книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике
..pdf7.4. Пример: большие прогибы круговой арки |
191 |
определяются условиями (7.116) и записываются следующим образом
■1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 ’ |
-sin До |
sinДо |
|
А = В = 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 , а = |
cos До , 6 = |
cos До |
(7.122) |
.0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1. |
-1 |
- 1 |
|
В этих обозначениях уравнения продолжения (7.119) принимают вид
dz |
_ |
dp |
„ |
(7.123) |
___ _ |
П |
* _ |
р |
|
d\ |
’ |
d\ |
|
|
А начальными условиями (7.116) для них являются условия |
|
|||
*(а) = *(0) = [sin /3, cos /3, -/3,0, -1], |
р(0) = Ро = 0. |
(7.124) |
||
Краевая задача (7.120) принимает форму |
|
|||
Z' = L(z,p)Z + PM(z,p), |
AZ(-p) = 0, AZ(0) = 0. |
(7.125) |
Здесь L(z,p) и M(z,p) — матрица и вектор, компоненты которых для нелинейной вектор-функции F(zfp) правых частей уравнений (7.115) определяются следующими соотношениями
£ = ^ = ]т |
А Щ |
- |
|
|
|
|
|
|
|||
Развернутая матричная форма уравнений (7.125) приведена ниже |
|||||||||||
X ' / |
|
0 |
0 |
£13 £14 |
0 |
0 ■ X ' |
|
■ 0 ■ |
|||
Y |
|
0 |
0 |
^ 2 3 |
£24 |
0 |
0 |
Y |
|
0 |
|
е |
= |
0 |
0 |
0 |
ck |
0 |
£зб |
© |
+ р |
0 |
|
N |
0 |
0 |
0 |
£44 £45 |
£46 |
N |
0 |
||||
|
|
||||||||||
Q |
|
0 |
0 |
0 |
£54 |
0 |
£56 |
Q |
|
Ms |
|
к |
|
0 |
0 |
0 |
cq |
L65 |
0 . |
к |
|
0 |
Здесь L\} = - ( 1 + cn) sin tf, £14 = с cost?, £23 = (1 |
+ cn) cosi?, £34 = |
csintf, £35 = 1 + cn, £44 = -ckq, £45 = - ( 1 + сп)Л, |
£45 = - ( 1 +cn)q, |
£54 = ( 1 + 2cn)fc - cp, L56 = (1 + cn)n, £ б5 = 1 + cn, Ms = 1 + cn.
Для проведения конкретных расчетов в качестве основного метода интегрирования уравнений продолжения (7.123) был принят алгоритм модифицированного метода Эйлера (7.94)—(7.104), поскольку простой метод Эйлера, как известно, приводит к существенному накоплению ошибки. Для устранения накопления ошибки модифицированного ме тода Эйлера он комбинировался с методом дискретного продолжения, для которого применялся алгоритм в форме (7.106)—(7.114) с выбором
коэффициента а® по выражению (7.110). В уравнениях для квазилине аризации (7.21) для упрощения записи прописными буквами обозначим
192 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
искомые функции текущего (j + 1)-го приближения, а строчными — уже известные функции предыдущего j -го приближения при А = А*
Z - |
z 0 + l ) |
» |
р __ 0+О |
» |
__.</) |
___0) |
Z ~ |
Z(k) |
|
z ~ g k)* |
Р - Р к • |
||
|
|
|
|
|
(*)’ |
|
Тогда краевая задача (7.21) примет вид
Я' = £ (z,p )^ + PM (z,p) + [~L(z,p)z - pM (z,p) + F(z, p)], AZ(-/30) = a, BZ(f30) = b.
(7.127)
(7.128)
Сравнивая уравнения из (7.128) с уравнениями из (7.125) замечаем, что они отличаются только наличием в (7.128) слагаемых, заключенных в квадратные скобки. В развернутой форме краевая задача (7.128) имеет вид
X ' —с cos 0N - (1 + ста) sin 0 6 +
+ [-ccosfln + (l + cB)sin 00 + (l +cn)costf],
Y' = csintfiV + (1 + cn) costfe + |
|
||
|
+ [-csini?n - (1 + cn)cosi?i? + (1 +cn)sini?], |
||
, |
------------Г--------------------- |
(7.129) |
|
0 ' = |
ckN + (1 + |
cn)K + |
|
|
+ [-cfcn - |
(1 + cn)k + (1 + cn)fc], |
|
N' = |
-ckqN - (1 + cn)(kQ + qK) + |
|
|
|
+ [ckqn + (1 + cn)(kq + qk - (1 + cn)kq], |
||
Q' = c(fcw - p)N + (1 + cn)(kN + nK) - |
(1 + cn)P + |
||
|
+ l~c(kn - p ) n - (1 +cw)(fcw + wfc + (1 + cn)fcn), |
||
K' = cqN + (1 + cn)Q + |
(7.130) |
||
|
+ [-cgn - |
(1 +cn)q + (1 + cn)q), |
|
X(±p0) = ± sin До, |
Y(±po) = ± cos A), |
K(±fiо) = 1. |
Уравнения (7.129), (7.130) мы постарались записать в такой фор ме, чтобы подчеркнуть сходство слагаемых в правых частях, которые записаны одно под другим и подчеркнуты. Тоже самое сходство видно и в обобщенной записи (7.128), где сходные слагаемые подчеркнуты. Это позволяет при составлении компьютерной программы использовать одни те же процедуры как для непрерывного, так и для дискретного продолжения.
