![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Физика для бакалавра. Ч. 2
.pdf22. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Рассматриваемые вопросы. Волновое уравнение. Плоские
исферические электромагнитные волны. Правая тройка векторов Е, В, v. Поляризация волн.
Электромагнитными волнами называется процесс распространения колебаний векторов напряженностей электрического
имагнитного полей в пространстве.
Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине 1ε0μ0. Ее числовое значе-
ние почти совпало со скоростью света в вакууме, равной 3,15·108 м/с (А. Физо, 1849). Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Т. Юнг, 1817). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.
22.1. Волновое уравнение
Уравнения Максвелла [(21.9), (21.10) и (21.12)] для вакуума при отсутствии токов (j = 0) и зарядов (ρ = 0) имеют следующий
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ B |
|
|
|
Edl |
= − |
∂t |
; |
(22.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ D |
|
|
|
H dl |
= − |
∂t |
; |
(22.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Eds = 0; |
|
(22.3) |
||
|
|
|
|
|
111 |
![](/html/65386/197/html_DnPMaLH9YN.9OSM/htmlconvd-xGzsO6112x1.jpg)
|
|
|
|
|
Bds = 0; |
|
(22.4) |
||
|
|
|
|
|
D = ε0 Е; |
В = μ0 H , |
(22.5) |
где ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные.
Уравнение (22.1) показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение (22.2) представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение (22.3) выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение (22.4) постулирует отсутствие магнитных зарядов. После некоторых преобразований уравнений (22.1)–(22.5) получим уравнение
B − 1 ∂2 B = 0, (22.6) c2 ∂t2
здесь – оператор Лапласа, в декартовых координатах
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
; |
(22.7) |
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||
|
|
|
|
|
с – скорость света в вакууме, c = |
1 |
. |
|
|
ε0μ0 |
|
|||
Аналогично получим уравнение для |
||||
E: |
E − 1 ∂2 E = 0. (22.8) c2 ∂t2
Уравнения (22.6) и (22.8) называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.
112
22.2. Плоские электромагнитные волны
Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Вα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например z, и времени, т.е. Ф = Ф(z, t). Тогда уравнение (22.8) упростится и примет вид
∂2Ф |
− |
1 ∂2Ф |
= 0. |
(22.9) |
||
|
|
|
||||
∂z2 |
c2 ∂t2 |
|||||
|
|
|
||||
Уравнению (22.9) удовлетворяет функция вида |
|
|||||
Ф = Ф1(t – z/с) + Ф2(t + z/с), |
(22.10) |
где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.
Формула (22.10) выражает общее решение уравнения (22.9). Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси z. Скорости обеих волн одинаковы и равны с. Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени t1 в точке z1, в момент t2 приходит в точку z2, определяемую соотношением t1 – z1/c = t2 – z2/c. Отсюда при t2 > t1 имеем z2 > z1, и скорость распространения волнового возмущения
v = |
(z2 |
− z1 ) |
= c. |
(22.11) |
(t2 |
− t1 ) |
Функции Ф1 = Ф1(z, t) и Ф2 = Ф2(z, t) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.
На рис. 22.1 приведена «моментальная фотография» плоской электромагнитной волны.
113
![](/html/65386/197/html_DnPMaLH9YN.9OSM/htmlconvd-xGzsO6114x1.jpg)
|
|
y |
х |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Рис. 22.1 |
|
|
Как видно из рисунка, векторы электрического |
|
||
|
E, магнит- |
|||
ного |
|
полей с вектором скорости ν распространения элек- |
||
H |
тромагнитной волны в пространстве образуют правовинтовую систему.
22.3. Сферические электромагнитные волны
Нетрудно убедиться, что уравнениям (22.6) и (22.8) удовлетворяют и волны вида Eα = Eα (t,r ), Hα = Hα (t,r ), в которых напряженности полей зависят только от одной пространствен-
ной переменной – модуля радиус-вектора r = x2 + y2 + z2 . Та-
киеволныназываютсферическимиэлектромагнитнымиволнами. Рассмотрим скалярное волновое уравнение
ΔΦ − 1 ∂2Φ = 0 c ∂t2
и будем искать его решение вида Ф = Ф(t, r). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид
ΔΦ − 1r ∂∂r22 (rΦ ).
