книги / Прикладная теория ползучести грунтов
..pdfопределяется |
иа уравнения |
- |
Б1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
г |
|
|
г |
—Xt\ |
|
/ |
-X (t-ti)\n |
|
|
|
(3.1.22) |
|||||
e (t) |
’ |
~ |
[ 6 (t )+A6l l 1“e |
) +Аб2[1-е |
|
Jj |
|
|
|
|||||||||||
а после |
подстановки |
двухчленного |
ядра |
(3.1.11) |
в |
|
выражение |
|||||||||||||
(3 .1 .21), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.23) |
||
Здесь |
6i |
|
и 62 напряжение |
на первой и второй, ступени соответс |
|
|||||||||||||||
твенно, |
a |
6 (t) |
при t » t i , |
равно 61+62. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Проведем анализ |
|
полученных |
уравнений |
(3.1.22) |
и |
(3.1.23). |
|||||||||||||
Для этого рассмотрим наиболее характерные точки по |
времени. |
При |
||||||||||||||||||
t-0 во всех |
случаях (3 .1 .12), |
(3 .1 .14), |
(3.1.22) и |
(3.1.23) прлу- |
||||||||||||||||
чаем е0-6/Е. |
|
Если в |
уравнениях |
(3.1 Г22) |
и (3.1.23) рассматривать |
|||||||||||||||
процесс |
ползучести при t< ti, |
то |
из (3.1.22) |
следует |
(3.1.12), |
а |
||||||||||||||
из (3 .1 .23), |
получим выражение (3.1.14). |
Таким образом, |
уравнения |
|||||||||||||||||
(3.1.22) и (3.1.23) являются наиболее общими, поскольку |
в |
них со |
||||||||||||||||||
держатся частные случаи (3.1.12) |
и |
(3.1.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
При t-*» |
из |
уравнений (3.1.22) и (3.1.23) |
получим соответс |
||||||||||||||||
твенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.24) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.25) |
|
Из сравнения выражений (3.1.23) |
и |
(3.1.25), |
заключаем, |
что, |
хотя |
|||||||||||||||
они оба |
|
записаны для |
ступенчатой |
ползучести, |
в (3.1..24) |
отсутс |
||||||||||||||
твует член, |
|
учитывающий время действия |
нагрузки до точки |
t i . |
На |
|||||||||||||||
личие члена exp(-X ti) |
позволяет |
учесть |
влияние |
первой |
ступени |
|||||||||||||||
нагружения |
на |
весь |
|
период |
наблюдения |
за деформацией грунта или |
||||||||||||||
осадкой сооружения. |
|
При лабораторных или натурных |
исследованиях |
|||||||||||||||||
на |
ступенчатое |
нагружение |
всегда отмечается |
изменение (уплотне |
ние) грунта, после каждой ступени нагружения. Уплотняющее влияние первой ступени наиболее выражено и зависит от продолжительности
-52 -
еевоздействия. Поэтому, если уравнение (3.1.25) использовать при определении констант А и X, то механический эффект уплотнения бу дет учтен.
Таким образом, результаты исследований, помещенные в этом параграфе позволяют сделать следующие выводы:
1.Показано, что наиболее распространенные аппроксимирующие формулы расчета осадок и деформаций, могут быть получены из урав нений прикладной теории наследственной ползучести.
2.На основе представления ядра ползучести в виде суммы раз ностной и не разностной функции времени получены формулы для рас чета ползучести, релаксации и ступенчатой, ползучести. Общность этих формул обоснована тем, что позволяет из них получить извест ные как частные случаи.
3.2. Уравнение релаксации, простой и ступенчатой ползучести. Ядра с особенностью, при t-0 .
В глинистых грунтах реологические свойства, а именно: ползу
честь и релаксация напряжений выражены в наибольшей степени, |
чем |
в песчаных грунтах /3 ,5 /. Это объясняется сложным строением, |
ко |
торое обусловлено дисперсностью, пористостью, многофазностью, |
не |
однородностью глии и глинистых грунтов. Очевидно, что попытка учесть хотя бы перечисленные особенности в рамках единой теории приведет к практически неприемлемым, т .е . громоздким уравнениям.
