книги / Неупругое поведение оболочек
..pdf22 |
2. Общие положения |
функцию |
пространственных координат, такую, что |
<р > 0 при нагружении и <р = 0 при разгрузке. Ее вид зависит от принятого условия текучести (2.2). Если, например, ф (оц) = — 2k2 = 0, где k — предел те кучести при чистом сдвиге, то, возведя в квадрат (2.23), получаем
ф = ( 2 ^ ,/« ,/)''■• |
(2.24) |
Отсюда видно, что история процесса деформирования входит в определяющие уравнения в виде инварианта ецеij. Подстановка (2.24) в (2.23) позволяет обнару жить, что при пластическом деформировании значе ние времени несущественно, так как в правой части получаем однородную функцию нулевого порядка от носительно времени. Так как ф — скалярная функция, тензорное уравнение (2.23) определяет соосность тен зоров напряжений и деформаций в течение процесса деформирования. Соотношения (2.23), называемые со отношениями Генки — Ильюшина, могут привести к корректным решениям граничных задач, если в про цессе нагружения главные направления тензоров на пряжений и деформаций остаются неизменными. Это условие очень редко выполняется для оболочек, по скольку при наличии пластических деформаций допу стимы только такие перераспределения напряжений, которые не изменяют главных направлений. В дей ствительности при нагружении соотношения «конеч ной» теории пластичности аналогичны соотношениям теории физически нелинейной упругости при заданной диаграмме «напряжения — деформации».
Уравнения теории течения упруго-пластических твердых тел связывают явно компоненты напряжений и скоростей пластических деформаций
*|/ = 4 о §Ч+ ^ / ’ °н = 3% |
(2.25) |
где X— неотрицательная скалярная функция, опреде ляемая, если необходимо, из условия текучести (2.2). В случае жестко-идеально-пластического материала
2.1. Определяющие уравнения |
23 |
при ги = = 0 соответствующий закон течения имеет вид
eu = Xsi}. |
(2.26) |
Зависимости (2.26) известны как соотношения Леви — Мизеса. По виду они аналогичны уравнениям течения теории ползучести (2.20), но в действительности опре деляют другое явление. Поскольку для пластических тел, кроме соотношений (2.26), должно удовлетво ряться условие пластичности, то можно найти соот ветствующую величину Я. Пусть, например, условие текучести зависит от второго инварианта девиаторной части тензора напряжений самым простым способом, а именно
4>*=sl l S t i - 2 k2 = 0 .
Возведя в квадрат (2.26), получаем
Л = (е„ё,//2А2)'/'. |
(2.27) |
Сравнивая соотношения (2.20), (2.26) и (2.27), легко усмотреть независимость (2.26) и (2.27) от времени. Отсюда обнаруживаются также различия и аналогии, которые существуют между установившейся ползу честью и пластическим течением. Следует отметить, что в отличие от теории малых упруго-пластических деформаций теория течения пригодна для нахожде ния перераспределения напряжений в областях, на груженных за пределом текучести, поскольку в ней не требуется пропорциональности между тензорами напряжений и деформаций. Здесь должны быть со осны тензоры напряжений и скоростей деформаций,
ане тензоры напряжений и деформаций. Соотношения теории идеально-пластических тел
образуют основу для определения несущей способно сти конструкций (теория предельного равновесия) и
соответствующего |
проектирования |
(теория предель |
||
ного |
проектирования) [2.11—2.14, |
2.18, 2.22, |
2.27, |
|
2.31, |
2.41]. |
модели, комбинирующие |
упру |
|
Более сложные |
гое, вязкое и пластическое поведение, могут быть получены с помощью надлежащей модификации
24 |
2. Общие положения |
рассмотренных основных определяющих уравнений для неупругих материалов. Однако в этом направле нии сделано еще немного, по крайней мере в отноше нии приложений к задачам для оболочек [2.27, 2.28].
Если не делать предположения о малости дефор маций, то определяющие уравнения следует видоиз менить так, чтобы были учтены большие деформации и, следовательно, изменения геометрии деформируе мого тела [2.33].
