книги / Метод определения нагруженности упругих целиков произвольной формы
..pdfРис. 1. Электрическая модель нагруженности упругих целиков
Тогда, согласно первому закону Кирхгофа и равенству
(1 .5 5 ), |
получим систему уравнений для |
электрического по |
|||||
тенциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
ty ) =. Vr CJi) , |
, |
(1.56) |
||
где 3 J |
и |
"$1 |
—плотность токов, соответственно |
стека |
|||
ющих к поверхности |
с |
электрода и проходящего через со |
|||||
противление |
^ i |
; |
4>i |
—потенциал. i |
электрода |
относи |
тельно общей шины (электрода сравнения).
Рассматривая поле под электродами как результат сло
жения |
первоначального однородного |
электрического |
^ 2? Л |
4 |
7 /V M UMI |
* и навеДенного поля ^ ~ “ X |
</('*>“ / , вызван |
ного диэлектрическими участками между электродами, урав нения (1 .5 6 ) представим в виде
f t ( - 3 D - £ V i j t y j - V i t f j , |
• |
(1 .5 7 ) |
||
Граничные условия здесь аналогичны условиям |
(1 .34) |
и |
||
(1.49) |
. |
_ |
|
|
/„ |
|
( x ”,yM) = s " |
|
|
Z=0 : dJUtyittuT —j |
|
|
( 1 5 8 ) |
|
а вместо равенства |
(3L53) имеем |
|
|
|
|
|
|
( w s e ) |
|
Сравнивая выражения |
(l.5 1 )- (L 5 3 ) с (1 .5 7 )—(1 .5 9 ), |
убеждаемся, что они изоморфны, если принять коэффициент бокового давления К= 0 . Следовательно, данная электриче ская модель является квазианалоговой и переходит в анало говую при К^О . Заметим, что рассмотренная двоякоперио дическая задача разрешима при ограниченном объеме электро проводной среды в электролитической ванне, благодаря зер кальному отражению поля диэлектрическими стенками по следней.
Для моделирования задачи иагруженяости целиков в слу чае одиночной полости выполним верхнюю оценку погрешно-
3 2
■стей, вносимых ограниченными размерами электролитиче ской ванны. Очевидно, что погрешность максимальна в плоскости расположения полостей (плоскость 2-0 ) . Для определения верхней оценки будем рассматривать модель полостей без. поддерживающих их целиков. Устремим с этой целью горизонтальные размеры широких целиков к бесконечности. Тогда краевые условия на границе модели
полости согласно выражению (1 .58) для полного поля токов имеют вид
Х =0 : |
дЧ |
(* « Vм; = 5,„м , |
(1.60) |
|
Т г * я ° ’ |
||||
|
|
|
где б п - поверхность модели полости.
Из (1 .4 1 )-(1 .4 3 ) эти условия представляют собой ана логовое решение задачи о растяжении, упругого изотропного пространства, содержащего плоскую в плане шель. Искомую оценку можно получить, рассматривая аналитическое решение задачи о плоской круглой в плане щели радиуса ct с центром - в начале координат.
Нормальное напряжение на границе 2 =0 вне круглой щели, находящейся под действием равномерного давления
Ро , равно /4 4 /
61 = ~ |
2 Ра |
|
|
|
и.6 1 ) |
or |
|
|
|
||
Согласно |
(1.61) |
при |
р =2, 3, |
4 ,получим соответственно |
|
|
£ г = - |
-р* |
-0,034 ; |
0 ,О Ш ‘, 0,0035 . |
|
|
|
° |
^ |
ЭФ |
|
На границе 2-0^ |
Ог |
и д-гм пропорциональны друг другу |
|||
и достаточно учесть влияние двух близлежащих полостей, |
|||||
поэтому можно положить, |
что: |
|
- при моделировании одиночной полости в электролити ческой ванне, линейные размеры которой вдвое больше соот ветствующих размеров модели полости ( р =2), возникающая относительная погрешность не превышает 7%;
—если линейные размеры ванны втрое больше размеров модели полости ( р - 3 ), эта погрешность не превышает 2%.
3 3
Заметим, что система уравнений при моделировании за дачи нагружещюсти упругих целиков, подкрепляющих одиноч ную полость, будет аналогична системе (1.57)
Ъ № )) - ! Ц * ч (?})шЧ1(Ъ), |
, (1.62) |
6 ^ |
в модели |
Для установления подобия уравнений Лапласа |
и в оригинале перейдем к безразмерным выражениям резуль тирующего поля на контактных поверхностях полости:
2 S IL WWI „Pf77/^j c u) .
Щ - Щ . O'
3 ?l-z ЭН1+? v
ивдали от нее
&» 1 И ;
*Ш _ ? ? I -.J.fxPv*)
-zM
w |
i _ |
(1 .63) |
a f I - n |
||
Энм/-г» |
'йИГгм |
|
Л‘/?? |
2 2 . |
л |
|
Э2 М" |
- |
Равенства (1.63.) являются следствием автомодельности уравнения Лапласа. Следовательно, сохраняя равенство ве личин , можно утверждать, что эти’ поля, эквивалентны между собой.