Особенности состава и строения глинистых грунтов приводит к сложному механическому деформированию их как при испытаниях в ла
бораторных, так |
и |
в |
натурных условиях. |
Если сравнить |
семейства |
||||
кривых ползучести для |
песков |
и для глин |
/3 ,5 / при различных |
наг |
|||||
рузках, то можно отметить |
следующее. |
|
|
|
|
||||
В песках, |
как правило, |
кривые ползучести |
имеют |
затухающий |
|||||
характер. В глинистых грунтах |
это можно обнаружить только при не |
||||||||
больших нагрузках. |
При росте |
нагрузок |
кривые |
ползучеоти |
будут |
||||
иметь незатухающий характер, |
хотя скорость ползучести на длитель |
||||||||
ном отрезке времени будет мала. |
|
|
|
|
|||||
Поэтому для |
описания |
деформирования во |
времени |
глинистых |
- 53 -
грунтов необходимо привлекать |
уравнения |
ползучести, |
содержащие |
||||||||||||
более сложные функции, чем для пеоков. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В линейном варианте теории наследственной ползучести выберем |
||||||||||||||
ядро |
ползучести |
в виде (3 .1 .7 ). |
Эта функция при t -О стремится к |
||||||||||||
бесконечности, в отличие от функции |
(3 .1 .8 ), которая в |
нуле |
имеет |
||||||||||||
конечное |
значение, поэтому ее |
называют функцией с особенностью. |
|||||||||||||
|
Запишем связь между деформацией т, |
напряжением х и временем |
|||||||||||||
t в следующем виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2.1) |
||
Подставим K(t) в |
виде |
(3 .1 .7) |
и полагая, |
что х в течение |
опыта |
||||||||||
остается |
постоянным, |
получим уравнение простой ползучести |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2.2) |
||
При t-Q |
из выражения |
(3 .2 .2) |
следует |
|
закон Гука, а при t-*» дефор |
||||||||||
мация будет |
неограниченно возрастать. |
Последний вывод не |
означа |
||||||||||||
ет, |
что |
формула |
(3.2.2) будет |
давать |
|
неправдоподобные результаты. |
|||||||||
|
Приведем следующий пример, |
окончательные результаты для ко-- |
|||||||||||||
торого заимствованы из работы /3 /. |
Осадки основания плотины |
Ка |
|||||||||||||
ховской ГЭС |
аппроксимировались |
формулой |
(3.1.1) с коэффициентами |
||||||||||||
S„* |
- 5,85; |
0 - |
0,127, т .е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S (t)-5 .8 5 t0-127 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где t - в месяцах, S - в сантиметрах. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисления по этой формуле дали следующие результаты t |
|
|
600 |
||||||||||||
месяцев |
(50 |
лет) S - |
13,2 см; |
t - |
1200 мес. |
(100 лет) |
S - |
14,4 |
|||||||
см. |
Эти результаты являются |
правдоподобными, |
поскольку фактичес |
||||||||||||
кая |
осадка |
S - |
11,5 |
см за t |
- |
180 мес., |
практически совпадает с |
||||||||
вычисленной S - |
11,23 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подобные примеры расчетов |
на основе формул (3 .1 .1 ), |
(3 .1 .3 ), |
||||||||||||
(3.2.2) |
в литературе |
приводятся для |
|
грунтов, |
металлов |
и |
других |
||||||||
строительных материалов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для получения формулы релаксации необходимо решить уравнение |
||||||||||||||
(3.2.1) |
относительно т. В общем виде |
решение будет таким |
|
|
|
- 54 -
|
t |
|
T (t) - |
G o [r('th jR (t-v )r(v )d v ] |
(3 .2 .3) |
|
0 |
|
здесь R(t-v) |
резольвента ядра K (t-v). |
Резольвента имеет сложный |
вид /3 / и поэтому здесь не приводится.