2.2. Диссипативные потенциалы
Реакция материала на внешние воздействия, уста навливаемая определяющим уравнением, зависит от состояния в рассматриваемой точке, а не от пути, которым это состояние достигнуто. Отсюда следует, что определяющие уравнения можно связать с соот ветствующими потенциалами, т. е. можно выразить через скалярные функции, содержащие кинематиче ские и динамические величины. По аналогии с упру гим потенциалом (плотность потенциальной энергии), который определяет процесс полностью обратимой де формации в термически изолированной среде, в ме ханике неупругого поведения вводится понятие о дис сипативных потенциалах [2.8, 2.7]. Применение этого понятия тесно связано с приложением вариационных теорем для сплошной среды и, следовательно, с ис пользованием приближенных методов решения не упругих задач в строительной механике.
Если определяющее уравнение (2.1) содержит на пряжения, деформации и скорости их изменения, то, кроме того, имеем плотность упругой энергии V, опре деляемую как 2V = oifefr и следующие скаляры:
U = aUbj и 11 = дцВф |
(2.28) |
которые представляют собой мощность и дополни тельную мощность деформации на единицу объема. Упругие части (2.28) сохраняются, тогда как вязкая часть DM и пластическая часть DP
(2.29)
2,2. Диссипативные потенциалы |
25 |
диссипируются. Выражения (2.29) представляют со бой диссипативные функции.
Хотя эти функции однородны относительно компо нент напряжений и скоростей деформаций, они сами по себе не являются потенциалами. Однако с помо щью этих функций можно построить потенциалы для напряжений и скоростей деформаций. Соответствую щие диссипативные потенциалы для вязкого и пла стического тел имеют вид
ei/ |
а1/ |
|
Ф = | Oijdetf, |
1|)= J ецдоц. |
(2.30) |
оо
Для указанных функций имеют место соотношения
дФ |
* |
_ |
(2.31) |
дец |
|
||
|
доif |
Таким образом, выражения (2.30) эквивалентны со ответственно плотности энергии деформации и плот ности дополнительной энергии. Если при неупругих деформациях материал считается несжимаемым, то изменения объема происходят без диссипации энер гии и, следовательно, U = оцВц = вцёц. Математиче ская форма диссипативных функций (2.29) зависит от материала рассматриваемого тела. Для линейного вязкого несжимаемого течения уравнение (2.1) имеет вид
»</=2п*5- 2 чtfr
Следовательно, чтобы были удовлетворены соотноше ния (2.29), вязкий потенциал должен иметь форму
|
|
® |
<2'32> |
где т) — постоянная вязкости. |
диссипативная |
||
Для |
установившейся ползучести |
||
функция |
(2.29) |
равна |
|
|
D = В |
* Л | = В (sllsllf |
+n'2, (2.33) |
а диссипативные потенциалы (2.30) равны |
|||
♦ = - d r |
В |
Ф |
(2-34) |
26 |
2. Общие положения |
Сравнение |
соотношений (2.31) и (2.32) показывает, |
что D = Ф + ф.
Эти потенциалы определяют поверхности постоян ной диссипации [2.4], которые можно использовать при построении методов решения задач ползучести. Такие поверхности с увеличением п располагаются одна внутри другой. Для идеально-пластического ма
териала с законом течения |
= №ц диссипативный |
|
потенциал (дополнительный) |
имеет вид |
|
ij)= AtS^yS//, |
Л ^ 0. |
(2.35) |
Если материал подчиняется условию текучести Губе ра —Мизеса
F = SijSu —const = 0,
то условие текучести -можно рассматривать как по тенциал для скоростей пластических деформаций (пла стический потенциал); таким образом,
ф = Я {F - const) XF. |
(2.36) |
Из этого соотношения следует ассоциированный за кон течения в теории пластического течения
•р л dF |
(2.37) |
|
*Ч ~ Х дщ, ■ |
||
|
Закон течения с использованием пластического потен циала установлен также для критериев текучести, от личных от критерия Губера — Мизеса [2.29], и обоб щен на кусочно-непрерывные условия текучести [2.20].
Использование диссипативных потенциалов (2.30) лежит в основе применения вариационных методов при неупругом поведении материала [2.7, 2.12, 2.34].
