книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfТ а б л и ц а 4.1
Моменты инерции (кг-м2) тела человека (мужчина нормального телосложения Р = 70 кг, Н = 1,7 м)
4.6.Контрольные вопросы
1.Что называют моментом инерции твердого тела относитель но плоскости, оси и точки?
2.Как вычисляют момент инерции твердого тела относительно произвольной оси, проходящей или не проходящей через центр тяжести?
Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
Материал главы полезен для первоначального ознакомления с общими теоремами динамики и их повторения после изучения по собия. При компактном совместном изложении теорем легче уви деть их общность и различия. Рассматриваются теоремы только в дифференциальной форме, но это дает основу для их изучения и в конечной форме, что и делается в главах 6-11. В этих главах ка ждая теорема обсуждается в отдельности, причем выводы теорем, приведенные в главе 5, повторяются в более детальном изложении. Важное значение имеет изучение мер движения материальной точ ки и системы материальных точек, для которых и строятся общие теоремы динамики.
5.1. Меры движения материальной точки
Меры движения содержат достаточно полную |
информацию |
о движущейся материальной точке. К ним относятся |
масса точки и |
ее скорость. В истории механики известен период, когда шло сопер ничество между сторонниками векторного и скалярного описания движения. Одни доказывали преимущество векторной меры движе ния — количества движения ти, другие — скалярной, кинетической энергии тии2/2. Правы оказались обе стороны. Каждая теорема по зволяет решать определенный класс задач. Добавилась теорема еще об одной мере движения — моменте количества движения матери альной точки г х m\S. Рассмотрим эти меры движения.
Количество движения материальной точки т\5 равно произведе нию массы точки на ее скорость. Это векторная мера движения. Она,
как и скорость, направлена по |
|
|
||
касательной к траектории в сто- |
м |
тй________ т |
||
рону движения точки (рис. 5.1). |
^ — ' |
|
""сг |
|
Момент количества |
дви |
|
|
|
жения материальной |
точки |
|
|
Рис. 5.1 |
относительно центра г хт и равен век торному произведению радиуса-векто ра точки, проведенного из этого цен тра, на количество движения (рис. 5.2). Это также векторная мера движения, направление и модуль которой нахо дятся по правилу векторного произве дения.
Кинетическая энергия материаль ной точки т о 2/2 равна половине произ
ведения массы точки на квадрат ее скорости. Она является скалярной неотрицательной мерой движения.
5.2.Общие теоремы динамики точки
Вобщих теоремах устанавливается связь между изменением мер движения материальной точки и силой, к ней приложенной.
Воснове вывода теорем находится II закон Ньютона, который запи шем в дифференциальной форме:
d\5 |
= F. |
(5.1) |
т— |
Л
Преобразуем это уравнение к такому виду, чтобы в левой части стояла производная по времени от меры движения. Тогда в правой части будет ейла или какая-либо характеристика ее действия:
|
|
(5.2) |
— (г х /по ) = г х F, |
(5.3) |
|
d tK |
' |
|
d_ /по |
= F o , |
(5.4) |
|
dt
где г х F — момент силы относительно центра, F • о — мощность силы. Это и есть общие теоремы динамики точки в дифференциаль ной форме. Покажем их вывод из II закона Ньютона.
Уравнение (5.2) получается из (5.1) внесением массы т как кон станты под знак производной.
Докажем справедливость уравнением (5.3). Левую и правую части (5.1) векторно умножим на радиус-вектор г слева:
|
|
dv |
_ |
- |
(5.5) |
|
г х т — |
= r x F . |
|||
|
|
dt |
|
|
|
Левая часть (5.5) является 2-м слагаемым производной от мо |
|||||
мента количества движения: |
|
|
|
|
|
d |
_ ч |
dr |
_ |
_ d , |
_ ч |
— ( г х т и ) = — хоти + г х — (то), |
|||||
dty |
' |
dt |
|
dtK |
> |
а первое слагаемое обращается в нуль как векторное произведение параллельных векторов и = dr/dt и т о . В результате имеем
dv |
d /_ |
_ч |
(5.6) |
г х т— |
= — (г х т о ). |
||
dt |
d tK |
' |
|
Из (5.5) и (5.6) следует теорема (5.3).
Приведем доказательство теоремы (5.4). Левую и правую части
(5.1) скалярно умножим на вектор скорости. |
|
||
|
mo |
— = F и. |
(5.7) |
|
|
dt |
|
Уравнение (5.7) совпадает с (5.4), так как в соответствии с пра |
|||
вилом дифференцирования сложной функции |
|
||
|
( —2 / |
|
|
d_ |
mo |
' |
|
|
(01 _ |
|
|
dt |
|
= mv • |
|
|
dt |
|
В общих теоремах динамики (5.2)-(5.4) — теоремах о количе стве движения (5.2), моменте количества движения (5.3) и кинети ческой энергии (5.4) — в левых частях стоят производные по време ни от мер движения точки, определяющие быстроту их изменения со временем, а в правых частях соответственно — cnnaF, момент силы относительно центра г x F и мощность силыF • о.