114
![](/html/65386/197/html_DnPMaLH9YN.9OSM/htmlconvd-xGzsO6115x1.jpg)
Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом:
1 ∂2 |
1 ∂2Φ |
|
|
(rΦ ) = c ∂t2 . |
|
r |
∂r2 |
Введем вспомогательную функцию F = rФ. Тогда последнее уравнение преобразуется к виду
∂2 F = 1 ∂2 F ,
∂r2 c ∂t2
следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях:
F(r, t) = F1(t – r/c) + F2(t + r/c).
Возвращаясь к искомой функции Ф, получим
Φ (r,t ) = |
F1(t − r c) |
+ |
F 2(t − r c) |
. |
(22.12) |
r |
|
||||
|
|
r |
|
Выражение (22.12) описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т.е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется расходящейся. Второе слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения значения r, т.е. к центру. Такая волна называется сходящейся. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным.
22.4. Поляризация электромагнитных волн
Волны, у которых направления электрического (E ) и маг-
нитного (H ) полей сохраняются неизменными в пространстве
или изменяются по определенному закону, называются поляризованными. За направление поляризации принято считать на-
правление электрического поля E волны. Строго монохромати-
115
ческое излучение всегда поляризовано. У излучения, состоящего
из волн различной длины, направление колебаний вектора E результирующей волны может изменяться либо упорядоченно,
либо хаотически. Излучение, у которого направление вектора E изменяется хаотически, называется неполяризованным (примером может служить естественный свет). Часто используют понятие плоскости поляризации, т.е. плоскости, перпендикулярной
направлению колебаний вектора E.
Для поляризованного излучения различают: линейную по-
ляризацию, при которой вектор электрического поля E сохра-
няет свое направление в пространстве; круговую, когда вектор E вращается вокруг направления распространения волны с угловой скоростью, равной угловой частоте волны, и сохраняет при этом свою абсолютную величину; эллиптическую, если вращение вектора электрического поля подобно вращению при круговой поляризации, но величина вектора меняется так, что его конец описывает эллипс. Эллиптическая и круговая поляризация
может быть правой (вектор E вращается по часовой стрелке, если смотреть навстречу распространяющейся волне) и левой (при вращении в противоположную сторону).
Электромагнитная волна может быть также частично поляризованной. Частичная поляризация количественно характеризуется степенью поляризации, которая для волн с частичной линейной поляризацией. определяется как
Р = (Iмакс – Iмин)/(Iмакс + Iмин),
где Iмакс и Iмин – наибольшая и наименьшая плотности потока электромагнитной энергии через анализатор (поляроид, призму Николя и т.п.).
Выше на основе уравнений Максвелла было показано, что
в бегущей плоской электромагнитной волне векторы E и H в каждой точке, и в каждый момент времени образуют c вектором скорости v правую тройку векторов. В этом заключается свойство поперечности электромагнитных волн. Выберем ось Oz
116
системы координат вдоль вектором скорости v. Тогда у векторов
E и H могут быть отличны от нуля только проекции на оси Ox и Oy. Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение,
когда у вектора E во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например Ex(z, t). Вследствие
упомянутого выше свойства поперечности, у вектора H будет отлична от нуля только проекция на ось Оy, т.е. Нy(z, t). Мгновенный
«снимок» такой волны, показывающий векторы E и H в разных точкахосиОz водинмоментвремениприведеннарис. 22.1.
В таком случае говорят, что волна имеет линейную, или плоскую, поляризацию. В плоскости, перпендикулярной направ-
лению распространения, концы векторов E и H за период описывают две взаимно перпендикулярные линии, длина которых определяется удвоенной амплитудой соответственно электрической и магнитной составляющих поля. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности электрического поля волны и вектор скорости v, называют плоскостью поляризации или плоско-
стью колебаний. Чтобы представить себе изменения электрического и магнитного полей с течением времени, можно считать, что вся система векторов на рис. 22.1 движется как целое вдоль оси Оz со скоростью c.
Вопросы для самоконтроля
1.Что называется электромагнитными волнами?
2.Из каких соображений и экспериментов следует поперечность электромагнитных волн и световых волн?
3.Напишите волновое уравнение.
4.Какие электромагнитные волны называются плоскими ?
5.Приведите «моментальную фотографию» плоской электромагнитной волны
6.Какие волны называются сферическими электромагнитными волнами?
7.Какие волны называются поляризованными?
