книги / Математическая статистика в технологии машиностроения
..pdfили |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
расчетов необходимо принять |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(238) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
(239) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V т |
|
|
|
|
уп — коэффициент, зависящий |
от объема выборки |
п, значе |
||||||
|
ния его приведены |
ниже; |
|
|
|
|
|
|
т — число выборок; |
|
|
= |
1 — q |
(q — доверительный |
|||
t — аргумент функции 2Ф (t) |
||||||||
|
уровень значимости, обычно q = 0,05). |
|
|
|||||
|
Значения коэффициентов dn и у п |
|
|
|||||
п |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
dn |
2,059 |
2,326 |
2,534 |
2,704 |
2,847 |
2,970 |
3,037 |
|
Уп |
0,427 |
0,371 |
0,335 |
0,308 |
0,288 |
0,272 |
0,259 |
6.СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ ТОЧЕЧНЫХ ДИАГРАМ М
Статистический анализ технологических процессов посред ством малых выборок требует довольно значительного количества вычислительных работ, связанных с проверкой гипотез однород ности средних и дисперсий выборок, а также гипотезы случай ности каждой выборки. Поэтому в производственных условиях наиболее удобным и простым является метод точечных диаграмм, в котором также используются малые текущие выборки, но нет необходимости вычислять критерии для проверки указанных выше гипотез. Сущность этого метода заключается в следующем.
В течение смены через определенные промежутки времени со станка берутся малые текущие выборки объемом п = 5. Действи тельные размеры деталей выборки измеряются шкальным изме
рительным инструментом с ценой деления шкалы, равной ----- ^
допуска 26 на размер детали. Полученные размеры в виде точек наносятся на диаграмму, по оси абсцисс которой указывается время взятия выборки или номера выборок, если они берутся через равные промежутки времени, а по оси ординат наносится шкала измерительного инструмента в пределах допуска на изме ряемый размер детали.
Кроме того, на диаграмме проводятся две горизонтальные ли н и й ВТ и Нт, которые соответствуют верхнему и нижнему предель ным отклонениям размера детали по чертежу и носят названия
)1 И. С. Солонин |
161 |
линий верхнего и нижнего технического предела. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 40.
Крайние точки каждой выборки на этих диаграммах характе ризуют величину размаха, а третья точка снизу является медиа ной выборки. По крайним точкам можно следить за изменением размахов, являющихся характеристиками рассеивания случай ных погрешностей в выборках, а по медианам — за положением центра рассеивания погрешностей во время наблюдения за работой станка. Медиана используется вместо среднего арифметического размера выборки, а размах — вместо среднего квадратического отклонения. Таким образом, при использовании диаграмм дан ного типа отпадает необходимость вычисления размахов и сред-
Рис. 40. Точечные диаграммы для индивидуальных значений выборок
них выборок; об устойчивости процесса можно судить, по внеш нему виду диаграмм. Рис. 40, а дает представление об устойчи вом процессе как по рассеиванию, так и по центру рассеивания. Некоторые колебания положений точек медиан и крайних значе ний вызваны случайными причинами. Амплитуда этих колебаний невелика.
На рис. 40, б представлен устойчивый только по рассеиванию процесс, но не устойчивый по положению центра рассеивания. Диаграмма указывает на наличие закономерно изменяющейся во времени систематической погрешности, которая по своей ве личине является доминирующей.
Рис. 40, в характеризует неустойчивый процесс. Медианы вы борок здесь имеют резкие колебания незакономерного характера. Аналогичный характер имеют и крайние значения. Такой вид диаграмм свидетельствует о существенных неполадках в системе станок—приспособление—инструмент—деталь.
Более наглядное представление об устойчивости процесса дают точечные диаграммы, на которых нанесены не действитель ные размеры деталей выборки, а их средние значения и размахи. Таких диаграмм строится две: одна для наблюдений за средними
выборок Ху а другая для наблюдений за размахами выборок R. Соединив линиями точки, относящиеся к каждой последующей выборке на диаграмме средних и диаграмме размахов, можно по
лучить полное представление о характере изменения центра и меры рассеивания погрешностей обработки за время наблюдений. На рис. 41 приведены примеры таких диаграмм.
