![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfнормированным. Если для этого базиса фундаментальная матрица
выбрана так, что gy. = et |
для всех i */, то базис |
называют ортогональным |
(из аксиомы *вя следует |*.|фО д л я любого |
базисного вектора, откуда cos(el,eJ) = 0). Если же gtj =5.. для всех г иj, то
базис называют ортонормироваиным. |
|
||
Пусть базис |
et, i=l,...,n |
ортонормирован. Тогда |
VJC е £ л |
W =(*'5yxJ) 1'2 = ('£ (xiУ / /2 Из |
предыдущего раздела следует, что |
данная функция представляет собой норму, совпадающую с нормой в сопряженном пространстве (£* в данном случае). Другими словами, пространства £„ и £* изометрически изоморфны, то есть эквивалентны как нормированные пространства.
Можно показать, что £„ и £ ’ эквивалентны и как евклидовы пространства. Зафиксируем ортонормированный базис еп i=I....л в £„ и
определим ортонормированный базис е‘, / = /,....л |
(1.10) в сопряженном |
|||||
пространстве |
£>'. |
Рассмотрим |
отображение-изоморфизм |
|||
£* э и = и,е‘ |
= и е £ л. |
Согласно |
ему |
в |
£* |
найдется |
|
у |
|
|
|
|
|
х = '^TxJeJ <-> х'е, =* х е £ и. Легко показать, что значение линейной формы
у
и на элементе х в точности равно значению линейной формы х на элементе u: и х = utx! = и -JC. С другой стороны,этому же значению равны
скалярные произведения элементов |
х,и е£п и х,ие£*: |
х • u = x‘ui =х- и |
|
(для ортонормированных базисов |
et ej =е' -eJ = 5 /) . |
Таким |
образом |
нашлось линейное и взаимно однозначное отображение £ ’ |
на 8П с |
сохранением скалярного произведения, то есть изоморфизм евклидовых пространств. Итак, мы доказали, что конечномерные евклидовы пространства изоморфны. По существу показано, что в самом исходном евклидовом пространстве £п имеются линейные формы, которые действуют на элементы этого же пространства при помощи операции
скалярного произведения. По этой причине |
можно отождествить с £■„, |
и далее мы не будем различать эти пространства. |
|
В частности, базис е \ i = l.... л в |
сопряженном пространстве, |
вводимый согласно (10), найдется в исходном пространстве £я. Такой
базис е‘ определяемый с помощью исходного основного базиса
е, е £ п согласно
( 1.20)
называется |
сопряженным (взаимным). |
Заметим, что ни базис |
Cj, 1 = Л....л, |
ни базис e ',i = l....п в общем |
случае не ортонормированы |
(хотя при доказательстве изоморфности было удобно воспользоваться такими базисами). Компоненты разложения вектора по взаимному базису называются коварнантными.
Обозначим g* — компоненты разложения элементов сопряженного
базиса по основному |
|
e‘ =g*et . |
(1.21) |
Подставляя (1.21) в (1.20), получим |
е‘ *е} = gtkek • е, , откуда |
g ' 4 = 6,,> |
(1.22) |
g есть матрица, обратная фундаментальной. Домножив обе части (1.21) на gjtt получим
(1.23) то есть gJt — компоненты разложения основного базиса по взаимному.