Рассмотрим процесс чистой релаксации, т .е . будем полагать, что т остается постоянной в течении опыта над образцом грунта. Тогда в соотношении
t |
|
1 (t) - G or[l-jR (t-v)dv] |
(3 .2 .4) |
О |
|
достаточно найти выражение интеграла от ядра релаксации. Подста
вим в формулу (2.1 |
.15) |
|
г |
Р A(l-X) |
1-Х |
JK (t-v)dv |
- J---- ------dv - |
At |
°° ( t V
инайдем искомое в следующем виде
р |
1-Л |
|
At |
(3 .2 .5) |
|
jR (t-v)dv -------- - |
||
|
1+At |
|
После подстановки значения этого интеграла в |
(3 .2 .4 ), найдем |
|
выражение для чистой релаксации |
|
|
■e(t) |
- |
(3 .2 .6) |
|
1-Л |
|
|
1+At |
|
здесь То-Gor |
значение напряжения в условный момент времени t-0 . |
|
При t -О, т(0 )-0 , |
а при t-*« Х(*)-0, т .е . релаксация |
по этой формуле |
происходит полностью. |
|
|
Для описания ползучести грунтов в широком диапазоне действу |
||
ющих напряжений |
в уравнении (3 .2 .1) необходимо вместо т записать |
*(г).
- Бб |
- |
|
t |
|
|
<pCr(t)] - X(t)+jK(t-v)X(v)dv |
, |
(3.2.7) |
0 |
|
|
Выберем ф(т) в виде Вт^Чр(т), K(t-v) по формуле (3.1.7) и считая, что действует постоянное напряжение т, получим
BT(t)m - t ^l+At1 |
(3.2.8) |
Здесь В имеет размерность на]пряжения. Отсюда найдем деформацию
х( i-x v- 1/m
|
|
|
• |
11+А |
T |
|
(3.2.9) |
||
|
" t iВ - K |
|
|
|
|||||
При т -1 , |
обозначая |
В-Qo, |
приходим к полученному ранее линейному |
||||||
выражению |
(3 .2 .2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, |
чтобы получить |
|
уравнение релаксации необходимо ре |
||||||
шить уравнение |
(3 .2 .7) |
относительно |
(х). |
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
X(t) |
- <p[r(t)3-jR(t-v)<pCr(v)3dv |
(3.2.10) |
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
При постоянной деформации получим |
|
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t ( t ) |
- V C rl(l-jR (t-v)dvj |
|
(3.2.11) |
||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
Подставим сюда |
значение |
интеграла |
от резольвенты |
по формуле |
|||||
(3 .2 .5) и найдем уравнение чистой релаксации |
|
||||||||
|
4 t ) - |
|
1-Х |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+At |
|
|
|
|
|
|
Вид его |
совпадает |
о |
уравнением (3 .2 .6 ), но здесь |
в отличие от |
|||||
(3 .2 .6) |
начальное напряжение при релаксации следует |
вычислять по |
|||||||
формуле Х0-ВТт . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для получения |
уравнений, |
позволяющих описывать |
ступенчатую |
- 66 -
ползучесть необходимо интеграл в правой части представить в виде суммы интегралов, число которых будет равно количеству ступеней нагружения.