Основной целью статистического анализа с помощью точечных диаграмм является установление степени устойчивости процесса во времени, причем если изучаемый процесс оказывается неустой чивым, то необходимо выявить причины этого, устранить их и привести процесс в устойчивое состояние.
Следует различать две формы статистического анализа с по мощью точечных диаграмм: пассивную и активную. При пассив-
х мм |
|
|
|
X мм |
|
|
0,09 |
|
|
|
|
|
|
0,07 |
|
|
|
Тт |
|
|
0,05 - I f |
|
г |
|
|
||
0,03 |
|
|
|
|
|
|
№ выборки |
|
|
RMM |
|||
RMM |
|
|
|
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,09 |
|
|
|
|
|
|
0}02 |
|
|
7 |
3 |
5 |
7 |
О |
|
|
9 |
|
|
||||
№ |
|
выборка |
б) |
|
в) |
|
|
|
а) |
|
|
||
Рис. |
41. |
Точечные диаграммы для |
средних |
л* и размахов R выборок: |
||
а —устойчивый процесс; б —устойчивый только по |
рассеиванию процесс; в —не |
|||||
|
|
|
|
устойчивый |
процесс |
|
ной форме анализа наблюдения за ходом процесса ведутся в те чение смены без какого-либо вмешательства в процесс. Берутся выборки, заполняются точечные диаграммы и отмечаются все действия наладчика и рабочего, а также поведение самого станка. Например, указывается, что в такое-то время был установлен новый пруток, заменен инструмент, остановлен станок вследствие его неполадок и т. д. Затем производится тщательный анализ результатов наблюдений, выявляются основные причины неустой чивости процесса, разрабатываются мероприятия по устранению замеченных неполадок, производится их устранение и после этого статистический анализ повторяется вновь до тех пор, пока процесс не будет приведен в устойчивое состояние. Активная форма ста тистического анализа заключается в том, что при обнаружении каких-либо неполадок в процессе станок немедленно останавли вается, выявляются причины неполадок, производится их устра
нение и затем станок вновь пускается в работу для дальнейших наблюдений над ним.
Когда процесс тем или иным способом будет приведен в устой чивое состояние, берут окончательно не менее 16 малых выборок
объемом в 5 шт. каждая или одну большую выборку п |
100 шт. |
и производят определение статистических характеристик рассеи вания и вычисление показателей точности процесса по одной из рас смотренных выше методик.
После того как с помощью статистического анализа процесс будет приведен в устойчивое состояние, необходимо организовать систематическое наблюдение за его устойчивостью и своевременно принимать меры для устранения причин, вызывающих нарушение устойчивости процесса. Для этой цели служит статистическое управление качеством в ходе технологического процесса или стати стическое регулирование технологического процесса.
7.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОБРАБОТКИ ФОРМЫ И ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОСЕЙ ДЕТАЛЕЙ.
Погрешности формы (овальность, конусность, огранность, разностенность) и погрешности взаимного положения поверхностей или осей деталей (непараллельность, неперпендикулярность, бие ние, эксцентриситет осей и т. п.) являются случайными величи нами, которые подчиняются либо закону распределения эксцен триситета, либо закону распределения модуля разности.
Для установления закона распределения изучаемойпогреш ности формы или взаимного положения поверхностей необходимо на основании данных большой выборки построить эмпирическую кривую распределения и по ее внешнему виду предварительно определить закон распределения. Затем при помощи критерия X2 или Я проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Если это будет закон распределения эксцентриситета, то зону практического рассеивания погрешностей R , которую обозначим через А/?, можно принять равной
AR = 3,5а. |
(240) |
При этом вероятность выхода значений R за пределы AR будет равна 0,0022, что для практических целей является прене брежимо малой величиной. Коэффициент 3,5 определен по таблице приложения 11, из которой следует, что F (R) = 0,9978 для
— = 3,5. Так как R — это допускаемое максимальное значение
погрешности, изменяющееся в пределах от 0 до R, то зона практи ческого рассеивания погрешностей AR = R — 0 = R и принята равной 3,5а.
