книги / Системы управления летательными аппаратами и их силовыми установками
..pdfДля оценки влияния ошибки квантования на точность преоб разования определим среднеквадратическое отклонение ошибки стх :
(20.4)
где D x - дисперсия ошибки.
Зависимость для определения дисперсии для случайной вели чины с равным нулю математическим ожиданием имеет вид
Dx = f x2f(x)dx. |
(20.5) |
-оо
Для рассматриваемого случая
С
Dx = ) x2f(x)dx. |
(20.6) |
_ с
2
Плотность вероятности определим из известной зависимости
J f(x)dx = 1, |
(20.7) |
-оо
или для рассматриваемого случая
J / (x)dx = 1. |
(20.8) |
Тогда
2 |
1 |
(20.9) |
f(x )x = 1; |
/( * ) = - . |
|
.£ |
С |
|
2 |
|
|
Подставив (20.9) в (20.6), получим
_ 1 |
2, 2» |
1 Ал |
(20.10) |
Dx = - \b x d x =— - |
|||
С |
е |
С 3 _£ |
12 |
2
аX |
С |
(20.11) |
|
2 -S |
|||
|
' |
Итак, при квантовании сигнала по уровню возникает ошибка,
среднеквадратическое отклонение которой в \/з раз меньше макси мального значения.
От того, учитывается ли ошибка квантования максимальным значением или среднеквадратическим отклонением, будет зависеть число разрядов преобразователя, которое определяется исходя из требования к точности преобразования.
20.3. Учет влияния квантования по уровню в преобразователе код - аналог
(при малом числе разрядов преобразователя)
Будем считать, что в этом случае величина ступеньки квантова ния соизмерима с максимальным значением преобразуемого сигнала. Поэтому преобразователь представляет собой элемент с существенно нелинейной статической характеристикой. Для упрощения рассмот рения влияния ошибки квантования на точность системы введем сле дующее допущение:
-будем рассматривать только собственное движение системы;
-примем число разрядов преобразователя равным 1;
-не будем учитывать зону нечувствительности в статической характеристике преобразователя, которая в этом случае примет вид, показанный на рис. 20.5, а.
Таким образом,
F(x) = с |
при |
х £ 0 ; |
|
F(x) =-c |
при |
х<0. |
(20.12) |
Функциональную схему системы стабилизации можно в данном случае представить как содержащую линейную и нелинейную части (рис. 20.5, б).
Рис. 20.5
В нелинейную часть системы входит импульсный элемент, за поминающее устройство нулевого порядка и релейный элемент. На зовем нелинейную часть системы релейно-импульсным элементом (РИЭ). Известно, что в релейной системе автоматического регулиро вания может возникнуть устойчивый периодический процесс (авто колебания). Задача состоит в определении амплитуды автоколебаний с целью оценки влияния квантования по уровню на точность систе мы. Для определения амплитуды автоколебаний используем метод гармонической линеаризации. Чтобы решить данную задачу, необхо димо знать комплексный коэффициент передачи РИЭ.
1.Определение комплексного коэффициента передачи РИЭ
Комплексный коэффициент передачи РИЭ Wp является функцией
амплитуды сигнала а, поступающего на вход РИЭ, фазы кванто
вания ф к и соотношения частоты квантования и частоты сигнала
|
(20.13) |
»;= /(a,V |V i). |
(20.14) |
Сигналы на входе РИЭ, на выходе фиксатора и на выходе ре лейного элемента (7,2, 3) представлены на рис. 20.6.