7.4. Пример: большие прогибы круговой арки |
193 |
При практической реализации э.их алгоритмов [65] для интегри рования линейных уравнений (7.120), (7.129), (7.130) с целью получе ния их фундаментальных решений на прямом и обратном ходах про гонки использовался метод Рунге-Кутта. При этом пробные расчеты показали, что достаточная точность обеспечивается при разбиении арки при PQ = 22,5° на 30 участков, а при ро = 90° — на 100 участков. Оказалось также, что достаточно пяти промежуточных ортогонализаций.
При отработке алгоритма программы проводился целый ряд проб ных расчетов с целью выявления влияния шага по Л на накопление ошибки и эффективность комбинирования непрерывного и дискретного продолжения. На рис. 7.2 приведена зависимость параметра давления р от относительного вертикального смешения W = w/R средней точ ки (Р = 0) арки при ее симметричном деформировании. Расчеты прово
дились для арки с параметром с = 10_4 и углом р = 45°.
Штриховая кривая 1 на рис. 7.2 соответствует интегрированию урав нения продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом дЛ по параметру Л, который на начальном участке деформирования при ма лых р соответствовал приращению относительного прогиба W = 0,005. Штрихпунктирная кривая 2 соответствует тому же методу, но с шагом при W = 0,0025. Сплошная кривая 3 получена при комбинировании двух шагов с W = 0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом по неявной схеме дискретного продолжения. Эта кривая практически соответствует точному решению задачи. Как видно из рис. 7.2, моди фицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно суще ственное в тех областях изменения параметра, где решение претерпевает значительные изменения. В то же время расход машинного времени
194 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений
* 0,6 |
0,4 |
0,2 |
0 |
0,2
0,4
1 - у
0,2
0,4
при получении кривых 2 и 3 был практически одинаков (для кривой 3 он был даже несколько меньше). Это позволяет рекомендовать при расчетах комбинировать непрерывное и дискретное продолжения.
На рис. 7.3 показаны полученные с использованием такого алго ритма кривые деформирования p{W) для арки с р = 45°. При этом рассмотрены как симметричные, так и несимметричные формы дефор мирования, которые возникают в результате потери устойчивости арки.
7.4. Пример: большие прогибы круговой арки |
195 |
Д ля того, чтобы получить закритические формы деформирования, вблизи точек бифуркации вводились возмущения на нагрузку. Так, для симметричных форм нагрузка принимается в виде
р(Р)=Р ^ +0,01 sin ( У |
) ] , |
а для несимметричных форм
Р(Р)=Р [l +0,01 cos ( ff~~2]g~"~ ) ] •
Введение таких возмущений позволило обойти точки бифуркации по возмущенным решениям.
Другие примеры использования приведенных алгоритмов даны в гла ве 4 книги [17].
Глава 8
Продолжение решения в особых точках
Развитые в главе 1 методы продолжения решения, реализующие равноправие неизвестных и параметра, имеют единый алгоритм продол жения решения в регулярных и предельных точках множества решений нелинейных систем уравнений. Поэтому с точки зрения этих форм алго ритма продолжения нет необходимости во введении понятия предельной точки. Продолжая начатое в главе 1 обсуждение, здесь мы основное вни мание уделим анализу поведения решения в окрестности существенно особых точек, т. е. точек, в которых вырождается расширенная матрица Якоби J . В качестве основного метода исследования будет принят метод разложения в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Он позволяет построить уравнение разветвления, анализируя которое, можно найти все ветви решения. Причем сложность анализа будет зависеть от степе ни вырождения матрицы Якоби J . Будет рассмотрен наиболее важный для практических приложений случай однократного вырождения матри цы J(rank(J) = п - I), а также более сложный случай ее двукратного вырождения (rank(J) = п - 2).