Поясним это на примере уравнения (3 .2 .7 ). Если действует од на ступень нагружения равная постоянному напряжению х± от момента
приложения ее t -О до любого времени наблюдения t , |
то |
деформацию |
|||||||||||
следует вычислять |
из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q»Cr(t)3 - |
ti^l+ jK (t-v )d v j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предположим, |
что |
в момент времени t i , |
|
нагрузка увеличилась, |
на |
||||||||
величину t 2, |
тогда деформацию следует |
вычислять из |
уравнения |
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
<pCr(t)] |
- T(t)+TijK(t-v)dv+T2jK (t-v)dv |
|
|
(3.2.12) |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
Под t будем понимать |
время |
наблюдения |
за |
деформацией, |
a |
t i время |
|||||||
действия напряжения t i , например, |
после |
окончания |
определенного |
||||||||||
этапа строительства. |
Напряжение *С2 - |
вызвано нагружением на сле |
|||||||||||
дующем этапе |
строительства |
t> ti |
и |
т.д . |
|
При t< ti T ( t) - ti, |
а |
при |
|||||
t» ti t( t) - ti+ t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в уравнение |
ступенчатой |
ползучести сначала |
одноч |
||||||||||
ленную функцию K(t-v) |
(3 .1 .7 ), |
а затем |
в |
виде |
двучлена, |
|
|
|
|||||
|
K (t-v,v)-A (l-*X t-v) |
- X |
|
|
- X |
|
|
(3.2.13) |
|||||
|
+A(l-X)v |
|
|
||||||||||
представляющего собой сумму разностной и неразностной функций. |
|
||||||||||||
После интегрирования |
получим |
два |
уравнения |
для |
вычисления |
||||||||
деформаций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<pCr(t)3 - |
T (t)+ tiA t |
1-Х |
|
|
1-Х |
|
|
(3.2; 14) |
||||
|
+ t2A (t-ti) |
|
|
|
|||||||||
?CT(t)3 - T(t)+2TiAt |
1-Х |
|
1-Х |
|
1-Х |
1-Х |
|
(3.2.15) |
|||||
+T2A (t-ti) |
+T2A(t |
- t i |
) |
|
|||||||||
Сравнивая почленно правые |
части |
уравнений, |
видим, |
что |
в |
||||||||
уравнении (3.2.16) |
влияние |
времени действия t i |
первой ступени |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 57 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
последующий |
процесс |
ползучести |
более существенно и будет расп |
||||||||||||||
ространяться |
на |
длительное |
время |
наблюдения |
за |
деформацией. |
|||||||||||
Пусть, |
например, |
Т1-Т2, |
а |
время |
наблюдения t» ti, |
тогда полагая, |
|||||||||||
что t - t i * t , |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
,q>CT(t)l - |
|
|
|
1-Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T (t)+2tiA t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
<pCT(t)] - |
|
|
|
1-Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T (t)+4tiA t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Этот эффект |
получен |
|
без введения дополнительных констант |
в |
|||||||||||||
уравнение |
наследственности. |
|
Расширение |
возможностей |
уравнений |
||||||||||||
достигается за счет выбора ядра в виде двучлена (3.2.13). |
|
|
|||||||||||||||
Вычисления |
эмпирических |
констант А и Л можно производить |
по |
||||||||||||||
любой |
методике |
изложенной например, |
в работе |
/3 /, |
но уравнения |
||||||||||||
(3.2.14) и (3.2.15) дают |
дополнительные |
возможности. |
Например, |
||||||||||||||
при вычислениях |
точки, ( ti) |
на экспериментальной кривой можно выб |
|||||||||||||||
рать в |
долях t i . Часто |
комбинации констант, входящие в уравнения, |
|||||||||||||||
не приводят |
к однозначному |
ответу * |
Поэтому всегда стоит |
вопрос |
о |
||||||||||||
дополнительном |
обосновании |
их достоверности. |
Большую достовер |
||||||||||||||
ность |
можно обеспечить, |
если описать различные опыты. |
В |
данном |
|||||||||||||
случае |
следует |
вначале |
найти |
коэффициенты |
А и Л |
из |
опытов на |
||||||||||
простую ползучесть, |
а затем |
провести корректировку |
их при описа |
||||||||||||||
нии ступенчатой ползучести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дополнительную независимую |
информацию даст проверка по опи |
||||||||||||||||
санию опытов на релаксацию, |
но для этого нужно знать резольвенту |
||||||||||||||||
ядра (3 .2 .13). |
Она известна и представляет собой знакопеременный |
||||||||||||||||
медленно сходящийся ряд, |
поэтому практически пользоваться |
ей тру |
|||||||||||||||
доемко. |
Известен более простой прием нахождения |
интеграла от ре |
|||||||||||||||
зольвенты, |
предложенный А.П.Бронским |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
jR(t-v,v)dv - |
jK(t-v,v)dv / l+J*K(t-v,v)dv |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
' |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользовавшись этим приемом получим компактное уравнение релак сации
бо
6 (t)
1-Л
l+2At
вдеоь б0 - напряжение в начале процесса релаксации.