В £я существует (и притом не один) такой базис, сопряженный с которым с ним совпадает. Действительно, пусть а е £ п — исходный
ортонормированный базис, то есть а, -ву = б (у. Очевидно (см. (1.20)), этот базис и будет искомым базисом, сопряженным самому себе. Если в качестве исходного (основного) мы выбрали бы базис e \ i - l .... п и матрицу g в качестве фундаментальной матрицы, то векторы е,, i=l....п
(1.20) выступили бы в качестве взаимного базиса, а матрица gfJ — в
качестве фундаментальной матрицы для этого базиса. |
|
Рассмотрим |
|
х =х‘ег |
(1.24) |
Умножим скалярно обе части этого равенства на eJ x |
eJ = x e t -eJ = x J, |
откуда |
|
xJ = x e J. |
(1.25) |
Аналогично, рассматривая |
|
* = |
(1.26) |
легко получить |
|
х; =дг.*; . |
(1.27) |
Соотношения (1.25),(1.27), называемые формулами Гиббса, позволяют находить контравариантные и ковариантные компоненты вектора с помощью скалярного умножения, а не из решения системы линейных уравнений (1.24) или (1.26), как в “чисто” линейном (то есть без скалярного умножения) пространстве, что, конечно, удобнее. Комбинируя последние четыре уравнения, получим следующие представления вектора:
х = х • г' e.t, x = x- ei el |
(1.28) |
В п. 1,8 подобные соотношения уже применялись для сопряженных пространств.
Ко/контравариантные компоненты можно найти в геометрических терминах. С помощью ортогональных (прямоугольных) проекций на соответствующие элементы основного или сопряженного базисов (рис. 1.1) компоненты произвольного вектора находятся согласно формулам
ж, =1е| IПр,( Jf =|е, || cosfeltx).
Спомощью косоугольных проекций (рис. 1.1) имеют место формулы
,_ Р у
(1.30)
* = \е,\ ‘ Х‘ ” \е‘\ ■
Можно заметить, что косоугольные проекции соответствуют формулам (1.24), (1.26), а прямоугольные проекции — формулам Гиббса (1.25), (1.27). Из геометрических представлений следует, что для ортонормированного базиса косоугольные и прямоугольные проекции совпадают.
Рис. 1.1. Прямоугольные и косоугольные проекции
на векторы основного и взаимного базисов
Остановимся на выводе законов преобразования компонент вектора при замене взаимного базиса. Пусть, как и ранее, имеются две системы базисных векторов основного базиса, связанные законом е' = ау ,е1. Представим векторы базиса, сопряженного к е ', разложением по векторам
![](/html/65386/197/html_0G9DXrAW2_.c1B6/htmlconvd-u1Smaf24x1.jpg)
2. ТЕНЗОРЫ НАД ВЕКТОРНЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
В определении линейного пространства не фигурировало понятие базиса. Оно было введено при исследовании общих свойств линейного пространства: для n-мерного векторного пространства базис есть система п линейно независимых векторов этого пространства. В векторном пространстве существует естественная зависимость представления вектора компонентами разложения по базису от выбора этого базиса, поэтому при построении на основе линейных пространств более сложных алгебраических структур необходимо иметь это в виду. Примеры функций, зависящих от выбора базиса, были приведены в конце п. 1.5 и в п.1.7 (отображение (1.10)), не зависящих от выбора базиса — модуль вектора (1.18), угол между двумя векторами (1.19). Далее мы рассмотрим операцию тензорного умножения, в определении которой требуется независимость от выбора базиса в исходном линейном пространстве.
2.1. Тензорное умножение
Пусть даны какие-либо два векторных пространства Х,Х (внизу —
номер пространства). Пусть по-прежнему Х х Х — прямое (декартово)
произведение, то есть множество всех упорядоченных пар (х ,х ),
х&Х, х , dim(-) — число, размерность пространства.
Тензорным (днадным) умножением векторов из X на векторы из
X называется закон, сопоставляющий каждой паре ( х . х ) е Х х Х вектор
х®х некоторого (dim^t )(dim% )-мерного векторного пространства Х®Х,
причем так, что (х,х)-*х® х — не зависящее от выбора базисов
в %,% (каноническое) и билинейное отображение, множество значений
которого порождает Х®Х.
Пространство Х&Х называется тензорным произведением
пространств X и X, векторы из Х&Х — тензорами над Х,Х (или над X ,
если X — это и X, и X ), или просто тензорами, когда ясно, элементами
тензорного произведения каких и в каком порядке взятых векторных
пространств являются эти тензоры. Заметим, что хотя Х&Х и Х®Х
изоморфны как векторные пространства (почему?), их имеет смысл не отождествлять. Далее будет показано, что в множестве тензоров может быть определена алгебраическая операция умножения, не являющаяся коммутативной, и вместе с ней алгебраические структуры %%% и %®Х
уже не будут изоморфными.
