книги / Прикладная теория систем массового обслуживания
..pdfПусть 8(/,/я) - условная вероятность принять к обслуживанию по ступившую заявку при условии, что она требует для своего обслуживания т приборов, а в системе имеется / свободных приборов. Очевидно, 6(i,m) = 0 при / < т, так как число требуемых приборов больше имеюще гося числа свободных. Принятая заявка начинает обслуживаться одновре менно на всех т выделенных для нее приборах. Заявка, получившая отказ в обслуживании, теряется и в дальнейшем не рассматривается.
Качество функционирования системы может оцениваться различны ми показателями, например вероятностью потери заявки, т.е. необходимо выбрать такие значения управляющих параметров 0<8(i,iw)<l, которые минимизируют вероятность потери заявки:
Ш= п = Щ 1 - 60» ) = £g(m)M (l - 6 0 » ) ,
т=\
где П - вероятность потери заявки с математическим ожиданием стацио нарного распределения P(i) состояний процесса /(0; i(t) - число свободных в момент / приборов.
Если заявки не равнозначны в смысле их потери, то показатель эф фективности можно задать в виде:
Ь2(Ь)= £ g(m)A(m)M(1- 50, т)),
т=1
где А(т) - коэффициент, определяющий значимость номера заявки, тре бующей для своего обслуживания т приборов.
Если необходимо минимизировать время простоя приборов, то пока затель эффективности можно задать в виде
Ь3(8) = М '( 0 = Ъ р (0
/-о
Таким образом, показатель эффективности функционирования сис темы в общем виде можно определить как
т= M F № ) = Z g W A ^ (/,5 (/,m )),
т=\
где FW(/,8(Z,/H)) - величина издержек системы за единицу времени пребы вания в z-M состоянии и принятие к обслуживанию в этом состоянии заяв ки, требующей т приборов.
Для исследования математической модели СМО рассмотрим случай ный процесс i(t\ состояниями которого является число приборов СМО,
свободных в момент г. Этот процесс является марковским для любого за данного марковского уравнения 8(/,т).
В стационарном режиме вероятности Д /) = Д/(/) = i) удовлетворяют системе уравнений:
N\iP(0) = X I g(m)5(m,m)P(m) ;
т=\
N-i
X 'Zg(m)à(i,m) +(N - j)n P(i) = ^ Х^С^Ж* + m,m)P(i + m) + (5.15) _ m=l m=l
+ (N - i +1)цР(/ - 1)A. Zg(m)8(N,m)P(N) = рР(ЛГ -1), Я1=1
решение которой для заданного управления 8(/,/я) не представляет труда. P(N) = 5(./V) - некоторое заданное число, например 5(N) = 1, тогда из по следнего уравнения системы (5.15) найдем значение S(N - 1) для P(N - 1). Далее из второго уравнения системы (5.15) при i = N -1 определим S(N-2) для P (N - 2), а при / = 7V-2 найдем значение 5(N -3) и так далее до / = 1. При / = 1 определим значение 5(0) для ДО). Найденные значения 5(0), 5(1),
..., S(N) не противоречат первому уравнению системы (5.15), следователь но, являются решением этой системы.
Стационарное распределение вероятностей Д /) марковского процес са /(f) определяется следующим равенством:
P(i) = S { i ) / h ü ) , |
|
(5.16) |
|
j =о |
N |
|
|
|
|
|
|
так как для Д/) выполняется условие нормировки X ДО = 1 и вектор ДО), |
|||
Д 1),..., ДАО удовлетворяет системе (5.15). |
1=0 |
|
|
|
|
||
Зная распределение (5.16), легко найти значения показателя эффек |
|||
тивности функционирования системы при заданном |
управлении |
||
8 = {8(/,/я)}. |
|
|
|
Например, пусть |
|
т > i, |
|
fl, |
если |
(5.17) |
|
5 0 » = Л |
если |
. |
|
0, |
m>i. |
|
Если/У = 10,g(l) = 0,9; g(4) = 0,l и р = 1,то ^(6) = 0,213.
Заданное здесь уравнение (5.17) требует, чтобы принималась всякая заявка, для которой достаточно свободных приборов.