Эквивалентность полных систем уравнений оригинала (1 .51)-(1 .53) и модели (1 .5 7 )-(1 .5 9 ) обеспечивается до
полнительными условиями подобия, для определения которых необходимо найти масштабные коэффициенты /5 ,4 2 /. Так, сопоставляя выражения (1.51), (1.52) с {1 .57), (1 .5 8 ), видим, что они будут взаимозаменяемы, если ввести коэф фициенты подобия
|
|
|
|
( |
Г |
Р - 1 - - |
# |
- У г - Л |
C*^h(tU (L 6 4 ) |
f |
LT |
эс« |
УМ, СР |
Еп |
В этом случае подобие сопоставляемых выражений будет выполняться’при условии
f r - g p - С » J |
(1 .65) |
|
с.Ч* |
||
|
3 4
Сравнивая выражения (1.53) и (1.59), находим следую щие коэффициенты подобия
г - |
|
для |
лентоиных целиков, |
(1.6 6 ) |
|
2(1^„)Е„МИ |
|
|
|
(Vs |
|
для столбчатых целиков. |
(1.67) |
|
Ь 2(1-1.)UhK |
|
|
||
Выражая все величины системы уравнений (1.57) с |
||||
учетом |
(1.59) |
через коэффициенты подобия, придем к условию |
||
|
|
.Сь ' СР~ I |
(1.6 8 ) |
|
|
|
С*, |
|
и вводя |
Разрешив равенство (1 .65) относительно Су |
||||
его выражение |
в равенство ( 1.6 8 ), получим необходимое |
|||
условие |
и критерий подобия: |
|
|
|
|
|
( |
Ы к Ш а |
|
Lh |
|
j r . |
2 L M S E * , |
(1.69) |
|
Г " |
hEn |
|
1 2
Последнее означает, что подобие будет выполняться при любом соотношении потенциальных и силовых характеристик оригинала и модели. Оно указывает также на неправомер ность использования электрогидродинамических моделей для определения нагружекности упругих целиков. Из условия по добия (1 .6 9 ) непосредственно следует, что физические про цессы в оригинале и модели подобны, если сопротивления
рассчитаны с учетом fa1? f связанной для ленточных и столбчатых целиков зависимостями
1И
| «
h J l-M E 't?
) Ей, it . (1.70)
InEnLГ
Следовательно, параметрам оригинала соответствуют вполне определенные параметры построенной квазианалотовой
3 5
модели. Заметим, что однозначность соотношений между ори гиналом и моделью стала возможной, благодаря наличию участков однородности сопоставляемых полей.
1 .3 . Переход к аналоговой модели
Для перехода модели от квазианалоговой к аналоговой при значении коэффициента бокового давления \С.ФО с уче том того, что V : =2( 1-% ) Si представим правые части уравнения (1.54) в виде
|
|
W ; =/.1 (fL+?:(*)). |
, |
(1.71) |
||
где коэффициент |
есть податливость целиков, |
принимающая |
||||
различные значения в зависимости |
от их формы |
|
||||
|
|
c£i ~ |
Я-Si Ец |
(1.72) |
||
|
|
hi |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
J$l |
(ft) — |
|
I |
2$i Ец , |
|
|
постоянная для данного целика величина, за |
||||||
висящая от коэффициента бокового давления. |
|
|||||
|
|
|
|
( S;K КН • |
|
|
|
|
А О 1 * ' |
I |
^ |
(1 .73) |
|
где |
~ |
|
|
Уи, , |
вычетом |
|
Гг -Sc Pi |
—суммарная нагрузка на целик с |
|||||
суммы первоначальных напряжений |
S t j H . |
|
||||
|
Равенство |
(1.71) |
при |
принимает вИд |
|
|
|
|
|
W i * A F l ' ’ . |
|
( 1 - 7 4 ) |
Решение уравнений (3,51) с правой частью вида (1 ,7 4 ) осуществляется электроаналоговым путем.
Перепишем равенство (1.71) в виде
(1 .7 5 )
и для решения уравнений (1.75) используем следующий ите рационный процесс, осуществляемый электроаналоговым путем
3 6
W ? I F { nU d i + Ш ) |
(1 7 6 ) |
|
|
F;° |
|
Кe 4f |
. ‘»oo , |
г? , т.е. |
где в качестве первого |
приближения выбирается |
Докажем сходимость всех составляющих итерационного
соотношения (1 .7 6 ) к соответствующим величинам в урав нениях ( 1 .7 5 ), т.е. 9Jlli , тогда и
W- • Будем опираться на очевидное положение: чем больше податливость' целика, тем меньше нагрузка при про чих равных условиях, воспринимается им- и, наоборот, чем меньше податливость целика, тем больше воспринимаемая им нагрузка.