117
![](/html/65386/197/html_DnPMaLH9YN.9OSM/htmlconvd-xGzsO6118x1.jpg)
Раздел VI. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
23. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Рассматриваемые вопросы. Общие сведения. Принцип Гюйгенса. Законы отражения и преломления света с точки зрения волновой теории. Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга. Интерференция в тонких пленках. Многолучевая интерференция. Интерферометр Майкельсона.
23.1. Общие сведения
Оптика (греч. optike – зрительный) – учение о свете, раздел физики, в котором изучаются процессы распространения оптического излучения (света) и явления, наблюдаемые при взаимодействии света с веществом.
Оптика относится к таким наукам, первоначальные представления о которых возникли в глубокой древности. Так, Платон (430 г. до н.э.) установил законы прямолинейного распространения и отражения света, Аристотель (350 г. до н.э.) и Птолемей (70–147 гг. н.э.) изучали преломление света. Архимеду (287–212 гг. н.э.) приписывают сожжение неприятельского флота лучами солнечного света при помощи системы вогнутых зеркал.
Оптика всегда привлекала к себе самые светлые умы: Пифагора, Ньютона, Ломоносова, Максвелла, Планка, Бора, Эйнштейна, Лебедева и др.
На протяжении своей многовековой истории оптика занимала передовые позиции в естествознании и оказывала большое влияние на астрономию, физику, биологию и т.д.
Важнейшим вопросом в оптике с древних времен был вопрос о природе света. Что такое свет?
Согласно современным представлениям, свет – это слож-
ное явление, которое обладает двойственной корпускулярно-
118
волновой природой. В одних случаях свет представляет собой частицу (корпускулу), в других – волну. В данном разделе рассмотрены явления, в основе которых лежит волновая природа света (интерференция, дифракция, поляризация и поглощение).
Согласно теории Максвелла, свет – это электромагнитная волна, представляющая собой распространение в пространстве
колебаний векторов электрической и магнитной |
напряженно- |
|
стей (см. рис. 22.1): |
|
|
1. Векторы электрической напряженности E |
и магнитной |
|
напряженности H |
колеблются в взаимно перпендикулярных |
плоскостях.
2.Векторы E и H перпендикулярны направлению распространения электромагнитной волны. Значит, электромагнитная волна поперечная.
3.Установлено, что электромагнитная волна распространяется в любой среде с очень большой скоростью, а в вакууме
спредельной скоростью, равной 3 108 м/с, т.е. фаза электро-
магнитной волны изменяется со скоростью 3 108 м/с.
Таким образом, с точки зрения волновой теории свет представляет собой быстропеременную поперечную электромагнитную волну.
Основные законы оптики известны с древних веков. К ним относятся:
1.Закон прямолинейного распространения света.
2.Законы отражения и преломления света.
3.Интерференция и дифракция света.
4.Поглощение и отражение света.
5.Излучение света.
119
![](/html/65386/197/html_DnPMaLH9YN.9OSM/htmlconvd-xGzsO6120x1.jpg)
23.2.Принцип Гюйгенса. Законы отражения
ипреломления света с точки зрения волновой теории
Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса, который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + t по известному положению фронта в момент вре-
|
мени t. Согласно принципу Гюй- |
||
|
генса каждая точка, до которой |
||
|
доходит |
волновое |
движение, |
|
служит центром вторичных волн; |
||
|
огибающая этих волн дает поло- |
||
|
жение фронта волны в следую- |
||
|
щий момент времени (рис. 23.1); |
||
|
(среда предполагается неодно- |
||
Рис. 23.1 |
родной – скорость волны в ниж- |
||
|
ней части |
рисунка |
больше, чем |
в верхней). Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.
Принцип Гюйгенса позволяет анализировать распространение света и вывести законы отражения и преломления.
Закон отражения света. Выведем закон отражения света, исходя из принципа Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна (фронт волны – плоскость АВ), распространяющаяся вдоль направления I (рис. 23.2). Когда фронт волны достигнет отражающей поверхности в точке А, эта точка начнет излучать вторичную волну. Для прохождения волной расстояния ВС требуется время t = ВС/v. За это же время фронт вторичной волны достигает точек полусферы, радиус AD которой равен v t = BC. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC выте-
кает закон отражения: угол падения i |
равен углу отражения i′ : |
1 |
1 |
′ |
(23.1) |
i1 = i1. |
|
120 |
|