Функционирование управляемой СМО можно заметно улучшить, ес ли выбрать оптимальные значения для управления 5(/,/п). Как следует из
работы [11], для нахождения оптимальных значений 8(/,т) достаточно решить систему нелинейных уравнений вида:
|
|
N\il(0) +L =F(0) + N\il(l), |
|
|
(N - 1)ц/(/) + L= |
min |
| F (/)+ X£g(m)ô(i,m)[l(i - tri)-/(/)]}+ (N - 1)ц/(!+1), |
||
|
0S8((»S1 [ |
m=l |
J |
|
1 = |
min |
|
+ |
(5.18) |
(K8(/,m)Sl [ |
|
m=1 |
J |
где F(i) = X g(mWm 0. 80'.m)) ■
7W=1
Методом последовательных преобразований в пространстве страте гий [28] решение системы (5.18) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Зададим произвольное управление 8{8(1)(/,т)}, например, в виде (5.17) и решим СЛАУ.
N\LI(0) + L = F ( 0 ) + ,
( N - /)ц/(/) +L =F(i) + X 'Zg(m)5(i,m)[l(i-m) - /(/)] + (TV- i)[il(i +1), (5.19)
m=\
L = F(N) + X Is(m)ô(TV,m)[/(TV - m) - /(TV)], m=1
где ô(i,m) =5{l)(i9m).
Зная решение lP \ /(1)(/) этой системы, построим второе приближе
ние в пространстве стратегий 6(2)(z,m), значения которых минимизируют выражения
F(J) = X £ g(*w)8(i\m)[/(1)(/ - m) - /(1)(/)] - min. m=1
Так как
F0) = E g(m)Fm0. S(i, m)), m=1
то минимизация (5.19) - функции N переменных 8(i,l),8(/,2),...,8(/,w)- сво дится к минимизации N функций вида
Fm(/,8 (z» ) + XS(i,m)[lm (i - m) - /«(/)] |
(5.20) |
одной переменной 8(/,/w).
Там как во всех трех приведенных показателях эффективности - L,(8), Z,2(ô), Zo(ô) - величины 8(/,m) входят в функцию Fm(i9d(i,m)) линей но, то минимум выражения (5.20) достигается на границе интервала изме нения 0 < 8(/,т)< 1, т.е. второе приближение S(2)(/,/w) принимает либо 0,
либо 1.
Например, для критерия ^ (б ) второе приближение имеет вид
1, если х[/(1)(г» - / (,)(о]<Ж/я),
б{2\i,m ) =
0, если х[/(1)(/,/и) - / (1)(о ]> >4(т).
Подставляя б(2)(/,/и) в систему (5.18) и решая ее, определим 1(2),/(2)(/). Зная /(2)(/), найдем следующее приближение в пространстве стратегий.
В работе [И] показано, что последовательность монотон но убывает. Таким образом, алгоритм последовательных приближений в пространстве стратегий сходится. Как показывают результаты численных расчетов, достаточно 3-5 итераций для получения оптимального управле ния 8(|,/и) и нахождения минимального значения L(S).
Всистеме (5.19) число неизвестных /(0) ,..., l(N), L на единицу боль ше числа управлений, но /(/) определяется лишь с точностью до произ вольного слагаемого, поэтому одну из неизвестных /(/) можно выбирать произвольно, тогда число уравнений становится достаточным для нахож дения всех неизвестных. Но при численной реализации величину L удоб нее находить, используя решение системы (5.15).
Всамом деле, определив для заданного уравнения б(/,/я) величину L
иположив /(0) = 0, из первого уравнения (5.19) найдем /(1). Из второго
уравнения системы (5.19), положив / = 1, определим /(2), а при i = 2 найдем /(3) и так далее. При / = N - 1 найдем значение l(N). Полученное значение L, /(0),..., 1{N) не противоречит последнему уравнению системы (5.15), по этому является ее решением.
Так как решение системы (5.15) и (5.19) сведено к рекуррентным процедурам пересчета, то их размерность не может служить существенным ограничением для применения предлагаемого подхода к решению постав ленной задачи.
При тех же параметрах, что и ранее {N = 10, g(l) = 0,9, g(4) = 0,1 и
р = 1), оптимальное значение Zj(8) = 0,199, а выигрыш составляет 7 % по сравнению с неуправляемой системой.
Применяя указанную процедуру, можно уменьшить вероятность от каза заявки, несущественно усложняя процедуру функционирования СМО.
Поэтому, с точки зрения системных характеристик, системы с управлени ем являются более эффективными (и экономически, и качественно), чем системы без управления.
5.5. Примеры специальных СМО
Пример 5.4. Рассматривается функционирование большого аэро дрома с единственной взлетно-посадочной полосой (ВПП). В среднем за сутки взлетает 240 самолетов. При посадке самолет занимает ВПП в сред нем в течение 3 мин, а при взлете - 1,5 мин. Определить характеристики работы аэродрома в стационарном режиме.