Учитывая, что а = ---- —---- и а = —°— то формулу (240)
можно заменить следующими формулами:
AR ~ 5,35оЛ; |
AR = 2,80^о. )
Приняв в качестве оценок о, oR и RQ статистические характе
ристики эмпирического распределения s, sR и R, можно по фор мулам (240), (241) определить суммарную погрешность обработки AR и сравнить ее с заданным по чертежу допуском 26Л. При хоро шей точности процесса необходимо выполнение следующего ус
ловия: |
|
AR ^ 28Л. |
(242) |
Если это условие не выполняется, то можно определить воз можный процент брака по данным большой выборки по формуле
|
Я = |
[1 - F ( R ) ] |
100, |
|
(243) |
||
где F (R) определяется по таблице приложения 11 в зависимости |
|||||||
от -J-, где R — заданное |
значение 28Л. Например, |
допускаемое |
|||||
значение 26Л = |
60 мкм. По данным большой |
выборки получено |
|||||
sR = 13,4 мкм. Следовательно, |
|
|
|
|
|||
|
|
«л |
|
^ |
= 20,47 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
у |
2_ |
\ |
' |
|
|
|
Фактическая погрешность AR равна |
|
|
|||||
|
AR = 3,5*20,47 = 71,64 мкм. |
|
|||||
По таблице |
приложения |
11 |
для |
-^- = |
2047 ~ |
^ 3 имеем |
F (R) — 0,9863. Следовательно, возможный процент брака соста вит
q ~ (1 — 0,9863) 100 = 1,37%.
Если в результате статистических исследований будет установ лено, что изучаемая погрешность подчиняется закону распреде ления модуля разности, то для оценки точности процесса нужно
знать две статистические характеристики распределения г и S n
с помощью которых определяются оценки X и а параметров Х0 и сг0 теоретического распределения. Эти оценки определяются по формулам (67) н (68), т. е.
£_
о= - f - и X = РО,
где Ро зависит от |
^ -§- и определяется |
по |
таблице приложе |
ния 7, а в зависимости от р0 определяется |
ар |
по таблице прило- |
1092 |
165 |
жения 8. Если погрешность rt изменяется от 0 до г, то, зная таким образом предельное значение погрешности г, по ‘величине р =
можно определить F (р), т. е. вероятность того, что случайная величина г,- будет меньше заданной величины г или, другими сло вами, можно по F (р) определить зону рассеивания значений г,-, которую обозначим через Аг.
Так как F (р) = [Ф (р — Ро) + Ф (р + Ро) 1. а закон распре деления модуля разности является двухпараметрическим, то фак тическое рассеивание погрешностей rt будет зависеть не только
от,а, но и от X. Поэтому при оценке точности процесса нужно учи
тывать оба параметра распределения. Если |
X |
= О, то и р0 = О |
|||
и тогда F (р) = |
2Ф (р). Задавшись вероятностью Р (rt < г ) |
= |
|||
= F (р) = 0,9973 по таблице приложения |
1, |
имеем t — р = |
3. |
||
Так как р = |
а г — 0 = Аг, |
то для |
практических целей |
||
можно принять |
|
|
|
|
|
|
Аг = |
За. |
|
(244) |
|
Это равенство справедливо, когда р0 = 0. По таблице приложе |
|||||
ния 7 р0 = 0 тогда, когда Х0 = |
= 1,3236. |
Если же р0 4= 0 и |
Я0 > 1,3236, то фактическое рассеивание погрешностей rh т. е. Аг будет равно
v Аг = (3 + ро) а. |
(245) |
Обозначим допускаемое значение г через 28,, тогда, при хоро шей точности процесса необходимо соблюдение следующего нера венства:
Аг < 28,. |
(246) |
Когда неравенство (246) не обеспечивается, то возможный про цент брака во всей партии можно определить по формуле
9 = 1 0 0 - [Ф ( - ^ - р 0) + Ф (-^г + Р0)] ЮО. |
(247) |
Например, по данным большой выборки установлено, что ко нусность валиков г подчиняется закону распределения модуля разности. Статистические характеристики распределения имеют
следующие значения: г = 9 мкм, sr = 6 мкм. Допускаемая раз-
ностенность 28, = 25 |
мкм. |
Определим Х0 — — = |
|- = |
1,5. |
По |
|||
таблицам приложений 7 и |
8 для А.0 = 1,5 |
Sf |
|
О |
|
и |
||
имеем: |
р„ = 1,1 |
|||||||
ар = 0,824. Следовательно, а = -S^ -= |
6— = |
7,3 |
и |
максималь |
||||
ная разностенность |
втулок |
будет |
равна |
Дг = |
(3 + |
р0) а = |
166
= |
4,1 X 7,3 = 30 мкм. Так как |
Дг > 6„ то вероятный |
процент |
||
брака |
составит |
|
|
|
|
|
|
9 = 1 0 0 - [ ф ( Ц - 1 , 1 ) |
+ ф ( % + М ) ] 100 = |
|
|
|
|
= 100 — [Ф (2,34) 4- Ф (4,54)1100. |
|
||
= |
По |
таблице приложения 1 |
Ф (2,32) = 0,4900 ’и Ф |
(4,52) = |
|
0,4999. Следовательно, q = |
100 — (0,4900 + 4999)* 100 = 1%. |
||||
|
|
8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ |
МЕТОДЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ |
|
|
|
|
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ |
|
Основной задачей статистического метода регулирования тех нологических процессов является наблюдение за их устойчивостью с целью предупреждения возможных нарушений и устранения при чин этих нарушений путем соответствующего регулирования про цесса. Однако в результате предупреждения нарушения устой чивости процесса происходит одновременно и предупреждение появления брака.