Фаза квантования характеризует фазовое отставание сигнала на выходе РИЭ по сравнению с сигналом на входе. Комплексный коэф
фициент передачи можно выразить через модуль Rp и аргумент фр :
Wp(a,4 i,n) =RveJV' |
(20.15) |
Выразим модуль и аргумент через коэффициенты гармониче |
|
ской линеаризации РИЭ q и q''• |
|
Rp = ^ q2 + q't ; |
(20.16) |
q' |
(20.17) |
ФР = arctg— , |
|
где |
|
q =— 2fF(v|/)sinW v; |
(20.18) |
па о |
|
q' = — 2JF (V^)COSV|/ ^ . |
(20.19) |
па о |
|
Учитывая вид сигналов на входе и выходе РИЭ (см. рис. 20.6), определим ç и
2 |
я+'|!'к |
2с ( |
-cosy |
я+ч'1<> |
Ас |
(20.20) |
|
q = — |
j |
csinyrfy = — |
|
— cosyK; |
|||
па |
ч |
|
|
|
|
па |
|
2 я+VK |
2с |
sm у |
Я+>|1. |
4с . |
(20.21) |
||
q '- — |
J |
ccosyc/y = — |
|
----- sm 4V |
|||
па |
Ч'к |
|
па |
|
Ч \ |
па |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.22) |
|
|
< P |
p = - W |
|
|
(20.23) |
Выразим фазу квантования через соотношение частоты кванто вания и частоты сигнала.
Как видно на рис. 20.5, аргумент РИЭ представляет собой сумму аргументов фиксатора срф и релейного элемента <ррэ :
|
Фр = Ф ф + Ф р э - |
|
(20.24) |
||
Но для релейного элемента с однозначной статической характе- |
|||||
„ |
со |
JC „ |
|
|
|
ристикои (ррЭ =0, а фф |
= -п — = — . Тогда |
|
|||
|
©п |
п |
|
|
|
|
|
со |
|
|
(20.25) |
|
ФР = -* -©л |
|
|
||
|
|
|
|
||
Подставив (20.22) и (20.25) в (20.15), получим |
|||||
|
|
|
. |
Crt |
|
|
|
Ас |
“/лfi |
(20.26) |
|
|
W (а,Ц1,п) = — с |
|
(Оо |
||
|
|
па |
|
|
|
Заменим усо на р , тогда |
|
|
|
|
|
|
4с |
S . |
4с |
ЛЬ. |
|
Wp(a,p) = ^ e ^ = — e |
* |
v |
па |
па |
2. Методика определения параметров периодического процес са, возникающего в системе стабилизации за счет квантования сигнала по уровню. Задача состоит в определении частоты и амплитуды периодического процесса, т.е. частоты и амплитуды ав токолебаний на входе РИЭ. Воспользовавшись методом гармониче ской линеаризации, запишем условие существования периодического процесса в системе:
|
z[Wn(p)Wv{ p ) y - \ , |
|
(20.28) |
||
Здесь fV„(p) - передаточная функция линейной части системы. |
|||||
С учетом формулы (20.27) получим |
|
|
|
||
|
Ас |
2 |
= - |
1. |
(20.29) |
|
Z W„(p)— e |
||||
_ |
Ас |
|
|
|
|
Вынесем — за скобки: |
|
|
|
|
|
|
па |
рти |
|
|
|
|
Ас |
= - |
1. |
(20.30) |
|
|
— z W„(p)e |
2 |
па
Как видно из выражения (20.30), необходимо осуществить опе рацию z-преобразования от функции с запаздыванием. Для решения такой задачи применяется модифицированное z-преобразование, символ которого zm [2].
При использовании модифицированного z-преобразования вво
дится некоторый параметр т, характеризующий |
запаздывание |
функции: |
|
« = 1 ~ . |
(20.31) |
где т - величина запаздывания, причем 0 < т£ Г 0. Модифицирован ные z-преобразования различных элементарных функций приведены в приложении 1.
Так как для исследуемой системы т = -Tу, то т = 0,5.
С учетом вышеизложенного перепишем зависимость (20.30):
— zm[Wn(p)] =- 1. |
(20.32) |
па |
|
Используя таблицу z-преобразований (см. приложение 1), по |
|
лучим |
|
— Wn(z,m) =~l при т = 0,5. |
(20.33) |
па |
|
Для определения параметров периодического процесса вос пользуемся частотным методом (методом Е. П. Попова). С этой це лью запишем характеристическое уравнение системы в области w,
выделим мнимую и вещественную части характеристического урав нения и в итоге получим два уравнений для определения амплитуды и частоты автоколебаний.
