 |
|
1892 |
|
1893 |
1894 |
|
1395 |
|
1896 |
1897 |
||
х . |
- |
19,2 |
- |
14,8 |
- |
19,6 |
- 11,1 |
|
- |
9,4 |
- 16,9 |
- 13,7 |
||
У. |
- |
21,8 |
- |
15.4 |
- |
20,3 |
- 11,3 |
- |
11,6 |
- 19,2 |
- 13,0 |
|||
Г о д |
|
1399 |
- |
1911 |
|
1912 |
1913 |
|
1914 |
|
1915 |
— |
||
х , |
|
- 4.9 |
13.9 |
|
- 9,4 |
- 8,3 |
|
- |
7,9 |
|
- 5,3 |
— |
||
___ |
|
- |
7,4 |
- |
15,1 |
- |
14,4 |
41 |
- |
10,5 |
|
- 7,2 |
— " |
65
10. Средняя температура июня в г. М.оскве (к) н в г. Ярослав ле (у) измерялась в течение 40 л е т : _____________________
|
у |
|
у л |
|
Ум |
X, |
У |
|
У, |
|
12.0 |
10,8 |
13,9 |
10,1 |
|
15,0 |
13,8 |
17,2 |
13,9 |
18,1 |
16,0 |
12,0 |
11,3 |
11,2 |
10,0 |
|
15,0 |
16,0 |
16,9 |
14.8 |
18,4 |
17,8 |
12,0 |
12,0 |
14,0 |
10,0 |
|
15,5 |
13,9 |
16,9 |
15,0 |
19,2 |
15,0 |
12,0 |
13,0 |
14,0 |
12,0 |
|
15,9 |
14,7 |
17,0 |
16,0 |
19,3 |
16,1 |
12,8 |
10,9 |
13,0 |
12,4 |
|
16,0 |
13,0 |
16,8 |
17,0 |
20,0 |
17,0 |
13,9 |
10,0 |
15,0 |
11,0 |
|
15,9 |
15,0 |
17,5 |
16,0 |
20,1 |
17,7 |
13,1 |
И ,5 |
14,0 |
13,0 |
|
16,0 |
16,0 |
18.0 |
14,0 |
14,0 |
14,8 |
13,0 |
13,0 |
15,9 |
14,2 |
16,9 |
12,9 |
18.0 |
14,0 |
14.0 |
15,2 |
|
11. Объем продажи (х) в млрд, долларов и чистый доход (у) в |
||||||||||
млн. долларов 20 фирм в США: |
|
|
|
|
|
|||||
** |
«.9 |
8,4 |
7.4 |
7,2 |
7.0 |
6,1 |
5.9 |
5,8 |
5,5 |
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У. |
441 |
278 |
456 |
934 |
89 |
6 П |
770 |
53 |
243 |
217 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
4,4 |
4.2 |
4,2 |
4,1 |
3,8 |
3.8 |
3,6 |
3,5 |
3.3 |
3,2 |
У\ |
454 |
291 |
321 |
51 |
111 |
2 |
356 |
150 |
237 |
151 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяется ли доход объемом продажи?
12.Среднегодовые уровни воды в озере Виктория-Нмлза
(я)относительно некоторого фиксированного значения и числа солнечных пятен (у) за 1902-1921 гг.;
Г од |
К |
Уш |
Год |
|
У' |
1902 |
-1 0 |
5 |
1912 |
-11 |
4 |
1903 |
13 |
24 |
1913 |
- 3 |
1 |
1904 |
18 |
42 |
1914 |
- 2 |
10 |
1905 |
15 |
63 |
1915 |
4 |
47 |
1906 |
29 |
54 |
1916 |
15 |
57 |
1907 |
21 |
62 |
1917 |
35 |
104 |
1908 |
10 |
49 |
1918 |
27 |
81 |
1909 |
8 |
44 |
1919 |
8 |
64 |
1910 |
1 |
19 |
1920 |
3 |
38 |
1911 |
- 7 |
б |
1921 |
- 5 |
25 |
66
13. Число айсбергов, наблюдавшихся помесячно к югу от Ньюфаундленда (.г) и к югу от Большой отмели (у) за 1920 г.:
|
3 |
10 |
36 |
83 |
130 |
68 |
25 |
13 |
9 |
4 |
3 |
2 |
Ув |
0 |
1 |
4 |
9 18 13 |
3 |
г |
1 |
0 |
0 |
0 |
14. Число разводов на 1000 жителей в 20 штатах США (у), средний доход на семью (ху) в тыс. долларов; процент городско го населения (л2):
)\ |
*„ |
х,, |
У, |
*и |
75 |
1,2 |
4,9 |
38,5 |
3.6 |
4,9 |
|
1,1 |
6.3 |
83,6 |
3,9 |
5,2 |
47,5 |
0,4 |
6,4 |
85,4 |
4,0 |
5,9 |
56,8 |
2,4 |
6,2 |
73,4 |
2,7 |
5.8 |
73,7 |
2,7 |
5,8 |
62,4 |
3,0 |
5,4 |
65,7 |
2,1 |
6,2 |
73,4 |
2,4 |
5,9 |
74,9 |
1,2 |
4,2 |
39,3 |
1,2 |
4,9 |
51,3 |
1,5 |
4,9 |
54,3 |
з,з |
6,2 |
68,1 |
1,9 |
5,0 |
55,8 |
3.2 |
5,9 |
62,2 |
1,6 |
4,6 |
62,9 |
3,1 |
6,7 |
86,4 |
]5. На сталелитейном заводе обследовали 15 плавок опреде ленного сорта стали. Учитывался угар кремния (х)„ измеряемый в процентах, и выход стали (у), также измеряемый в процентах.