Здесь не будет лишним подчеркнуть различие между декартовым и тензорным произведениями. Элементы первого — упорядоченные пары векторов из соответствующих линейных пространств, последнего — векторы одного пространства. Это тензорное d im ^ d im ^ -мерное
пространство %®% образуется билинейным и каноническим отображением из декартова произведения X и %.
Для любых векторных пространств X и % над полем
действительных чисел их тензорное произведение существует и определено с точностью до канонического изоморфизма векторных пространств.
Существование Х®% доказывают далее рассмотренные примеры.
Пусть теперь Х®% и %®% — пространства, каждое из которых обладает
всеми свойствами тензорного произведения X на X. Канонические
отображения (х,х)-> х® хеХ ® Х |
и |
(х,х)-> х® х е Х ®Х порождают |
отображение Я из Х®% в %®Х9 |
Я : |
х® х-> х® х. В силу линейности |
пространств %®Х, %®% и условия dimX®X=dimX®% отображение Я естественным образом расширяется до отображения Х® Х на Х&Х, для
этого достаточно каждой линейной комбинации векторов из области определения Я сопоставить такую же линейную комбинацию их образов:
л(х9 х )+ Р(у»у)— У-+а(хвх)+ MyvyJ. |
(2.1) |
|||
1 2 |
, 2 |
1 ~ 2 |
I ' 2 |
|
Отображение (2.1) — линейное, обратимое (взаимно однозначное), не связано с выбором базисов и потому есть канонический изоморфизм. Доказательство утверждения завершено.
Элемент х®дг, порожденный упорядоченной парой (х,х) е'ХхХ,
называется диадой. Элемент тензорного пространства — линейная комбинация диад, называется диаднком. Знак диадного произведения в записи диадика или диады обычно опускается (например, в последнем случае вместо х® х пишут х х ).
пространства, оно может служить сомножителем в тензорных
произведениях. |
Для любых |
векторных пространств X, X, |
X из |
упорядоченности |
Х х Х х Х и |
непосредственно проверяемого |
свойства |
dim(X® X) ® X = dim#® (X® X) =dim#® X® X =dim„t dim# dim# |
следует |
||
(Х®Х)®Х = Х®(Х®Х)> то |
есть диадное произведение ассоциативно |
||
(скобки можно опускать). Элементы множества X® X® X есть линейные |
комбинации триад х х х . По данному образцу можно построить тензоры и
над большим числом линейных пространств; элементами таких тензорных пространств будут являться линейные комбинации полиад.
Поле действительных чисел является в частности одномерным векторным пространством, поэтому определено тензорное произведение Я®Х. Однако отображение по правилу а®лг->алг, a e f t , x e X представляет собой канонический изоморфизм пространства Я®Х на X, поэтому Я® X t равно как и X ® Я , можно отождествить с X .
Далее в качестве сомножителей тензорного произведения будут в основном использоваться одинаковые n-мерные векторные пространства. Количество сомножителей в диадном произведении пространств называется рангом элемента тензорного пространства. Далее будем обозначать Хп®Хя =Х2п, %а®Хп®Хп=Х3 и т. д. Чаще других будут рассматриваться тензоры И ранга над трехмерным векторным Пространством, то есть элементы # л.
Упорядоченный набор компонент тензора произвольного ранга назовем дистрибутивом компонент. Для тензора второго ранга такой дистрибутив, конечно, называется матрицей. Сформулируем очевидный “компонентный” критерий равенства двух тензоров: два тензора, принадлежащие одному тензорному пространству, равны, когда равны их
дистрибутивы компонент в фиксированном базисе. |
|
|
2.2. Примеры тензорных произведений |
|
|
Поскольку евклидово |
конечномерное пространство £ л |
сопряжено |
с самим собой, его удобно |
принять в качестве исходного |
векторного |
пространства для построения тензорных пространств. Евклидовость исходного векторного пространства во всех рассматриваемых ниже примерах не является необходимым требованием.
