книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций
..pdf2.3. Упругие свойства слоистого композита
Пусть слоистый композит (рис. 2.3) содержит n слоев. Пакте
n
имеет толщину H hi , hi толщина i-го слоя, zi – расстояние от
i 1
i-го слоя до координатной поверхности; предполагаем, что слои тонкие и напряжения по толщине отдельного слоя не изменяются.
Рис. 2.3. Усилия и моменты на гранях элементарного объема слоистого композита
Например, усилие Nx может быть рассчитано по формуле
|
|
|
|
|
z0 H |
|
|
|
|
n |
|
zi |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x z dz |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Nx |
|
zi 1 |
|
dz, |
|
|
|
(2.3.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z0 H |
|
|
|
|
n |
zi |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x z dz |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Nx |
zi 1 |
|
dz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
zi |
|
|
i |
x |
i |
i |
y |
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z 1 |
C11 |
|
|
C12 |
|
C16 |
xy |
dz |
|
||||||||||||||||
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
zi |
|
|
i |
x zKx |
i |
|
|
|
|
i |
y zKy |
i |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
zi 1 C11 |
|
|
C12 |
|
|
(2.3.2) |
|||||||||||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
xy |
zKxy |
i |
|
|
|
|
|
|
|
y C16 xy |
|
|||||||||||
C16 |
dz C11 x C12 |
|
B11Kx B12 Ky B16 Kxy ,
91
где компоненты матрицы жесткости
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
C11 zzii 1 |
С11 |
i dz C11 i zi zi 1 С11 |
i hi , |
|||||
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
n |
|
i hi C66 |
n |
i hi , |
|
|
C12 |
C12 |
C66 |
(2.3.3) |
|||||
B11 |
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
1 C11 i |
zi 2 zi 1 2 , |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i 1 |
|
|
|
|
|
|
и т.д.
На практическом занятии рассмотрим частные случаи:
а) слоистый композит при плоском напряженном состоянии, б) слоистый композит с симметричной структурой.
2.4. Прочностные свойства композиционных материалов
Расчет прочности однонаправленного волокнистого композита (рис. 2.4) по свойствам компонентов:
1. Растяжение однонаправленного волокнистого композита в направлении армирования. Рас-
чет прочности проводится с использованием уравнения аддитивности:
Рис. 2.4. Однонаправленный |
|
Bf Vf |
m 1 Vf , (2.4.1) |
|
волокнистый композит |
||||
BX |
где Вf – предел прочности волокон при растяжении, σ´т – напряжения в матрице в момент разрушения, Vf – относительное объемное содержание волокон вкомпозите; если матрицаупругая
m |
Em |
Bf , |
(2.4.2) |
|
|||
|
Ef |
|
|
если пластичная |
|
|
|
m bm , |
(2.4.3) |
92
для высокопрочных волокон
|
|
Bf Vf . |
(2.4.4) |
|
BX |
||
Пусть f |
m и δ – пре- |
|
дельная деформация. Существует некоторое значение Vmin – минимальное объемное содержание волокон (рис. 2.5); если Vf > Vmin, то разрушение волокна не приходит к разрушению композита, так как матрица воспринимает значительную нагрузку:
Bf Vmin m 1 Vmin
Bm 1 Vmin |
(2.4.5) |
следовательно,
Рис. 2.5. Зависимость прочности композита на растяжение ВХ
от величины относительного объемного содержания волокон Vf , когда f m
Bm m |
|
Vmin Bf Bm m . |
(2.4.6) |
Другое значение Vkp – критическое объемное содержание волокон, при котором прочность композиционного материала равна прочности матрицы:
Bf Vkp m 1 Vkp Bm , |
(2.4.7) |
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
V |
|
Bm m |
. |
(2.4.8) |
|
Bf m |
|||||
kp |
|
|
|
Пусть f m , тогда переход от множественного разрушения
волокон к единичному происходит при объемном содержании волокон Vf .