|
7,9 |
0,9 |
3,7 |
8.1 |
6,9 |
0,8 |
6.0 |
7,2 |
8,8 |
10,2 |
11,2 |
0,5 |
у, |
70,3 |
85,0 |
100,0 78,1 |
77,9 |
9М |
59,2 |
86.8 |
70,1 |
42,2 |
81.9 |
97,1 |
|
|
4,6 |
9,7 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у* |
68,2 |
92.1 |
91,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Продолжительность послеоперационного лечения в кли нике (у) в днях и возраст больных (х) в годах, оперировавшихся по поводу грыжи:
67
хг |
У. |
*, |
Л |
Х 1 |
__ Я |
_| |
А . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
9 |
68 |
7 |
79 |
3 |
|
75 |
7 |
60 |
4 |
79 |
И |
51 |
5 |
|
02 |
0 |
68 |
7 |
80 |
4 |
57 |
8 |
|
65 |
16 |
62 |
35 |
48 |
9 |
51 |
8 |
|
42 |
3 |
76 |
9 |
35 |
2 |
48 |
3 |
|
54 |
2 |
76 |
7 |
58 |
4 |
48 |
5 |
|
43 |
3 |
64 |
5 |
40 |
3 |
66 |
8 |
|
04 |
3 |
64 |
19 |
19 |
4 |
71 |
2 |
|
52 |
8 |
17. При исследовании некоторой химическом реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества (у) в %, ос тавшееся в системе. Подобран» коэффицнсЕПы уравнения у - а + + Ьх + сх1, где* — время после начала реакции в мешутях:
|
0 |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
Уш |
100 |
87,3 |
72.9 |
63,2 |
54,7 |
47,5 |
41,4 |
36,3 |
1В. Барометрическое давление связано с высотой следующим
соотношением:
р / р „ = е т
гдер — барометрическое давление на высоте г;
Т— температура;
ран к — параметры.
По методу наименьших квадратов оценить значения пара метров ШТ и р0 по результатам наблюдении, проведенных при постоянной температуре:
2,,М |
1000 |
N00 |
1200 |
1400 |
1500 |
1600 |
Рр мьсрт.ст. |
640 |
595 |
504 |
363 |
1 ПО |
267 |
19. Для исследования зависимости давления р насыщенного пара (Н/см2) от удельного объема V (м3/кг) составлена таблица опытных данных:
63
У, |
3,334 |
1,630 |
0,866 |
0.423 |
0,265 |
0,170 |
0,115 |
р, |
0,482 |
1,034 |
2,027 |
4,247 |
7,164 |
11,480 |
17,600 |
|
Подобрать |
коэффициенты |
функциональной зависимости |
20. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварцар (Ом-см) от абсолютной температуры
Т’(К) имеет вид р = ю ^ *
Используя опытные данные, оценить значения параметров
а и Ь:
Рг |
5*10" |
4*10» |
ЗхЮ,А |
2x10” |
2хЮ« |
1.5x10" |
10'° |
г, |
335 |
365 |
400 |
445 |
500 |
570 |
670 |
2], Получена пыборка наблюдений переменных х и у:
-г, |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
г |
У* |
62,1 |
87,2 |
109,3 |
127,3 |
134,3 |
136,2 |
136,9 |
Для представлення этих данных предлагается выбрать луч шую из предложенных моделей:
1) >> = — ^7- . 2 ) у = Ь а * . 3 ) у = Ь х п . 4 ) у = я 1 ф ; ) + А.
а+Ьх
Оценить значения параметров а и Ь.
22. На заводе производят некоторый материал, твердость которого хотят повысить. Для этого увеличивают содержание некоторого химического вещества. Ниже приведены данные для 20 случайно отобранных образцов. Значения у — твердость об разца (условные единицы), значения х — процентное содержа ние химического вещества относительно некоторого уровня:
69
X, |
18 |
18 |
18 |
б |
20 |
9 |
И |
22 |
17 |
17 |
У, |
72,2 |
80,1 |
69,8 |
58,2 |
79,7 |
45,6 |
58,6 |
85,4 |
80,1 |
66,7 |
Х1 |
19 |
14 |
22 |
8 |
22 |
П |
24 |
14 |
24 |
5 |
|
79,1 |
| 56,4 |
82,4 |
55,2 |
107,8 |
34,4 |
115,4 |
73,5 |
99,5 |
56,8 |
Подобрать коэффициенты линейного и параболического уравнений рецессии. Какое из уравнений больше соответствует экспериментальным данным?