книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfВИМ - время-импульсная модуляция; ФИМ -- фазо-импульсные и др.
Период Т квантования сигналов в таких системах, как правило, постоянный. Например, широтно-импульсное нереверсивное управление можно представить в виде
u(t) = Um\(z(t)), |
(11.3) |
|
где Ц е(0) |
скважность управления |
как некоторая функция текущей |
ошибки управления. С другой стороны, скважность - это отношение времени ty генерации управляющего воздействия с амплитудой Um к периоду Т управления, )fis(t))~ty(t)/T
Цифровые системы управления оперируют с сигналами, представлен ными в виде цифровых кодов. Для этого непрерывные сигналы цифровой системы управления должны быть подвергнуты квантованию по времени и по уровню. Квантование непрерывного сигнала по времени реализуется с помощью импульсного модулятора, а квантование по амплитуде - с помо
щью амплитудного квантователя (рис. 11.2). |
|
|
|
|
|||
|
|
т |
/ф* (0 ^ |
|
|
|
|
/ ( О |
\ |
/ ‘(0 ( |
|
т |
, |
► |
|
|
|
Ф |
|
|
---- :— |
|
|
|
|
|
У |
К |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
Импульсный модулятор |
Амплитудный квантователь |
Рис. 11.2. Квантование непрерывных сигналов в цифровых САУ
В соответствие с теоремой Котельникова-Шеннона импульсный моду лятор должен обеспечивать дискретизацию непрерывного сигнала по време ни с частотой, по крайней мере, в 2 раза превышающей максимальную час тоту изменения непрерывного сигнала. В любом случае частота квантования по времени должна быть выбрана такой, чтобы обеспечить наилучшее вос становление непрерывного сигнала (исходных данных) на интервале време
ни |
кТ < t< (к+\)Т по дискретным выборкам в k-t моменты времени, где |
к - |
номер такта квантования, Т - период квантования. |
|
Таким образом, процесс восстановления непрерывного сигнала может |
рассматриваться как процесс экстраполяции. Функция fit) на интервале Т может быть представлена в виде ряда Тейлора
/(О = f{kT) + f'(kT)(t - кТ) + ^ р ( * " кГ)2 + |
(11-4) |
где / \ к Т ), / "(кТ\... - оценки производных в момент времени t = кТ,
1 \ к Т ) Л [ / { к Т ) - т - \ ) Т ) \ ,
/ W ) = j [ f ' ( k T ) - f ' ( ( k -\)Т)] = ^ [ Д к Т ) - 2№ - 1)T ) +f((k - 2)7’)];
Таким образом, для повышения точности экстраполяции сигнала тре буется либо использовать информацию о выборках в прошедшие моменты времени, либо повышать частоту квантования по времени. Поскольку вре менное запаздывание оказывает неблагоприятное влияние на устойчивость систем управления с обратной связью, на практике обычно идут по второму пути, ограничиваясь удержанием лишь первого члена разложения ряда (11.4), т. е. принимают /(/) = /(кТ).
Импульсный модулятор, в котором удерживается лишь член J[kT)7 содержит 2 элемента (см. рис. 11.2) - квантователь непрерывного сигнала по времени с периодом Т и фиксатор Ф нулевого порядка (экстраполятор нуле вого порядка). Квантователь можно рассматривать как идеальный ключ, замыкающийся на бесконечно короткое время через каждые Т секунд. Тогда выходной сигнал квантователя будет представлять собой решетчатую функцию
|
со |
(11.5) |
/ 4 0 = |
I f(kT)b(t- kT), |
|
где f(kT ) - |
значение входного непрерывного сигнала в момент времени |
|
кТзамыкания ключа, к - 0... оо, |
|
|
b(t -kT) |
- единичная импульсная функция (5 -функция), генерируемая |
|
в момент времени к замыкания ключа. |
|
|
Фиксатор сохраняет неизменным значение сигнала f{k T ) |
в течение |
периода Т квантования. Передаточная функция фиксатора, реагирующего на импульсные воздействия вида (11.5), имеет вид
(11.6)
Реакция импульсного модулятора (квантователя и фиксатора) на неко торое непрерывное воздействие fit) приведена на рис. 11.3. Вертикальными стрелками обозначена реакция собственно квантователя, реализующего про цесс дискретизации по времени.