8.1. Классификация особых точек
Как и в главе 1, задачу продолжения решения системы уравне ний (1.1) будем рассматривать в (п + 1)-мерном евклидовом простран
стве Rn+l, в котором введен вектор х = (х \, .. , , х п, х п + \ = р)т. Тогда задача сводится к продолжению решения системы-уравнений
Fi(a:) = 0, г = 1, п. |
(8.1) |
Пусть функции Fi(x) являются аналитическими, тогда компоненты вектора х могут быть рассмотрены как функции параметра продолже ния Л
X i = х , ( А), * = 1,71+ 1. |
(8.2) |
Пусть в некоторой точке, для которой будем считать параметр А равным нулю, известно решение ж(0) = *(0). Тогда поведение решения
8.1. Классификация особых точек |
197 |
х(Х) в окрестности этой точки определится разложением в степенной ряд Тейлора
/ |
1 ^ 2 |
1 |
»/ |
^ |
(8.3) |
х(\) = 2(0) + 2(0)Л + -Z (0)* |
+ ^ (о ) * |
+ • • |
|||
Здесь обозначено |
|
|
|
|
|
*(0) = dx/dMx=0, |
Я(о) = d x/ d^ |
IA=O>• ■• |
(8.4) |
Уравнения для определения х'^ , х"0у ... получим, последовательно дифференцируя уравнение (8.1) по А:
FUx(0)j = °> * = 1 >п-
Fi,3X(0)j + Fi,jkx(0)jx(Q)k = |
* = 1, 71. |
Fi,3X(Q)j + ^FiJkX(0)jX(0)k + Fi!jklX(0)jX(0)kX(0)l =
|
|
(8.5) |
|
|
00 |
*ы |
|С |
оо |
II |
|
|
В этих уравнениях опущен знак суммирования от 1 до я + 1 по по вторяющимся индексам и приняты обозначения
f f j —8Fi/dXj\y—Q) pfjk — Fx/dXjd2(|д=0) |
(8.8) |
Последовательность систем уравнений (8.5), (8.6), ... рекуррентна, и в каждой цз систем коэффициенты образуют расширенную матрицу Якоби J 0 = Т(я(о)) = * = 1,п, з = l,n + 1. Обратим внимание,
что первая из этих систем — (8.5) — однородна, а все последующие — неоднородны.
В регулярных и предельных точках множества К решений систе мы (8.1) в Rn+I матрица J не вырождена, т.е. rank(J) = я. Поэтому решение однородной системы (8.5), как это было показано и ранее в п. 1.5, принадлежит одномерному подпространству .4* € Rn+1. Соглас но (8.5) это подпространство А 1 ортогонально n -мерному подпростран ству Рп € Kn+l, которое определено базисом из я линейно независимых
векторов-строк матрицы J . Пусть |
= (aj*\. . . , а ^ ) |
— орт подпро |
странства А 1. Тогда решение системы (8.5) представляется в виде |
||
*(о) = с а (1). |
(8.9) |
Здесь с — произвольный постоянный коэффициент. Так как вектор при изменении А меняет только свое направление при неизмен-
ной длине, определенной соотношением (8.9), то векторы х ^ , х ^ , ... ,
198 Глава 8. Продолжение решения в особых точках
характеризующие изменение направления вектора х'^ , должны быть ортогональны к нему и потому должны принадлежать подпростран ству Р ", которое является ортогональным дополнением подпростран
ства |
в Rn+l. Таким образом, так же как и в п. 1.5, |
|
|
Rn + l _ p n 0 i l l |
(8.10) |
|
Из (8.9) сразу следует, что при с = 1 параметр А является диффе |
ренциалом длины кривой К множества решений системы (8.1) в Rn+l.
Действительно, так как |
— единичный вектор, т. е. (а ^ , а ^ ) = 1, то |
|||
(*(о). *(о>) = |
Y , ( * X i l d \ 1а=о)2 = |
с2. |
(8.11) |
|
|
|
з=1 |
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
Xj)2 J\ ‘/2 =cd\. |
|
(8.12) |
Так как х € К , то |
в этом соотношении |
левая |
часть является |
|
дифференциалом длины кривой К. Поэтому при с = 1 |
и правая часть |
|||
d\ также будет дифференциалом длины К. |
|
|
||
Рассмотрим теперь точку |
в которой rank(J(x^)) = г < п. Это |
означает, что среди п строк матрицы J° = J ( x ^ ) линейно независимы только г. Для определенности будем считать, что линейно независимы
первые г строк матрицы J 0. Любой другой случай всегда можно свести к таковому очевидной перенумерацией уравнений в системе (8.1).