Решение
Аэродром можно рассматривать как одноканальную систему с при оритетом. Самолету разрешается взлет с аэродрома в том случае, когда нет самолетов, идущих на посадку. Поток самолетов, идущих на посадку, можно рассматривать как поток заявок, обладающих приоритетом в ис пользовании ВПП. Характеристики такой системы с приоритетом следую щие:
Хх= Х2 = 240 сутки-1 =-мин К
6
Характеристика обслуживания:
р ,= -1м и н -1, ц2 = -2м ин ,
следовательно,
х, 1 Х2 1 а, = — = - , а 2 = — = -■
3 . |
Hi 2 |
М*2 4 |
выполняется. |
|
|
Условие ocj + а 2 = —< 1 |
|
Среднее число самолетов, ожидающих в воздухе, пока освободится
ВПП,
1 - ai 1-0,5
Среднее время пребывания самолета в воздухе перед посадкой
*тХ = \1 =\ 6= ЪМИН'
Среднее время, затрачиваемое самолетом на посадку,
fj = /оч1 + — = 3 + 3 = 6 мин .
Среднее время ожидания разрешения на взлет для самолета, находя щегося на аэродроме,
— г ^ — + о |
2— + 0,75 |
042 ц2 1 - а |
2 0,25 |
Среднее число самолетов, ожидающих на аэродроме разрешения на
взлет,
^2 = ^2^оч2 = Т ' 16,5 = 2,75.
Среднее время, проходящее от момента готовности самолета ко взлету до момента осуществления взлета,
h = ^оч2 + — = 16,5 + 1,5 = 18 мин. М-2
Среднее число самолетов, готовых к взлету, но находящихся на аэ родроме,
/2 =Х2Г =1.18 = 3.
Таким образом, видно, что несмотря на большое число посадок и вылетов за сутки (240) можно считать, что аэродром будет функциониро вать нормально: самолетам, идущим на посадку, не придется долго ждать в воздухе освобождения ВПП.
Пример 5.5. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обычный переговор прерывается. В сред нем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 на сроч ные. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вызова абонента в другом городе) составляет 5 минут. Определить характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.
Решение
Переговорный пункт можно рассматривать как одноканальную сис тему массового обслуживания с приоритетом. Ее характеристики следую щие:
60 |
1 |
|
-1 |
, |
180 |
1 |
|
|
— мин |
|
а 2 = --------= -мин |
|
|||||
<*!=-24-60 |
24 |
|
|
|
24-60 |
8 |
|
|
1 |
-1 |
а. |
= А± = 5_ |
CU - |
А*2 |
5 |
||
Pi = р2 = ~ мин |
|
|
“ 24’ |
Й2 |
8* |
|||
|
|
|
|
|
|
Условия наличия стационарного режима выполняются (а = а х+ а 2 =
Среднее число ожидающих срочного переговора
г, = ^ -£ * 0 ,0 5 .
1 —а,
Среднее время ожидания срочного переговора
'оч1 = 7 - = 1>2 м и н -
А.,
Среднее время ожидания обычного переговора
|
|
\12 |
а 1 |
|
- |
|
— |
--------- — + а |
|
= |
1 Щ 1 —0-1 |
= 32,9 мин. |
||
1оч2 |
---------р2 |
1 ------------ а |
||
|
|
|
Среднее число ожидающих обычного переговора
=^2*оч2 = 4,11 •
Среднее число людей, находящихся на переговорном пункте (за ис ключением обслуживающего персонала),
/ = /j + /2 = А*!?! + X2t2 = ^1(^оч1 + |
) + ^2(^оч2 + — ) w 4,2. |
Hi |
И2 |
Таким образом, видно, что приобретение за дополнительную плату права на срочный переговор сокращает время ожидания в очереди прибли зительно в 27 раз.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Цветков Э.И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. М.: Энергия, 1973. 128 с.
2.Крамер Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер,
М.Лидбеттер. М.: Мир, 1969. 398 с.
3.Сирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической стати стики (для технических приложений) / Н.В. Сирнов, И.В. Дунин-Барков- ский. М.: Наука, 1969. 512 с.
4.Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. 513 с.
5.Хинчин А.Я. Работы по теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. 217 с.
6.Лившиц Б.С. Теория телетрафика / Б.С. Лившиц, А.П. Пшенични ков, А.Д. Харкевич. М.: Связь, 1979. 224 с.
7.Бусленко Н.П. Метод статистических испытаний / Н.П. Бусленко, Ю.А. Шрайдер. М.: ГИФМЛ, 1961.256 с.