Заменяя <£{* на |
ff + |
rioj~) |
в выражении |
||
(1 .7 5 ), |
|
|
l i |
f*6l |
Г |
получим путем аналогового решения |
г* |
' L , |
|||
так как |
cCi > <L* |
Кроме того получим |
F?U |
F?> |
|
в силу неравенства |
> o^l . |
Следовательно, задаваясь |
величиной податливости, значения.которой находятся в про
межутке [Q |
oCtJ.y |
получим значение нагрузки в проме |
||||
жутке |
CF.(o,7 Ft J • |
|
Точно |
также |
при |
|
- оСi |
( <\-+ |
'Pfcfo-) |
получим |
F /2^< |
> так как |
|
> |
jfO |
« Причем, |
очевидно, что |
в силу |
||
неравенства |
UfJ • |
* Иначе величина |
] |
|||
при |
|
Повторяя процесс подбора подат |
ливости целиков, .получим ограниченные сверху и снизу по следовательности
F/0^F[‘>F[2>> . . . > |
f / " > ^ . > |
F; , |
(1.77) |
|||
« а < 4 |
’< |
^ |
|
|
|
(1 .78) |
Эти монотонные последовательности имеют соответствую |
||||||
щие пределы F; |
и |
* В противном |
случае, |
если до |
||
пустить существование предела, |
ранного |
F c |
, |
где |
||
Fi(*> F; , то’ |
пРименяя вышеизложенный итерацион- |
3 7
ный процесс к промежутку EF* У 9 Fi J > получим^анало гичную монотонную последовательность, ограниченную снизу. В силу монотонности она также должна иметь предел. Пос ледовательность (1.77) должна иметь по крайней мере два предела, чего быть не может. Поэтому, как только величина нагрузки будет отличаться на заданную малую величину £ от величины нагрузки на предыдущем шаге приближения, процесс подбора податливости целиков прекращается. •
Таким образом, необходимым и достаточным условием сходимости данного итерационного процесса является при нятое положение о связи податливости целика с величиной нагрузки.
Г л а в а 2
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАЗРАБОТКА МЕТОДА
2.1. Методика проведения эксперимента
После установления подобия между построенной упругой и аналогичной ей электрической моделями можно приступить к- проведению эксперимента.
1. Исходя из постановки задачи, определяют тип исполь зуемой электрической модели и экспериментальной установ ки, с помощью которой она реализуется.
2. В соответствий с найденными коэффициентами и кри териями подобия производят расчет параметров модели.
3 . Изготавливают модель упругой системы, г модель рассматриваемой области полупространства (полу
плоскости) и модели целиков с учетом граничных условий и определенных ранее параметров.
4 . Производят тарировку модели, включающую опре деление удельной электропроводности рабочей среды и на пряженности однородного электрического поля.
5 . Снимают показания регистрирующих приборов.
6 . Производят обработку результатов измерений. Рассмотрим операции, производимые в процессе экспе
римента. Для рещения ;задачи о нагруженности целиков необ ходимо использовать электрические модели с распределенными параметрами - модели со сплошной приводящей средой. При решении плоской задачи в качестве рабочей среды можно взять электропроводную бумагу, фольгу или электролит
3 9
плоской электролитической ванны; при решении соответст вующей трехмерной задачи —стопу электропроводной бумаги, другую твердую проводящую среду (например, с добавкой угольного порошка или сажи) либо электролит объемной ван ны. Выбор рабочей среды обусловлен ее электрическими параметрами и величиной допустимой погрешности при за дании граничных, условий.
Электропроводная бумага, фольга и твердая проводящая среда обладают электронной проводимостью, что позволит проводить эксперимент как :на‘ постоянном, так и ;на перемен ном токе. Применение электролита с ионной проводимостью ограничено переменным .током, при измерениях на котором возникают некоторые трудности. Поэтому при изготовлении плоской модели удобна среда с электронной проводимостью. Хотя электропроводная бумага и обладает значительной .не однородностью электрического сопротивления по сравнению с фольгой, легкость изготовления и простота задания гра
ничных условий делают ее незаменимой при решении плоской задачи. Применение моделей из твердых проводящих сред при решении объемной задачи нецелесообразно ввиду труд ностей изготовления и достижения достаточной однородности.
Элёктроаналоговое устройство для решения задачи о на— груженности упругих целиков произвольной формы должно быть простым по конструкции, вместе с тем позволяющим быстро и легко измерять необходимые электрические величины м о дели и иметь достаточное количество переменных сопротивглений для изготовления модели.
При расчете параметров модели прежде всего выбираетсягеометрический масштаб. Для обеспечения'однородности . электрического поля на "бесконечности", т.е. вне области влияний диэлектрических участков границы размеры прово дящей среды находятся из условия
L % 2 8 м, при А/с!*- 50 , |
(2 .1 ) |
где LM , НМ -• горизонтальные и вертикальные размеры^ модели; Ам — ширина модели широкого опорного целика; gM — протяженность модели выработки; С1м —харак
терный размер электрода.
40