В схемотехническом плане функции квантователя и экстраполятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства “выборкихранения” (УВХ) [4].
Амплитудный квантователь обеспечивает квантование входного сиг нала /ф (0 по уровню и выполняется на основе аналого-цифровых преобра зователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП
(12-24) квантованием по уровню при исследовании цифровых САУ обычно * пренебрегают и цифровые САУ рассматривают как импульсные (амплитуд но-импульсные с фиксатором нулевого порядка).
Рис. 11.3. Реакция импульсного модулятора
на непрерывное воздействиеАО
Анализ и синтез импульсных систем осуществляют с применением ме тода z-преобразования или метода пространства состояний.
Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала имеет вид
|
F ' ( p ) = t f ( k T ) e - kTr |
(П.7) |
|
к= О |
|
|
Сделаем замену z = еГр, что позволит получить z-преобразование вида |
|
|
F \ z ) = f j f{kT)z~k |
(11.8) |
|
О |
|
где |
z - комплексная переменная, действительная и мнимая части которой |
|
определяются как |
|
|
|
Re {z) = elacos (соГ), |
|
|
\m(z) = eTas\n (соТ )9 |
|
где |
а + j со = р. |
|
|
Алализ проекций комплексной переменной z |
на оси Re(z) и lm(z) по |
зволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на ком плексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса.
Физический смысл сомножителя z~k при функции f(kT) - фиксация ее текущего (к = 0) и предшествующих значений (к= 1,2,...).
11.2.Дискретные передаточные функции и разностные уравнения
Винженерной практике для описания динамических звеньев дискрет ных САУ (объектов управления, регуляторов, фильтров и т. п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ)вида
(П.9)
X{z y
где X{z\ Y(z) - соответственно входная и выходная переменные дискретно го звена. Заметим, что практически реализуемые ДПФ должны иметь поря док полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.
Способы получения ДПФ:
1. Прямой способ (прямое дискретное преобразование Лапласа):
* (0 |
х(кТ) -» X (z) |
Y {Z) |
|
|
W(z) = |
y ( t ) y { k T ) K (z)-> |
X(z) |
|
J |
||
Чтобы |
получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала |
x(t\ необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями х(кТ). Каж дое значение х(кТ) домножить на z k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (10.7), которая, по сути, представляет собой дис кретное преобразование Лапласа Х{т). Аналогично получают прямое дис кретное преобразование Лапласа сигнала у {/)• Прямое z-преобразование яв ляется однозначным преобразованием.
2. С помощью таблицы z-преобразований.
В табл. 11.1 приведено z-преобразование наиболее часто встречаю щихся в САУ функций.
Таблица 11.1
Z-преобразование наиболее часто встречающихся в САУ функций
X (t ) Х(р) X(z)
5(0 |
1 |
|
5(/ - кТ) |
е ' к1р |
|
1(0 |
1 |
|
Р |
||
|
||
t |
1 |
|
|
||
|
Р1 |
|
е ~ а1 |
1 |
|
|
P + OL |
|
] - е ~ а ' |
1 |
|
|
Р(Р + а) |
1
„-к
ь1
Tz _ Т
г - 1 Т - г ~ '
Tz
( г - 1 ) 2
Z
z - е ' аТ
z ( l - e 'a / )
( z - l ) ( r - e '“7)
_________ *0)
sin (c o f)
c o s (со/)
e " a / sin(coO
e “a / c o s (c o /)
________ m
со
p 2 +со2
p
/7 2 + 0 ) 2 СО
( p + a ) 2 + c o 2
з + a
( p + a ) 2 + co2
Окончание табл. J1.1 m
z sin c o /
z 2 - 2 z c o s c o / + 1 z ( z - COSCO/)
z 2 - 2 z c o s c o / + 1 z e ' a r sinco/
z 2 - 2ze~aTco sm + e~2aT z2 - z e -ajrcosco/
z 2 - 2 ze~al cosco t + e~2aT
3.Через импульсную переходную характеристику
W ( z) = Z {5(АГ)}= J Ь{кТ)г~к к=0
Замечание: эти преобразования относятся к дискретным системам без фиксатора (экстраполятора).