93
Bf Vf Bm 1 Vf f Vf , |
(2.4.9) |
где f – напряжения в волокнах в момент разрушения матрицы
(рис. 2.6). |
|
Для высокопрочных воло- |
|
кон 1-й участок не характерен |
|
и практически |
отсутствует. |
В практических расчетах используют формулу
|
|
|
|
|
|
|
Bx Bf Vf k f |
||
Рис. 2.6. Зависимость прочности |
m 1 Vf km |
(2.4.10) |
||
композита на |
растяжение BХ |
где k f , km [0,1] |
– коэффициен- |
|
от величины |
относительного |
ты реализации прочности волок- |
||
объемного содержания волокон |
||||
Vf , когда f m |
на и матрицы, |
k f |
учитывает |
|
|
|
структуруармирования, например, |
k f 1 для однонаправленного композита, k f 0,5 для композита с ортотропным армированием в двух направлениях, k f 1 / 3 для
композита с хаотичным равномерным армированием по всем направлениям.
2. Продольное сжатие однонаправленного волокнистого композита (рис. 2.7).
Пусть f m , тогда
|
|
Vf (2.4.11) |
Bx Bf Vf m 1 |
Рис. 2.7. Продольное сжатие однонаправленного волокнистого композита
Bx Bf
или, |
|
|
|
учитывая |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Bf |
|
|
|||
|
m |
|
|
|
|
, |
|
|
E |
E |
f |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
V E |
m |
|
|
|||
Vf |
m |
|
. |
||||
|
|
|
|||||
|
Vf |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
равенство
(2.4.12)
94
Если f m , то
|
|
|
Vf Ef |
|
|
Bx Bm Vm |
|
. |
(2.4.13) |
||
|
|||||
|
|
|
Em |
|
При продольном сжатии возможен принципиально иной механизм разрушения – потеря устойчивости волокон.
При симметричной форме потери устойчивости (рис. 2.8, а) разрушается матрица из-за растяжения или сжатия или разрушается граница раздела:
Bx
|
V E E |
1 |
|
||
|
|
2 |
|
||
2V |
|
f m f |
|
. |
(2.4.14) |
3 1 Vf |
|
||||
|
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
При асимметричной форме (рис. 2.8, б) матрица разрушается от сдвига:
|
|
|
Gm |
|
|
|
Bx |
|
|
|
. |
(2.4.15) |
|
1 |
Vf |
|||||
|
|
|
Рис. 2.8. Симметричная (а) и асимметричная (б) формы потери устойчивости волокон композита
3. Поперечное растяжение (рис. 2.9) и сжатие однонаправленного волокнистого композита.
Причина разрушения композита – разрушение матрицы или границы раздела, так как волокна не воспринимают поперечную нагрузку:
95
m max Bm ,
m max y Ky ,
где коэффициент концентрации напряжений
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
m |
|
|
|
||||
|
|
|
1 Vf 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
E |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||
K |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
Vf |
|
|
m |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
E |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
Bm |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
By |
Ky |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Сдвиг в плоскости армирования (рис. 2.10).
(2.4.16)
(2.4.17)
(2.4.18)
Рис. 2.9. Поперечное растяжение |
|
|
|
Рис. 2.10. Сдвиг в плоскости |
||||||||||
однонаправленного волокнистого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
армирования |
|||
композита |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельную сдвигающую нагрузку можно определить по |
||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Bm |
, |
|
|
|
|
|
|
(2.4.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Vf |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
f |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.4.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|||
|
|
1 Vf |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
f |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
5. Влияние направления касательных напряжений на прочность однонаправленного волокнистого композита.
Рис. 2.11. Примеры различных схем нагружения для сдвига в плоскости армирования
Прочность композита на рис. 2.11, а, определится через величины fВ и mВ , а прочность композита на рис. 2.11, б, опре-
делится через величины fВ и mВ .
2.5. Феноменологические критерии прочности анизотропных материалов
1. Понятие о предельной поверхности (рис. 2.12). Рассмот-
рим в пространстве напряжений σ11, σ22, σ12 предельную поверхность
11 , 22 , 12 1 , |
(2.5.1) |
если 11 , 22 , 12 1 |
– про- |
изошло разрушение, |
если |
11 , 22 , 12 1 – материал сохраняет работоспособность.
Разложим функцию П в степенной ряд
ij ijkl ij kl 1, (2.5.2)
где ij , ijkl , ... – тензоры
второго, четвертого и т.д. рангов, определяющие поверхность прочности в пространстве напряжений.
Рис. 2.12. Предельная поверхность
97
2. Критерий Мизеса – Хилла и его разновидности. Из ряда
(2.5.2) ограничимся только вторым членом
ijkl ij kl 1, |
(2.5.3) |
где индексы i, j = 1,2 для плоского напряженного состояния. Ограничились вторым или квадратичным членом, потому что энергия пропорциональна квадрату напряжений. Если предположить, что разрушение происходит в том случае, когда в материале превышается некоторый ее допустимый уровень, то выбор аппроксимации предельной поверхности прочности в виде (2.5.3) вполне допустим.