В настоящее время статистические методы регулирования тех нологических процессов имеют много разновидностей. Рассмотрим две из них. Первую разновидность назовем методом средних и размахов, а вторую — методом медиан и крайних значений. В обоих методах для наблюдений за процессом используются точечные диаграммы.
Метод средних и размахов. В этом методе наблюдение за ходом технологического процесса производится с помощью средних ариф метических и размахов малых выборок, отбираемых из текущей продукции станка. Сущность метода заключается в следующем. Предварительно строятся две диаграммы. Одна_из диаграмм слу
жит для наблюдений за средними значениями X выборок, а дру гая для наблюдений за размахами R выборок. По оси ординат диаграммы наносится шкала измерительного инструмента в пре делах допуска на контролируемый размер детали, а по оси абсцисс указывается время взятия выборок или номера выборок, если они берутся через одинаковые промежутки времени. Затем на диаграмме для средних наносятся две горизонтальные линии Вти Нт(рис. 42), соответствующие верхнему и нижнему предельным отклонениям размера детали по чертежу от его номинального значения. Ин тервал между этими линиями, называемыми линиями верхнего и нижнего технического предела, будет равен 26, т. е. допуску на контролируемый размер. Далее на эту же диаграмму наносятся еще две параллельные линии, которые называются линиями верх них к нижних контрольных пределов В- и Н-.
Ординаты этих линий на диаграмме вычисляются по форму лам, которые будут приведены ниже. Интервалы между контроль ными линиями определяют границы допустимых случайных коле-
баний значений средних выборок. На диаграмме размахов^ т#кже наносится одна горизонтальная линия, называемая линией верх него контрольного предела для размахов BR. Эта линия опре деляет границу допустимых случайных значений размахом вы
борок.
После подготовки диаграмм приступают к наблюдениям за процессом обработки деталей на данном станке. Через опреДелен-
Рис. 42. Схема контрольной карты |
Рис. 43. |
График расчета |
ординат В - |
Г р о ц е с Г Г Г о Г срРедГнУ„ЛхИР°„ВарНаИзЯ |
« Н~х |
" Р ° ~ - |
™ ько |
махов |
|
по рассеиванию |
станка малую выборку, обычно объемом в 5 шт. и измеряют каждую деталь выборки шкальным измерительным инструментом
с ценой деления его шкалы не более или допуска на кон
тролируемый размер. Затем вычисляют среднее арифметическое 1с
иразмах R выборки, которые и наносят в виде точек на диаграммы.
Внастоящее время разработан ряд конструкций приборов^ позволяющих механизировать процесс вычисления средних и раз-
махов, что значительно упрощает процедуру статистического ре гулирования процесса.