Следует' отмет ить, что, хотя прямое преобразование Лапласа является однозначным, одно и то же динамическое звено может иметь бессчетное число дискретных передаточных функций в зависимости от применяемого метода экстраполяции. В частности, интегрирующее звено может быть пред ставлено следующими дискретными передаточными функциями:
1. |
Y{z) |
T |
(11.10) |
D (z ) = |
1 —z_l |
||
|
X(z) |
|
|
|
Y(z) |
z'T |
(11.11) |
2. Z)(z) = |
|
||
|
X(z) ~ \ -z~' |
|
|
3. |
D(z) = Y(z) |
__(l + z- l)7’ |
(11.12) |
|
X(z) |
2(1- z 4 ) |
|
4. |
Y{z) |
_ (l-t-az~'):r |
(11.13) |
D(z) = |
(l + a ) ( l - z _l) |
||
|
X(z) |
|
где Г - такт квантования, 0 < а < 1 Первая и вторая передаточные функции получены с применением экс
траполяции нулевого порядка (метода прямоугольников), причем оценка производной выходного сигнала осуществляется соответственно в к-й и
(к- 1)-й моменты времени.
Третья передаточная функция получена с применением метода Тастина (метода трапеций), причем усредненная оценка производной выходного сигнала осуществляется по двум точкам - в к-тл и (А;-1)-й моменты вре мени.
Четвертая передаточная функция (семейство передаточных функций) получена на основе метода прямоугольников со смещенной оценкой произ
водной выходного сигнала (а = var).
Дискретные передаточные функции дифференцирующего звена могут быть получены из приведенных выше путем перестановки полиномов числи
теля и знаменателя.
К дискретным передаточным функциям и соответствующим структур ным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.
Для синтеза систем управления реального времени, исследования циф ровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частно сти, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 11.10-11.13), имеют вид:
1.Y(kT) = Y((k-\)T) + TX(kT);
2.Y(kT) = У((*-1)7) + Щ (*-1)7);
3.Г(КГ) = Y((k-\)T) + 0,5 Т[Х(кТ) + Щ к - 1)7)J;
4.Y(kT) = У((*-1)7) + (77 (1+а)) [Х(кТ) + аХ((к-1)Т)].
Впространстве состояний цифровые (импульсные) систрмы управления представляют либо в виде векторно-матричных разностных уравнений, либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем про странства состояний) [2].
11.3. Синтез цифровых систем управления
Существует множество методов синтеза цифровых систем управления, основанных на описании управляемых динамических процессов, как в час тотной области, так и во временной области [1-4].
Для синтеза цифровых САУ применяют, в частности:
метод дискретизации по времени аналоговых регуляторов класса “вход-выход” (метод аналогий) или метод билинейного преобразования;
метод переменного коэффициента усиления; методы аналитического конструирования дискретных регуляторов
состояния САУ.
11.3.1. Метод дискретизации аналоговых регуляторов класса “вход-выход”
Данный метод основан на применении рассмотренных выше проце дур синтеза линейных аналоговых САУ В качестве критериев оптимально сти принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квад
ратичные функционалы, а следовательно, динамические процессы в оптими зированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта и-го порядка. Син тезированное аналоговое устройство управления содержит, как правило, один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректи рующих устройств) класса “вход-выход”
Суть метода заключается в замене передаточных функций синтезиро ванных непрерывных регуляторов их дискретными аналогами. Отсюда и вто рое название данного метода синтеза - метод аналогий.
Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные применяют замену непрерывных операторов р Лапласа их дис кретным аналогом z = j[p). В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования ил люстрируется рис. 11.4.
Входным воздействием регулятора является ошибка регулирова ния (<e(t) для непрерывного и е(кТ) для дискретного), выходным - сигнал управления (и (t) для непрерывного и и (кТ) для дискретного).
Приведенное преобразование основано на замене:
(11.14)
T(\ + z~l) T(z + 1)
при формировании интегральной составляющей ПИД-закона регулирования;
Рис. 11.4. Преобразование непрерывного ПИДрегулятора
в его дискретный аналог
1-z*1 |
z -1 |
(11.15) |
Р = - у - |
= ^ Г - |
|
при формировании дифференциальной составляющей |
ПИД-закона регули |
|
рования. |
|
|
Заметим, |
что с целью обеспечения точности |
отработки интеграла |
от ошибки регулирования при замене оператора р на z применена экстрапо ляция первого порядка (метод трапеций). Параметры К ^ Г9КИ9 Ка получены в результате синтеза аналогового ПИДрегулятора, Т - временной интервал между двумя соседними значениями управляющего воздействия (такт управления).
Применение этого метода синтеза предполагает, что дискрегизацией аналоговых сигналов по уровню в силу достаточной длины разрядной сетки цифровых средств управления можно пренебречь, такт управления доста точно мал (как правило, на порядок меньше минимальной постоянной вре мени объекта управления), а также предполагается, что периоды прерывания Т импульсного элемента датчиков обратной связи и регуляторов одинаковы и неизменны, причем синхронизированы во времени. Как показывают иссле дования [4], в цифровых электромеханических САУ такт прерывания не дол жен превышать 0,005 с. Обеспечение этих условий позволяет получить динамические характеристики цифровой САУ практически такие же, что и в непрерывной системе.
11.3.2. Метод переменного коэффициента усиления
В основе метода лежат теорема об п интервалах дискретно го управления и применение дискретных уравнений переходных состояний [4]. Дискретный регулятор на начальном этапе синтеза представляется в виде последовательной цепочки, состоящей из квантователя ошибки e(t) регули рования по времени с тактом Г, фиксатора Ф нулевого порядка и безынерци онного звена с переменным коэффициентом К, усиления (рис. 11.5).
e(t) ettT) - I и(*7)
ФК,
Рис. 11.5. Структура дискретного регулятора
на начальном этапе синтеза
Входным воздействием регулятора |
является |
ошибка регулирова |
ния е(кТ), выходным - сигнал управления |
и(кТ). |
Ошибка регулирования |
е(кТ) на входе звена с переменным коэффициентом усиления обновляется и
фиксируется с помощью экстраполятора нулевого порядка с каждым тактом дискретизации Т.
В соответствие с теоремой об п интервалах дискретного управления система будет оптимальной по быстродействию (в концепции импульсных САУ), если переходные процессы в ней заканчиваются через п тактов управления, причем без перерегулирования выходной координаты, где п - порядок линейного объекта управления. Критерий оптимальности системы
(максимум быстродействия) в этом случае записывается в виде |
/рег = пТ :=> |
=>min. Цель синтеза - определение п значений коэффициента |
Kh обеспе |
чивающих достижение предельного быстродействия САУ |
|
Для дискретной САУ с рассматриваемым регулятором можно записать |
|
п дискретных уравнений переходных состояний |
|
X(kT' ) = <HKj,T)B(T)V[(k-\)Tl к =1,2,..„и, |
(11.16) |
где V[(/c-l )7] - вектор состояния САУ на предыдущем такте управления;
У(кТ*)~ вектор состояния на текущем такте управления после замы кания ключевых элементов (фиксации новых значений измеренной коорди наты и ошибки регулирования);
Ф(Kj, Т) - расширенная матрица перехода системы, зависящая от ис комых коэффициентов Kj;
В(7) - матрица переключения импульсных элементов.