Таким образом, общие теоремы имеют одинаковую структуру:
— (мера движения) = (характеристика действия силы), (5.8)
dt
отличаясь мерами движения и характеристиками действия силы. Их смысл такой же, как и II закона Ньютона. Они устанавливают связь между движением точки и силой, к ней приложенной.
5.3. Общие теоремы динамики системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери альных точек. Произвольная точка системы Акхарактеризуется мас сой тк, скоростью о* и радиусом-вектором гк (рис. 5.3). На точку действует сила Fk = Fk + Fk , где Fk внешняя, a Fk внутренняя си лы для данной механической системы.
Запишем теоремы (5.2)-(5.4) для к-й точки системы:
d (mkx5k) = Fke + Fk‘, |
(5.9) |
dt |
|
— (rk xm kv k) = rk xF k +rk xF k , |
(5.10) |
d_ mko* |
(5.11) |
— ■и к + FJ • и*, |
dt
к = 1, n.
Каждое из уравнений (5.9)-(5.11) просуммируем по всем точ кам системы. С учетом свойств (4.1) и (4.2) внутренних сил, осно ванных на III законе Ньютона, и после некоторых преобразований и обозначений получим общие теоремы динамики системы в
дифференциальной форме:
^ |
(5.12) |
^ |
к= 1 |
И Т |
п |
п |
Рис. 5.3 |
*=1 |
к = \ |
ш |
куда вошли меры движения системы: |
|
|
- количество движения системы |
|
|
_ |
п |
|
<2 = '52ткйк, |
(5.15) |
к= \
-кинетический момент системы относительно центра
_ |
п |
|
K 0 = Y ,n x m kv t , |
(5.16) |
|
|
к=1 |
|
- кинетическая энергия системы
T = t mf ; *=1 ^
характеристики действия сил:
- момент внешней силы относительно центра
то (Д е) = h xFk)
- мощность внешней и внутренней сил
Л" II |
С| |
N k‘ = F {- и*.
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Структура общих теорем динамики системы (5.12)—(5.14) сов падает со структурой теорем для точки (5.8).
В левых частях теорем стоят производные от суммарных мер движения: количества движения системы Q, кинетического момента К 0 к кинетической энергии системы Т. В правых частях — суммар ные характеристики действия сил на систему: главный вектор внеш них сил в теореме о количестве движения системы (5.12), главный момент внешних сил относительно центра в теореме о кинетическом моменте системы (5.13) и суммарная мощность внешних и внутрен них сил в теореме о кинетической энергии системы (5.14).
Отметим, что в теоремах (5.12), (5.13) в правые части входят только внешние силы. Внутренние силы на изменение количества движения системы Q и кинетического момента К 0 явно не влияют. В (5.14) входят и внутренние силы, однако существуют частные ви
ды систем, для которых теорема о кинетической энергии также уп рощается.
Взаключение повторим схему вывода общих теорем динамики: II закон Ньютона => общие теоремы динамики точки => общие тео ремы динамики системы. На последнем этапе вывода используется также П1 закон Ньютона.
5.4.Контрольные вопросы
1.Сформулировать общие теоремы динамики точки (5.2)-(5.4).
2.Сформулировать общие теоремы динамики системы (5.12Н5.14).
Глава 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Количество движения материальной точки и системы матери альных точек были рассмотрены в предыдущей главе. Повторим и обсудим подробнее эти понятия.
Количеством движения материальной точки называется вели чина, равная т\5 — произведению массы точки на ее скорость. На рис. 6.1 изображена траектория (L) материальной точки М Вектор количества движения т о , как и
вектор скорости о, направлен по |
|
касательной к траектории Мх |
|
в сторону движения точки. Его |
|
модуль равен т о — произведе |
|
нию массы точки на модуль ее |
Рис. 6.1 |
скорости. |
|
Рассмотрим механическую |
|
систему, состоящую из п материальных точек. |
|
Количество движения системы есть величина, равная геомет рической сумме количеств движения всех материальных точек сис
темы: |
|
Q = £ > * й » . |
(6-1) |
Количество движения Q как векторную величину можно опре делить по его проекциям на оси прямоугольной декартовой систе мы координат:
п
Qx = J 2 mkVb’ к=1
Qy = 'Z ,mk»ky, |
(6.2) |
n
Qi = X ] m*Ufa-
Модуль вектора
Q = *\JQX + Q y2 + Q z , |
(6.3) |
а направляющие косинусы определяются формулами:
cosa = QX/Q, cosp = Qy/Q, cosy = QZ/Q* |
(6.4) |
6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
Положение центра масс системы определяется его радиу сом-вектором (4.5).
Умножая обе части равенства на М и дифференцируя по време ни, получим
л |
(6.5) |
МЪС= |
|
к= 1 |
|
Из (6.1) и (6.5) следует, что |
|
Q = m c. |
(6.6) |
Количество движения системы равно ее массе, умноженной на скорость движения центра масс.
6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
Оценить количество движения человека массой М = 70 кг, иду щего со скоростью и = 5,4 км/ч (рис. 6.2).