Если на данное тело, имеющее объем V и поверх ность 5, действуют нагрузки 7* на части 5Т, а на части Sv задана скорость перемещений vit причем мас совые силы отсутствуют, то общий потенциал внут ренних и внешних сил представляется в виде
р = jtydV - JTtvt dS, |
(2.38) |
V |
S j |
2.3. Допущения теории тонких оболочек |
27 |
а общий дополнительный потенциал — в виде
P = \ ^ d V - |
J TtVtdS. |
(2.39) |
V |
Sy |
|
Вариационные принципы для этого потенциала утверждают:
I. Среди всех полей скоростей, удовлетворяющих требуемым кинематическим условиям и условиям сплошности, действительное поле минимизирует по тенциал (2.38).
II. Среди всех напряженных состояний, удовле творяющих уравнениям равновесия и граничным усло виям, действительное состояние минимизирует потен циал (2.39).
Эти утверждения используются для получения приближенных решений граничных задач в теории оболочек.
2.3. Допущения теории тонких оболочек
Кинематические и динамические уравнения теории тонких оболочек записываются посредством результи рующих сил, результирующих моментов и деформа ций срединной поверхности оболочки. Напомним эти основные понятия теории, так как они потребуются в дальнейшем [2.6, 2.10, 2.23, 2.24, 2.45].
Пусть начало декартовой системы координат х* (/ = 1, 2, 3) помещено в какой-либо точке срединной поверхности оболочки, а ось х$ направлена па внеш ней нормали к этой поверхности. В теории тонких оболочек предполагается, что Оэз=0 и, таким обра зом, напряженное состояние полностью описывается остальными пятью компонентами напряжений <т р, сгаз
(а, р = 1, 2).
Кроме того, толщина 2Н оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами главных кривизн ра (т. е. 2Я/ра < 1). При этих предположениях резуль тирующие усилия и результирующие моменты, приво дящие напряженное состояние оболочки к состоянию
28 |
2. Общие положения |
на ее срединной поверхности, даются выражениями
яи
Na^= J* |
Оцр dx$, |
|
Мар = J* (ТцрАГз ^ 3 . |
(2.40) |
-я |
|
я |
- Я |
|
|
|
|
|
|
|
Q0= |
J GfftdXfr |
(2.41) |
|
|
|
-я |
|
|
Таким образом, напряженное состояние оболочки оп ределяется тензорами второго ранга, образованными результирующими моментами, мембранными усилия ми и вектором поперечных сил Qa, действующих по срединной поверхности. Допущение, что 2Я/ра <С 1, обеспечивает выполнение условия симметрии тензора Мар; в противном случае геометрия оболочки будет входить в определения (2.40) и (2.41) [2.39].
.Обозначая удлинения и кривизны деформирован ной срединной поверхности через Лар и хар соответ ственно, на основании допущения о прямолинейности
нормалей получаем соотношения |
|
|
еар“ ^ар + |
едз= 0. |
(2.42) |
Тензоры Яар и иар можно выразить через перемеще ния щ (i= 1, 2, 3) и их производные. Предположение, что прямые нормали к срединной поверхности оста ются к ней нормальными в деформированном состоя нии, свидетельствует об отсутствий деформаций сдви га, вызванных Qa, и позволяет, таким образом, при нять еа з = 0. Это ограничение снимается в более точных теориях. Соотношения между скоростями де формаций и скоростями перемещений срединной по верхности оболочки следуют непосредственно из соот ношений (2.42) и имеют аналогичную форму.
Потенциальную энергию и диссипацию также мо жно привести к срединной поверхности оболочки. Ин тегрируя выражение (2.29) при условиях (2.40) и (2.42), мы получаем плотность диссипации на еди ницу площади оболочки
яя
D — J (Зцк,ц(1х$= J |
dx3 — Nар^-ар“Ь |
(2.43) |
- Я |
- Я |
2.3. Допущения теории тонких оболочек |
29 |
Отсюда видно, что при допущениях, принятых в теории оболочек, не все результирующие входят в функцию диссипации. Так как любой процесс неупру гого деформирования сопровождается диссипацией, результирующие силы и моменты, входящие в (2.43), представляют специальный интерес. Они определяют обобщенные напряжения, а соответствующие дефор мации называются обобщенными деформациями^.,33]. Результирующие, которые не входят в функцию дис сипации, являются силами реакции для рассматри ваемого процесса [2.39, 2.43].