![](/html/65386/197/html_0G9DXrAW2_.c1B6/htmlconvd-u1Smaf28x1.jpg)
Таким образом при желании тензорное произведение можно конкретизировать, отождествив тензор uv для каждой пары (u,v) е€ п х ё л с билинейной формой (2.2) или линейным оператором (2.3). На основании предложения, доказанного в предыдущем разделе, получающиеся таким образом два вполне конкретных для конкретных исходных пространств векторные пространства канонически изоморфны друг другу, равно как и любой другой, удовлетворяющей всем нужным требованиям модели произведения £л ® £л.
23, Закон преобразования компонент тензора при замене базиса
Операция тензорного произведения порождает из €■„ пространства
£ ®£
(2.4)
£п® £ я ® £я ® £ я
Задание базиса е, в исходном пространстве £„ определяет базисы каждого элемента “лестницы” тензорных произведений (2.4)
(2.5)
(индексы ij,к,1 — свободные и изменяются от 1 до гг). Соответственно преобразование базиса е, исходного пространства £я (в общем случае согласно закону (1.2)) должно определять преобразование базисных элементов (2.5). Поскольку любому (основному) базису et в £л ставится в
соответствие единственный взаимный (сопряженный) базис eJ в
вместе с “лестницей” базисов (2.5) задание е, |
в £л определяет следующий |
набор базисов: |
|
у#е'е, е£„ ®£„ |
|
е(е ^ к ,e‘eJek ,eteJek ,е'е^к ,e‘eJek Ъе'ъ}ек ,e,eJek ,е ^ е к е £ п ® £я ® £я |
|
|
(2.6) |
Пусть дан тензор второго ранга, представляемый разложением |
|
T=TlJe'eJ. Замена базиса (1.2), (1.30) влечет замену диадного базиса |
|
; = V ® / « 4 |
(2.7) |
(использована полилинейность тензорного произведения). Поскольку Т с
равным правом разлагается по |
старому |
и |
новому |
базисам, |
Т ш Тк ,eket = Т' je,,e,J, из последнего |
равенства |
и |
(2.7), |
используя |
линейную независимость диад еке1(или скалярное умножение), получаем
Т у =al kb! JTkl |
(2.8) |
По приведенной схеме можно вывести формулы преобразования компонент тензоров любого ранга в любых базисах (2.6).
Компоненты T# тензора Г II ранга называются ковариантными, TiJ
—контравариантными, TtJtT s — смешанными (ко/коктравариантными и
контра/ковариантными соответственно), смысл такого наименования объясняется законом преобразования матрицы компонент тензора и аналогичен сходным наименованиям для компонент вектора.
Закон преобразования компонент тензоров лежит в основе компонентного определения тензора, приводимого в большинстве руководств. Например, тензор II ранга есть некоторый объект, характеризуемый матрицей пхп компонент (действительных чисел), отнесенной к некоторому базису, которые при замене базиса преобразуются по одному из законов:
т;‘
Т " =bl ‘bl JTil,
r ' j - K 1 / Л .
По образцу данного определения можно ввести компонентные определения тензоров произвольного ранга. Можно показать, что объекты, задаваемые с помощью тензорного произведения и с помощью вышеприведенного определения, эквивалентны. Однако бескомпонентный подход, принятый в настоящем пособии, позволяет установить многие свойства тензоров без использования разложения по базису, алгебраически.
Тензор II ранга (здесь — над £ ,) удобно представлять в виде
диадика |
T = T netel л-Тпе1е2 +Т,3е,е3 + T2le2el+...+T33eJeJ или |
в виде |
матрицы |
компонент разложения в каком-либо известном |
базисе, |
например,
ipil |
jpl2 |
>р/3~ |
[ Г ] = j 2 l |
j2 2 |
j2 2 |
j i i |
j-12 |
rp33 |