8.Гнеденко В.Б. Введение в теорию массового обслуживания / В.Б. Гнеденко, И.Н. Коваленко. М.: Машиностроение, 1969. 432 с.
9.Овчаров В.А. Прикладные задачи теории массового обслужива ния. М.: Наука, 1987. 324 с.
10.Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.
11.Южаков А.А. Стохастические сети в проектировании техниче ских систем: Учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 131 с.
12.Матушкин Н.Н. Мультипликативность распределения состояний замкнутой СМО при неоднородном входящем потоке / Н.Н. Матушкин, А.А. Назаров, А.А. Южаков // Информационные управляющие системы / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. С. 39-47.
13.Кофман А. Массовое обслуживание. Теория и приложения / А. Кофман, Р. Крюон. М.: Мир, 1965. 303 с.
14.Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания. М.: Сов. радио, 1971. 520 с.
15.Кендалл Д. Стохастические процессы, встречающиеся в теории очередей, и их анализ методом вложенных цепей Маркова // Математика. 1956. №6. С. 97-111.
16.Smith W.L. Renewal theory and its ramification // J. Roy Statist. Sos. Ser.B.1958, Vol. 20, № 2. P. 243-302.
17.Джейсуол H. Очереди с приоритетами. M.: Мир, 1973. 279 c.
18.Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966. 184 с.
19.Бройтман М.Д. Анализ процессов буферизации в системах теле обработки / М.Д. Бройтман, БЛ. Эттингер // Автоматика и вычислительная техника, 1981, № 2. С. 55-61.
20.Скворцов А.В. Моделирование потоков в информационных сис темах // Приборы и системы управления, 1983, № 9. С. 17-18.
21.Ивановский В.Б. О мультипликативной форме решения в экспо ненциальных сетях с ограниченными очередями и блокировками // Авто матика и вычислительная техника, 1983, № 5. С. 19-24.
22.Башарин Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория
иметоды расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган. М.: Наука, 1989. 336 с.
23.Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Наука, 1991. 389 с.
24.Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. М.: Наука, 1986. 544 с.
25.Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. 324 с.
26.Назаров А.А. Критерий эквивалентности уравнений глобального
идетального балансов для цепей Маркова /А.А. Назаров, А.А. Южаков // Автоматика и телемеханика, 1995, № 12. С. 71-78.
27.Назаров А.А. Исследование и оптимизация управляемой адап
тивной терминальной измерительной системы / А.А. Назаров, А.А. Южа ков // Автоматика и телемеханика, 1996, № 4. С. 96-100.
28. Корн Г Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1972. 832 с.
Оглавление |
|
Введение |
3 |
1. Основы теории случайных процессов....................................... |
5 |
1.1. Семейства случайных величин................................................ |
5 |
1.2. Выборочные функции.............................................................. |
7 |
1.3. Теорема Колмогорова............................................................... |
9 |
1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай...................... |
11 |
1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай................... |
13 |
1.6. Пуассоновский процесс........................................................... |
16 |
1.7. Общие свойства случайных процессов |
19 |
1.8. Примеры случайных процессов.............................................. |
21 |
2. Случайные потоки сообщений................................................... |
23 |
2.1. Основные понятия.................................................................... |
23 |
2.2. Принципы классификации входящих потоков...................... |
25 |
2.3. Характеристики входящих потоков........................................ |
25 |
2.4. Простейший входящий поток.................................................. |
27 |
2.5. Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки |
31 |
2.6. Потоки с простым последействием........................................ |
32 |
2.6.1. Симметричный и примитивный потоки............................. |
33 |
2.6.2. Поток с повторными заявками............................................. |
34 |
2.7. Поток с ограниченным поступлением. Поток Пальма......... |
35 |
2.8. Просеивание потоков. Потоки Эрланга................................. |
36 |
2.9. Неоднородный входящий поток |
37 |
2.10. Примеры решения задач |
39 |
2.11. Цепи Маркова |
41 |
2.12. Предельные теоремы для потоков событий......................... |
46 |
2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока.................... |
46 |
2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков |
48 |
3. Основы теории систем массового обслуживания..................... |
50 |
3.1. Элементы систем массового обслуживания |
50 |
3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслу |
|
живания |
50 |
3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок....................................... |
51 |
3.1.3. Канал обслуживания............................................................. |
52 |
3.1.4. Выходящий поток.................................................................. |
53 |
3.2. Классификация СМО |
54 |
3.3. Процессы гибели и размножения |
54 |
3.4. Системы массового обслуживания с отказами...................... |
60 |
3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказа |
|
ми (система Эрланга) |
60 |
3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной |
|
взаимопомощью между каналами |
66 |