![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление
..pdfОпределяем -срезы согласно алгоритму Мамдани:
1 min A11 (x1 ), A21 (x2 ) ;2 min A12 (x1 ), A22 (x2 ) ;3 min A13 (x1 ), A23 (x2 ) ;4 min A14 (x1 ), A24 (x2 ) ;
5 min A15 (x1 ), A25 (x2 ) ;
6 min A12 (x1 ), A12 (x2 ) ;
7 min A13 (x1 ), A21 (x2 ) ;
8 min A14 (x1 ), A21 (x2 ) ;
9 min A15 (x1 ), A21 (x2 ) ;
10 min A11 (x1 ), A22 (x2 ) ;11 min A13 (x1 ), A22 (x2 ) ;12 min A14 (x1 ), A22 (x2 ) ;
13 min A15 (x1 ), A22 (x2 ) ;
14 min A11 (x1 ), A23 (x2 ) ;
15 min A12 (x1 ), A23 (x2 ) ;
91
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza92x1.jpg)
16 min A14 (x1 ), A23 (x2 ) ;
17 min A15 (x1 ), A23 (x2 ) ;
18 min A11 (x1 ), A24 (x2 ) ;
19 min A12 (x1 ), A24 (x2 ) ;
20 min A13 (x1 ), A24 (x2 ) ;
21 min A15 (x1 ), A24 (x2 ) ;
22 min A11 (x1 ), A25 (x2 ) ;
23 min A12 (x1 ), A25 (x2 ) ;
24 min A13 (x1 ), A25 (x2 ) ;
25 min A14 (x1 ), A25 (x2 ) .
Нечеткая импликация по Ларсену выполнена согласно
BK ( y) BK ( y) min A1K (x1 ), A2K (x2 ) .
Определяем ФП после нечеткой импликации по Ларсену:
B1 ( y) B5 min A11 (x1 ), A12 (x2 ) ;
B2 ( y) B4 min A12 (x1 ), A22 (x2 ) ;
B3 ( y) B3 min A13 (x1 ), A23 (x2 ) ;
92
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza93x1.jpg)
B4 ( y) B2 min A14 (x1 ), A24 (x2 ) ;
B5 ( y) B4 min A15 (x1 ), A25 (x2 ) ;
B6 ( y) B5 min A12 (x1 ), A12 (x2 ) ;
Функции |
|
|
d |
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|||
принадлежности |
|
|
|
|
|||
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
|||
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
A11 |
B5 |
B5 |
B4 |
B4 |
B3 |
|
|
A12 |
B5 |
B4 |
B4 |
B3 |
B2 |
|
|
A13 |
B4 |
B4 |
B3 |
B2 |
B2 |
|
|
A14 |
B4 |
B3 |
B2 |
B2 |
B1 |
|
|
A15 |
B3 |
B2 |
B2 |
B1 |
B1 |
Рис. 1.51. Матрица решения 5×5
B7 ( y) B4 min A13 (x1 ), A21 (x2 ) ;
B8 ( y) B4 min A14 (x1 ), A12 (x2 ) ;
B11 ( y) B4 min A13 (x1 ), A22 (x2 ) ;
B12 (y) B3 min A14 (x1 ), A22 (x2 ) ;
B13 (y) B2 min A15 (x1 ), A22 (x2 ) ;
B14 ( y) B4 min A11 (x1 ), A23 (x2 ) ;
B15 (y) B4 min A12 (x1 ), A23 (x2 ) ;
93
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza94x1.jpg)
B16 ( y) B2 min A14 (x1 ), A23 (x2 ) ;
B17 ( y) B2 min A15 (x1 ), A23 (x2 ) ;
B18 ( y) B4 min A11 (x1 ), A24 (x2 ) ;
B19 ( y) B3 min A12 (x1 ), A24 (x2 ) ;
B20 ( y) B3 min A13 (x1 ), A24 (x2 ) ;
B21 ( y) B1 min A15 (x1 ), A24 (x2 ) ;
B22 ( y) B3 min A11 (x1 ), A25 (x2 ) ;
B23 ( y) B2 min A12 (x1 ), A25 (x2 ) ;
B24 ( y) B1 min A13 (x1 ), A25 (x2 ) ;
B25 ( y) B1 min A14 (x1 ), A25 (x2 ) .