Если при наблюдениях за процессом точки на диаграммах средних размахов не выходят за пределы контрольных линий то значит процесс находится в устойчивом состоянии и, следовательно имеются все основания считать детали, изготовленные до момента взятия выборки, годными. Если при взятии очередной выборки
значение какой-либо ее характеристики л: или R выйдет за делы контрольных линий, то это будет предупреждением о появ'-
168
лении причин неслучайного характера, которые нарушают необ ходимую устойчивость процесса. Поэтому станок должен быть ос тановлен для отыскания и устранения причин неполадок. Обычно
выход за контрольные пределы х выборки свидетельствует о непо ладках в настройке инструмента на размер, а выход за контроль ный предел R — о неполадках в самом станке или в установочно зажимном приспособлении. Причиной этого может быть также уве личение твердости обрабатываемого материала или увеличение припуска на обработку.
После устранения неполадок станок пускается в работу, а все детали, изготовленные до этой выборки, подвергаются стопроцент ному контролю предельными калибрами.
При расчете ординат контрольных линий для средних и размахов выборок следует исходить из результатов, полученных при статанализе данной операции технологического процесса. При этом необходимо подчеркнуть, что без предварительного статистиче ского анализа процесса и без устранения выявленных недостатков процесса и его отладки внедрение статистического регулирования не имеет смысла. При неустойчивом и, следовательно, неотлаженном процессе статистическое регулирование сведется к беспрерыв ным остановкам станка и отысканию причин его неполадок.
Если в результате статистического анализа процесса было установлено, что он является стабильным как по рассеиванию, так и по положению центра рассеивания, то при расчете ординат контрольных линий можно использовать среднее квадратическое отклонение суммарного распределения, т. е. о. Если же процесс является стабильным только по рассеиванию и нестабильным по центру рассеивания, но технологически устойчивым во времени, при расчетах ординат используют среднее квадратическое откло нение мгновенного распределения, т. е. ом. Как а, так и ом опре деляются по результатам статистического анализа данного про цесса.
Для процессов IV типа точности, т. е. устойчивых по рассеи ванию и по центру рассеивания, а также для процессов I, II и III
типов ординаты контрольных линий для наблюдений за х и R выборок определяются по следующим формулам (см. рис. 42 и 43):
а) для наружной обработки
(248)
б) для внутренней обработки
В- = ВТ- А н - е ; ]
(249)
Нх = Нт+ е. |
J |
Значение е определяется по следующим формулам (см. рис. 42):
(250)
где ом — среднее квадратичное отклонение мгновенного распре деления, определяемое по результатам статистического анализа;
п — объем выборки.
Значения Д„ — погрешности настройки — определяются либо по результатам статанализа, либо принимаются равными 0,1 -26.
В основу вывода формул (248), (249), (250) положено предполо жение, что распределение мгновенной совокупности, из которой берутся выборки, подчиняется закону нормального распределения
с параметрами Х 0 и сг0. Поэтому средние арифметические выборок из этой совокупности тоже будут подчиняться закону нормального распределения, параметры которого X- и S- будут связаны с па
раметрами генеральной совокупности соотношениями
Х-х = Х 0 и =
V п
В основу определения ординат контрольных линий для диаг раммы размахов положено предположение, что параметры рас пределения размахов (R — среднее арифметическое размахов и oR — среднее квадратическое отклонение размахов) связаны с ме рой рассеивания ом мгновенного распределения соотношениями
R ~ dfiOjf! и он = Тпом,
где dn и Тп — коэффициенты, зависящие от объема выборки п. Значения dn были приведены на стр. 161, а значения Тп при
ведены ниже:
п |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Ю |
Т п |
0,864 |
0,848 |
0,833 |
0,820 |
0,808 |
0,797 |
С учетом изложенного предельные колебания случайных зна чений размахов будут определяться неравенством
R — Зс^ ^ R ^ R -f- За^.
Ha основании этого неравенства ординаты контрольных линий для размахов можно найти по формулам
В х= R 3Ох = dnoM+ 3Тпом= (dn + ЗТп) ом,
H x ^ R — За* = (dn— 3Тп) ом.
Если объем выборок п ^ 7, то HR имеет отрицательное зна чение. Но размах не может быть отрицательным, поэтому всегда принимают HR = 0.
Метод медиан и крайних значений. При использовании этого метода в качестве характеристик рассеивания значений наблю даемой величины используются медиана и крайние значения малых выборок, которые заменяют средние х и размахи R. Поэтому от падает необходимость в каких-либо вычислениях в процессе наб-
170