Итак, переходим |
в область w с помощью известной |
подста- |
1 + W |
|
|
новки z = ------ : |
|
|
1 - w |
|
|
|
— Wn(w) =- l . |
(20.34) |
|
па |
|
Характеристическое уравнение системы примет вид |
|
|
|
— W„(w) + 1 = 0. |
(20.35) |
|
па |
|
Заменим w на j v |
: |
|
|
— Wn(jv) + 1 = 0. |
(20.36) |
|
па |
|
Выделим вещественную и мнимую части уравнения |
(20.36) |
|
и приравняем их нулю: |
|
|
— r„(yv) + l
7ta
|
Im — WaUv) + 1 =0. |
(20.38) |
|
na |
|
Из этой системы уравнений находим v и а. |
|
|
3. |
Определение параметров периодического процесса в систе |
ме угловой стабилизации. Структурная схема СУС представлена на рис. 20.7.
Рис. 20.7
Для решения поставленной задачи воспользуемся зависимостью (20.30), тогда условие существования периодического режима запи шется в виде
4с |
1 |
рТ° |
па |
КтКпЪф — е |
2 D(z) = - 1 |
Р |
|
(20.39)
или
рт0
4З Д Д .С .
А
па
Воспользуемся модифицированным z-преобразованием
4KrKnbw5c |
тТп |
m = 0,5. (20.41) |
па |
D(z) = -1 при |
|
z -1 (z - 1)2 |
|
Произведем алгебраические преобразования
2К{КПЬц$сТ0 z +1
D(z) = - 1. |
(20.42) |
па |
(z - 1)2 |
Перейдем в область w, учитывая, что
п . ч |
„ T’KW+I |
(20.43) |
£>(w) = tfK-s— |
||
|
w+ 1 |
|
Ko\i,cTo (l-w )(rKw+l) |
(20.44) |
|
na |
+ 1= 0. |
|
w2(w+l) |
|
Заменим w на /v и произведем преобразования, в результате получим уравнение в виде
_уз _| | _ |
К Л -ТпсТ„ Л , |
КпЬ,Тпс |
(2045) |
||
ot>8-J0l'Jк |
|
|
|||
|
па |
па |
|
па |
|
Выделим мнимую и вещественную части и приравняем их |
|||||
нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
_уЗ +:K o V H ^ J ) =0. |
(20.46) |
||
|
|
|
па |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^о^ч»8^ос ^к _ Л у 2 + |
КМ С_ Q |
(20.47) |
|
|
^ |
па |
) |
па |
|
|
|
Решая совместно равенства (20.46) и (20.47), определим а и v:
< ТК- 2)
Анализ данных зависимостей показывает, что фиктивная посто янная времени дискретного вычислительного устройства должна иметь величину Тк > 2. Амплитуда периодического процесса про порциональна коэффициенту передачи линейной части системы K0bv& и величине уровня квантования с.
Таким образом, если амплитуда периодического процесса пре вышает допустимое значение, то необходимо уменьшить прежде все го с, т.е. увеличить число разрядов преобразователя.
20.4. Динамика системы стабилизации при учете нелинейности рулевого привода
Как указывалось в начале данной главы, основная нелинейность рулевого привода обусловлена ограничением скоростной характери стики рулевой машины (РМ) (рис. 20.8). На рисунке 5 - скорость выходного вала PM; 1 - ток на выходе усилителя. Наибольшее влияние данная нелинейность оказывает на динамику СУС при учете сигналов помех, которые накладываются на полезный сигнал.
Помехи в автомате стабилизации возни кают вследствие вибрации двигателя ЛА, наличия упругих колебаний корпу са, наличия собственных колебаний ги ростабилизаторов и т.д.
Таким образом, сложный сигнал, представляющий собой сумму полезного низкочастотного сигнала и высокочастотного сигнала по мехи, проходит через нелинейное звено, которым является рулевая машина. В результате прохождения такого сигнала может ухудшить ся качество регулирования в системе и даже может быть потеряна устойчивость. Рассмотрим данное явление подробнее.