Определяется выход нечеткого регулятора частоты методом центроида:
|
|
n |
|
|
y |
|
i B1 |
( y) |
|
i 1 |
|
. |
||
n |
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i1
1.12.Иерархические системы нечеткого логического вывода
Для моделирования многомерных зависимостей «входывыход» целесообразно использовать иерархические системы нечеткого вывода [8,18]. В таких системах выход одной базы знаний по-
94
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza95x1.jpg)
дается на вход другой, более высокого уровня иерархии. В таких системах отсутствуют обратные связи. Применение иерархических нечетких баз знаний позволяет преодолеть «проклятие размерности». При большом количестве входов эксперту трудно описать нечеткими правилами причинно-следственные связи. Это обусловлено тем, что в оперативной памяти человек может одновременно хранить не более 7 ± 2 понятий-признаков. При большом количестве информации ее необходимо иерархически классифицировать, так как человек перерабатывает информацию по иерархическому принципу.
Второе преимущество иерархических баз знаний – компактность. На рис. 1.52 показана иерархическая система нечеткого вывода.
x1
f1
x2 |
|
у |
|
|
1 |
x3 |
у2 |
у |
|
||
|
f2 |
f4 |
x4 |
у3 |
|
x5 |
|
|
|
|
f3
x6
Рис. 1.52. Иерархическая система нечеткого вывода
Небольшим количеством нечетких правил в иерархических базах знаний можно адекватно описать многомерные зависимости «вход-выход». Пусть для пяти лингвистических переменных используется по шесть терм. Тогда максимальное количество правил для задания зависимости y f (x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) с помощью од-
ной базы знаний будет 56 15 625. Как показано, для иерархической базы знаний количество правил будет 52 52 52 53 200.
95
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza96x1.jpg)
1.13. Классический модуль нечеткого управления
Модуль нечеткого управления состоит из следующих компонентов: блока фаззификации, базы правил, блока выработки решения и блока дефаззификации.
А) Блок фаззификации.
Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. В задачах управления чаще всего применяется операция фаззификации типа синглетон. Блок фаззификации содержит от одного до нескольких терм-множеств. Поэтому конкретному
значению X (x1, x2 ,... xn )T X входного сигнала блока нечеткого
управления после операции фаззификация будет сопоставлено нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn . Переменным сигналом
блока фаззификации является унимодальная ФП (синглетон), которая синхронно с входным сигналом перемещается в нормированном интервале изменения входной величины, пересекая терм-множества. Фаззификация на синглетонной базе (операция перевода четкой информации в нечеткую информацию) в случае нечеткого управления формирует нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn для дальнейшей
обработки операцией нечеткая импликация в блоке выработки решения. Число терм отдельного терм-множества задается от 3 до 11 в зависимости от скорости изменения сигнала. Увеличение числа терм возможно включением квантификаторов: НЕ, ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ-МЕНЕЕ. Характер терм задается синтаксическими правилами, а смысл – семантическими правилами.
Б) База правил.
База правил, иногда называемая лингвистической моделью, представляет собой множество нечетких правил R(k), k 1, ..., N,
вида (для случая нескольких выходов)
RK : IF (x1 это A1K AND,..., AND xn это AnK ),
THEN ( y1 это B1K AND y2 это B2K AND,..., AND ym это BmK ),
96
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza97x1.jpg)
где AK X |
i |
R, i 1, ..., n; x , x ... x |
– входные переменные лин- |
|||||||
i |
|
1 |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
гвистической модели; |
BK Y |
j |
R, |
|
j 1, ..., N; y , ...y |
m |
– выходные |
|||
|
|
|
j |
|
|
1 |
|
|
||
переменные лингвистической модели. |
|
|
|
|||||||
Примем, что выходные переменные y1,..., ym |
взаимно незави- |
симы, а также входные и выходные переменные могут принимать как лингвистические переменные «малый», «средний» и «большой», так и числовые значения.
При проектировании модулей нечеткого управления следует оценивать достаточность количества нечетких правил, их непротиворечивость и наличие корреляции между отдельными правилами.
В) Блок выработки решения.
Допустим, что на вход блока выработки решения подано нечеткое множество A X X1 X2 ... Xn . На выходе этого блока
также появится соответствующее одно нечеткое множество B . Случай, когда выходов несколько, из рассмотрения опущен.
Пример 1.23. Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил:
R1 : IF (x1 это A11 AND x2 это A21 ) THEN ( y это B1 ), R2 : IF (x1 это A12 AND x2 это A22 ) THEN ( y это B2 ).
На его вход подан сигнал X (x1, x2 )T . После выполнения фаззификации типа синглетон на входе блока выработки решения получаем нечеткие множества A1 и A2 с функциями принадлежности
A1 (x1 ) x1 x1
A2 (x2 ) x2 x2
Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом y .