Используя соотношения (2.40) и (2.42), можно за писать определяющие уравнения для оболочек через величины yVap, Map, иар, Яар.и их производные по вре мени. При этом уравнение (2.1) после преобразова ния переменных принимает вид
t{Naр> Л^ар» . . . |
, Мар, .. ., Лцр, . .., Кар, ...» Г, t) = 0. |
|
(2.44) |
Для пластических оболочек необходимо записать до-' полнительное соотношение, представляющее условие текучести в результирующих силах и моментах, т. е.
m a p . tf« p )-* " -0 . |
(2.45) |
Сравнение соотношений (2.3) и (2.45) приводит к за ключению, что переход от условия текучести в напря жениях к форме, содержащей результирующие силы и моменты, требует соответствующего интегрального преобразования [2.13, 2.17, 2.32, 2.39, 2.43].
Частный вид гиперповерхности текучести (2.45) за висит от выбранного условия текучести (2.3).
3.Линейная вязко-упругость
3.1.Уравнения теории оболочек для простейших моделей
Считая напряженное состояние плоским и прене брегая тепловым расширением, определяющее урав нение (2.5) с невязкими изменениями объема можно привести к виду
Ра^ = 2GQ jeaf) + |
3£P + 4GQ eYv^ap] (а>Р = * * |
^ |
где операторы Р |
и Q определены равенствами |
(2.7). |
В предположении прямолинейности нормалей напря жения, параллельные срединной поверхности обо лочки, выражаются соотношениями
P*ap —2GQ [Яар+ Xtfiap+ A(^YY+ х3куу) 6ар], (3.2)
где через А обозначен сложный оператор
- |
3/GP-2GQ |
(3.3) |
|
А |
3JCP + 4GQ* |
||
|
В линейной вязко-упругости уравнения плоского на пряженного состояния имеют такую же форму, как и в линейной теории упругости, однако модули упру* гости заменяются соответствующими временными опе раторами [3.9]. Так как операторы Р и Q не зависят от пространственных переменных, путем интегрирова ния соотношений (3.2) по толщине пластинки нахо дим зависимости между результирующими усилиями и деформациями срединной поверхности
РNafi = 4HGQ (Лар + АЛп бар), |
(3.4) |
Р/Иар = у №GQ(Ha(, + A*vv6a|)). |
(3.5) |
Отсюда видно, что мембранные усилия вызывают чи стое растяжение срединной поверхности, тогда как моменты напряжений связаны только с кривизнами. Таким образом, распределение напряжений по тол
3.1. Уравнения теории оболочек для простейших моделей 31
щине оболочки подобно упругому, и различие заклю чается лишь в зависимости напряжений от времени. Для тел рассматриваемого типа при заданных по верхностных нагрузках перераспределения напряже ний между моментами и мембранными усилиями не происходит (исключая перераспределения, допускае мые оператором (3.3)).
В теории оболочек предполагается, что сгзз, т. е. напряжения, направленные по нормали к срединной поверхности оболочки, пренебрежимо малы. Поэтому зависимость напряжений от деформаций (3.1) приоб ретает вид
Por4,-2 G Q (eoe+ Tr ^ e ^ a|)). |
(3.6) |
Отсюда находим результирующие силы и моменты
PAf0j |
= 4W G Q (\s + Ti\n 6ap), |
(3.7) |
РМЧ |
= | НЮQ (*„„ + ti*vv< g . |
(3-8) |
где г) = v[ (1 — v). При решении граничных задач со отношения (3.7), (3.8) используются чаще, чем (3.4), (3.5). Для оболочек с коэффициентом Пуассона, не зависящим от времени, перераспределения напряже ний не происходит. Исследование различных аспектов вязко-упругости с точки зрения приложений к теории оболочек проведено Ю. Н. Работновым [3.27].
К уравнениям (3.7), (3.8), зависящим от времени, можно применить преобразование Лапласа
£Г (х, s) = J«-*'£/ (х, t) dt, |
(3.9) |
О |
|
что приводит к выражениям |
|
Na„ = 4HOQ (s) P _l (s)К , + n(s)*’уА Д |
(З.Ю) |
M h t - j Н*вО. (s) P -'(S)[к*„в + ч (s) xk„6„d, |
(3.11) |
полученным при условии, что в момент / = 0 оболоч ка находится в покое. Модули E(s) и G(s) в выраже ниях Q и Р (ЗЛО) и (3.11) зависят от конкретной