Разобьем уравнения (8.1) на две группы |
|
|
Fi(x) = 0, |
i = I “F, |
(8.13) |
*)(*) = 0, |
j = г + 1, п, |
(8.14) |
Для упрощения дальнейших выкладок будем считать, что начало |
||
координат пространства Rn+I помещено в точку |
®(0)’ в окрестности |
которой исследуется поведение решений, т.е. ®(0) = ®- Этого всегда можно добиться введением вместо х новой неизвестной у такой, что у = х - ®(о). Таким образом, будем считать, что
Р<(0) = 0, |
г=Т7п. |
(8.15) |
Продифференцируем уравнения (8.13) по параметру А. В результате |
||
получим в точке ®(0) = О |
|
|
*&*(0); = °» * = |
1, Г, j = 1, п + 1. |
(8.16) |
8.1. Классификация особых точек |
199 |
Матрицу Якоби системы (8.13) обозначим через Jr = [Fy], (t = |
1, г, |
j — 1, п). Она имеет г строк и n + 1 столбцов. По построению ее строки в точке £(о) = 0 линейно независимы, и поэтому ее ранг в этой точке равен г:
rank(Jr(0)) = г. |
|
(8.17) |
|
Представим R"+1 в виде прямой суммы двух подпространств |
|
||
R"+1 = Р г ® Ad, |
d — n + l - г. |
(8.18) |
|
Первое из них, Р г — это г-мерное подпространство в R"+1, базисом |
|||
которого являются векторы-строки матрицы |
= J r(0), а второе, Ad — |
||
ортогональное дополнение Р г в Rn+1. |
|
|
|
Пусть р® € Р г, (* = 1, г) и |
6 Ad, (j = 1, d) — ортонормирован- |
ные базисы в Р г и Ad соответственно. В дальнейшем будем принимать
в качестве р® базис, построенный из строк матрицы J r° с помощью процесса Грама—Шмидта (см. раздел 7.2). По построению для введенных таким образом базисов имеют место соотношения
(p(i),PiJ)) = 6ij, |
i , j = h r , |
(8.19) |
|||
(а(<), aw ) = 6ih |
i,j = Td, |
(8.20) |
|||
(p(’>, a ^ ) = |
0, |
i = !7r, |
j = I 7d, |
(8.21) |
|
« . _ / ! |
при |
* = j, |
|
||
t] |
( 0 |
при |
i |
Ф j. |
|
Здесь Sij — символ Кронекера. В совокупности базисы р ^ и
образуют базис в Rn+l, и поэтому ясно, что каждый вектор х € Rn+1
единственным образом |
может быть представлен в виде разложения |
||||
по базисным векторам pW, а^: |
|
|
|
||
* = S |
ЛРМ + S |
aJ'a0)- |
(8-22) |
||
|
1=1 |
|
j—\ |
|
|
И, наоборот, каждому разложению вида (8.22) соответствует един |
|||||
ственный вектор х € R |
n + lКроме. |
того , если х = 0 ,то pi = |
0 (г = Т Т т) |
||
и otj — 0 (j = 1, d). |
Таким |
образом, |
соотношение (8.22) |
определя |
ет взаимно однозначное соответствие между компонентами вектора х и коэффициентами его разложения c t j . Это позволяет в уравнениях (8.13), (8.14) произвести замену переменных с помощью (8.22). Тогда эти
2 0 0 |
Глава 8. Продолжение решения в особых точках |
|||||
уравнения принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
F i(pu ...,P r,au ^ , a d) = 0, |
i = K r , |
(8.23) |
|||
|
Fj(p i,...,p r, a i, ... ,a d) = 0, j = r+ l,n. |
(8.24) |
||||
|
Перейдем к неизвестным р,-, aj |
и в уравнениях продолжения (8.16). |
||||
Тогда они принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, |
*'= |
I.»-- |
(8.25) |
|
Матрицу этого уравнения J r° = |
(t = |
l,r, |
j = |
1, n + 1) с по |
мощью процесса Грама—Шмидта представим в виде произведения ма трицы ортогонализации S I порядка г и ортогональной матрицы Р
размера г х (n + 1), строками которой являются векторы р® |
(i = 1, г) |
ортонормированного базиса подпространства Рг С Kn+1 |
|
Jr = ПР, |
(8.26) |
Если, учитывая это представление, домножить систему (8.25) слева на матрицу П-1, то она примет вид
Р |
(8.27) |
Раскрывая эти уравнения с учетом (8.26) и используя соотношения |
|
(8.19)—(8.21), получаем |
|
Егр' = 0, р' = (р\,...,р'г)Т. |
(8.28) |
Здесь Ег — квадратная единичная матрица порядка г.
Полученный результат позволяет сделать два вывода. Во-первых, Рк = 0, (к = Т~г), что еще раз подтверждает тот факт, что ненулевые
решения х' уравнения (8.16) принадлежат подпространству Ad. Во-вто рых, определитель системы (8.28) равен 1 и с точностью до неравного нулю постоянного множителя det(fi-1) совпадает с якобианом уравне ний (8.23) по переменным р* (к = 177). Тогда по теореме о неявных функциях в малой окрестности рассматриваемой точки х = 0 перемен ные рк (к = 1,г) могут быть на основании уравнений (8.23) получены как функции переменных а{ (I = 1, d)
Рк = Ри(<*1) • • •) оса)I к = 1, г. |
(8.29) |