Тогда ФП нечеткого множества |
имеет вид |
||||
|
|
|
|
|
|
BK (y) supx, x |
min( A1 A2 |
(x1 |
, x2 ), RK (x1, x2 , y)) . |
||
2 |
|
|
|
97
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza98x1.jpg)
В качестве T-нормы применим правило Заде. Кроме того, до-
пустим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x , x |
2 |
min |
(x ), |
|
(x ) |
min (x |
x ), |
(x |
x ) . |
|||||||
A1 |
A2 |
1 |
|
|
A1 |
1 |
A2 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BK (y) supx, x |
min( (x1 x1 ), (x2 x2 ), RK |
(x1, x2 , y)) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RK (x1, x2 , y).
Вкачестве выбранного варианта нечеткой импликации высту-
пает
RK (x1, x2 , y) A1K A2K BK (x1, x2 , y).
При использовании операции минимум
|
|
, |
A1K A2K BK (x1, x2 , y) min A1 A2 |
(x1, x22 ), BK ( y) |
где
A1K A2K (x1, x2 ) min A1 (x1 ), A2K (x2 ) .
Врезультате
BK (y) min min A1K (x1 ), A2K (x2 ) , BK (y)
min A1K (x1 ), A2K (x2 ), BK ( y) .
И окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
( y) max |
|
min |
K (x ), |
K (x ), |
B |
K ( y) . |
||
|
K 1,2 |
|
A1 |
1 |
A2 |
2 |
|
Пример 1.24. Рассмотрим модуль нечеткого управления с базой правил:
R1 : IF (x1 это A11 AND x2 это A21 ) THEN ( y это B1 ), R2 : IF (x1 это A12 AND x2 это A22 ) THEN ( y это B2 ).
98
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza99x1.jpg)
На его вход поданы числовые входные сигналы x1 и x2 . После
фаззификации на входе блока выработки решения появляются не-
четкие множества A1 и A2 с ФП A11 (x1 ) и A21 (x2 ) . В данном примере фаззификация выполняется при отсутствии синглетонов.
Обозначим выходной сигнал модуля нечеткого управления символом y.
Тогда функция принадлежностинечеткого множества имеет вид
|
|
|
|
BK ( y) sup min( A1 A2 |
(x1, x2 ), RK (x1, x2 , y)) . |
||
|
|
x,x2 |
|
В качестве T-нормы применим правило Заде. Кроме того, допустим, что
(x , x ) min (x ), (x ) .
A1 A2 1 2 A1 1 A1 2
Вэтом случае
BK (y) sup min min( A1 (x1 ), A1 (x2 )) , RK (x1, x2 , y)
x,x2 1 2
RK (x1, x2 , y).
Вкачестве нечеткой импликации
RK (x1, x2 , y) A1K A2K BK (x1, x2 , y).
При использовании операции минимум
A1K A2K BK (x1, x2
Кроме того,
A1K A2K (x1,
В результате
|
|
|
|
|
|
|
, y) min A1 A2 (x1, x22 ), |
BK ( y) . |
|||||
x ) min |
A1 |
(x ), |
K (x |
2 |
) . |
|
2 |
|
1 |
A2 |
|
99
![](/html/65386/197/html_RU3jBxF4YT.wxUp/htmlconvd-l5yVza100x1.jpg)
BK (y) min min A1K (x1 ), A2K (x2 ) , BK ( y)
min A1K (x1 ), A2K (x2 ), BK ( y) .
Иокончательно
|
B |
( y) max |
|
min |
K (x ), |
K (x ), |
B |
K ( y) . |
||
|
K 1,2 |
|
A1 |
1 |
A2 |
2 |
|
1.14. Деффазификация
Дефаззификация – операция перевода нечеткой информации в четкую информацию [18, 26]. Известны методы дефаззификации; центр тяжести (centroid), центр медианы (bisector), наибольшего из максимумов (lom), наименьшего из максимумов (som) и центр максимумов (mom). На практике чаще применяют метод центроида и центр максимумов. Рассмотрим модифицированный метод центроида с целью сокращения объема вычислений и повышения быстродействия.
Дефаззификация модифицированным методом центроида
Необходимо определить минимальную координату абсцисс, соответствующую максимальной высоте (ординате) нелинейного объединенного усеченного множества после нечеткой импликации и нечеткой композиции.
Известны разные формулы расчета координат ЦТ фигуры по методу центроида. Одна из них [19]
x |
|
x (x)dx |
. |
(1.1) |
|
||||
цт |
|
(x)dx |
|
Формула (1.1) удобна в случае, когда функции принадлежности дефаззификатора есть синглетоны.
100