В результате решения системы п неоднородных алгебраических урав нений, составленных из дискретных уравнений состояний, находят числен ные значения коэффициентов Kj.
На заключительном этапе синтеза оптимальный регулятор представ ляют в виде дискретной передаточной функции
п-[ |
|
|
М ___________ |
(11.17) |
|
e(z) |
||
|
||
Z * O T +)z -' |
|
|
7=0 |
|
В отличие от рассмотренного ранее метода синтеза такт управления здесь выбирается исходя из ограничений ресурсов управления (чем меньше требуемое время регулирования, тем большими ресурсами управления долж на обладать САУ). В частности, для цифровых электромеханических САУ в зависимости от регулируемой координаты значение Т находится в пределах 0,005...0,05 с.
К существенным недостаткам метода следует отнести доволь но высокую чувствительность синтезированных САУ к вариациям парамет ров объекта управления и “чужим” аддитивным воздействиям. Например, система, оптимизированная по критерию быстродействия по задающим воз действиям, может оказаться далеко не оптимальной в смысле этого критерия при отработке возмущающих воздействий.
11.3.3. Метод синтеза апериодических дискретно-непрерывных САУ с регуляторами состояния
Многие системы управления относятся к классу систем, функциони рующих в режимах малых отклонений координат: систем стабилизации той или иной технологической координаты (скорости вращения или переме щения рабочего органа, температуры, давления, натяжения и т. п.), следящих систем управления, систем воспроизведения движений. Поскольку основ ным технологическим требованием при синтезе таких систем является максимальное быстродействие и минимум динамической ошибки отработки
рассогласований заданных и действительных значений |
координат состоя |
||||
ния, |
в качестве дискретного критерия оптимальности |
примем |
критерий |
||
вида |
J = п -> min, где |
п - число периодов дискретного управления, |
|||
по истечении которых |
система |
приходит в установившееся |
состояние |
||
без перерегулирования |
выходной |
переменной. |
|
|
Синтез апериодических динамических систем, а именно такими являются системы, гарантирующие отсутствие перере1улирования в замкнутых дискрет ных САУ, традиционно проводят на основе идеальной компенсации нулей
иполюсов объекта управления полюсами и нулями дискретной передаточной функции регулятора и добавления новых полюсов и нулей в соответствующих областях z-плоскосги [1, 2]. Неточность математического описания, временной
итемпературный дрейф параметров объекта управления, ограничения в реали
зации передаточной функции регулятора техническими средствами приводят к неустойчивости замкнутой системы. Более того, такая процедура синтеза САУ даже при идеальной компенсации полюсов и нулей предполагает “апериодич ность” переходных процессов только по отношению к входным воздействиям определенного вида и места их приложения. По отношению к “чужим” вход ным воздействиям система может иметь неприемлемое качество. В этой связи синтез САУ предлагается осуществлять на основе контроля полного состояния системы и реализации апериодических регуляторов состояния.
Ниже рассмотрена аналитическая процедура синтеза апериодиче ских регуляторов состояния, обеспечивающих апериодические переход ные процессы в линейных системах произвольного порядка. Предлагае мая процедура синтеза обеспечивает в системе управления астатизм первого порядка по задающим воздействиям, а следовательно, повышенную точность отработки изменяющихся во времени задающих воздействий САУ.
|
Пусть линейный |
стационарный объект |
управления |
описывается |
|
дискретно-непрерывным векторно-матричным уравнением |
|
||||
|
Х(/) = АХ(0 + ВЩкТ) + C F(/), |
|
|
(11.18) |
|
где |
Х(/), Щк'Г\ F(/) - |
векторы |
состояния, управления и |
возмущения |
|
соответственно размерности п х 1, |
тх 1, d x У; |
|
|