Тензор прочности П обладает свойствами симметрии, подобно тензору упругих свойств,
ijkl klij jikl , |
(2.5.4) |
и если рассматривать прочность материала в системе координат, связанной сосями анизотропии, то соотношение(2.5.3) примет вид:
1111 11 2 2222 22 2 2 1122 11 22 |
|
(2.5.5) |
4 1212 12 2 1. |
|
|
|
|
Значения компонент тензора прочности определим из простейших экспериментов:
1) 1B – прочность материала при растяжении в направлении 1, следовательно,
1111 1B 2 |
1. |
(2.5.6) |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
(2.5.7) |
|||
1111 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1B |
|
|||
2) аналогично для растяжения вдоль оси 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
(2.5.8) |
|
2222 |
|
|
|
||||||
|
|
|
22 B |
|
98
3) для сдвига в плоскости 1,2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1212 |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.9) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2B12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) для двухосного растяжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1111 |
2 |
|
|
2222 |
2 |
2 |
1122 |
2 |
1 |
|
|
(2.5.10) |
||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2.5.11) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
* |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
2 B |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким образом, критерий Мизеса – Хилла для плоского на- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пряженного состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
11 22 |
|
2 |
1 . (2.5.12) |
||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2B |
|
|
* |
|
B1 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
B12 |
|
||||||||||||||||||||
|
1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Хилл обратил внимание, что для однонаправленных компо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зитов, когда 1 – ось армирования, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
* , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B1 |
2B2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1. |
|
|
|
(2.5.15) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B |
|
|
|
|
B12 |
|
|
|
|
|
есть критерий Мизеса – Хилла. Если величины σ51, σ52 сопоставимы, например, для ортогонально армированного пластика, а данных о значении σ* нет, то следует использовать критерий Фишера
2 |
|
2 |
|
k |
|
|
|
2 |
1, |
(2.5.16) |
|
11 |
22 |
|
|
|
12 |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
2B |
11 22 |
|
|
|
|||||
1B |
|
2B |
|
1B |
|
|
|
B12 |
|
|
99
где
k |
E1 1 21 E2 |
1 12 |
. |
(2.5.17) |
||||
1 2 |
12 |
|
1 2 |
|||||
|
|
21 |
|
|
||||
|
2 E E 1 |
|
1 |
|
|
|
Обратим внимание, что для изотропного материала к = 1, и критерий Фишера преобразуется в критерий Мизеса – Хилла для изотропного материала, известный из курса сопротивления материалов как IV гипотеза прочности. Недостатком критериев Мизеса – Хилла и Фишера является неучет различия прочностных свойств материала при растяжении и сжатии. Учет различия прочности материала можно провести в рамках полученных критериев путем учета знака компонент напряжений, полагая: если
1 0 , то 1B 1B , иначе 1B 1B , и если 2 0 , то 2B 2B , иначе 2B 2B В этом случае говорят, что использован при рас-
чете прочности модифицированный критерий Мизеса – Хилла. 3. Критерий Хоффмана. Рассмотрим два первых слагаемых
ряда (2.5.2) в системе координат, связанной с осями ортотропии материала:
П П |
22 |
|
22 |
П |
21 |
П 2 |
П |
2222 |
|
2 |
|
|
|||||
11 |
11 |
|
|
12 |
|
1111 |
11 |
|
|
22 |
|
(2.5.18) |
|||||
|
2П |
|
|
|
|
4П |
2 |
1. |
|
|
|
||||||
|
|
22 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1122 |
11 |
|
1212 |
12 |
|
|
|
|
|
|
Компоненты тензоров Пij и Пijkl определим из простейших экспериментов:
1)растяжение-сжатие вдоль оси 1
|
|
|
1111 |
( )2 |
1 |
|
|
|||||||||
|
11 1B |
|
|
|
|
1B |
|
|
|
|
, |
(2.5.19) |
||||
|
|
|
1111 |
( |
|
)2 1 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
11 1B |
|
|
|
|
1B |
|
|
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
1B |
1B |
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1B |
1B |
|
|
|
|
|
(2.5.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
1111 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1B 1B |
|
|
|
|
|
|
100