- 68 -
Таким образом, рекомендованная система опытов на простую и ступенчатую ползучесть, а также на релаксацию напряжений позволя ет повысить достоверность определяемых эмпирических констант.
3.3. Прикладные реологические уравнения, полученные на основе дробно-линейного ядра ползучести
Теория наследственной ползучести используется для прогнози рования реологических свойств грунтов, так как с единых теорети ческих позиций позволяет получить все необходимые прикладные уравнения ползучести и релаксации. Как правило, из этих приклад ных уравнений можно получить наиболее распространенные эмпиричес
кие формулы, |
применяемые для описания частных случаев ползучести |
|
и релаксации |
грунтов |
/1 ,2 ,3 ,5 /. |
Наследственная |
теория ползучести легко адаптируется к любым |
грунтам из-за широких возможностей выбора соответствующих функций
ф(т), Ф(б) и K(t) |
в исходных уравнениях. |
|
|
|
||
Например, в |
качестве ф(т) |
можно выбирать степенную функцию |
||||
(1.3.1) |
или ограниченную функцию |
(1.3.8) и |
другие. |
В |
параграфе |
|
3.1 использовано экспоненциальное |
ядро K (t), |
позволяющее получить |
||||
уравнение для описания ограниченной ползучести песков |
и глин при |
|||||
любых напряжениях. Функция K (t), |
с особенностью при t -О, |
применя |
||||
ется для |
описания |
неограниченной ползучести. |
Уравнения, |
получен |
ные на ее основе приведены в предыдущем параграфе.
В данном параграфе рассмотрим возможности уравнения наследс
твенной ползучести с дробно-линейной функцией K (t). |
В качестве |
исходного примем нелинейное уравнение |
|
t |
|
4>tT(t)] - t(t)+ Jk (t-v )T (v )d v , |
(3.3.1) |
о |
|
которое связывает деформацию т о напряжением х в любой момент времени t . Как уже отмечалось, успешное описание эксперименталь ных данных для конкретного грунта и прогнозирования деформации на длительный промежуток времени t зависит от оптимального выбора вида функции ф(т) и ядра ползучести K (t-v).
|
|
|
|
- 59 - |
|
|
В работе /3 / |
на основании многочисленных экспериментов для |
|||||
различных грунтов |
рекомендуется следующие выражения <р и К. |
|||||
ф(г) |
Gots |
|
|
К 8-1) |
|
(3.3.2) |
- --------- т |
K (t-v) - |
' |
||||
|
•ts+GoT |
|
CT+(t-v)]2 |
|
||
здесь Go - |
начальный модуль сдвига, t e - предел |
текучести, кото |
||||
рые определяются |
из |
кратковременных опытов. |
Для нахождения эмпи |
|||
рических констант |
б и т , |
необходимо использовать |
опыты на поле;, |
|||
честь для |
того же грунта. |
Выведем прикладные уравнения для описа |
ния ползучести при постоянных и переменных нагрузках и релаксации напряжении.
Рассмотрим ползучесть |
|
при |
постоянном |
т-const. Уравнение |
||
(3.2.1) с учетом |
выражений |
(3 .3 .2) |
запишется |
так |
||
*r(t) |
г |
|
p Т(б-1) |
(3 .3 .3 ) |
||
- t ( t ) 1+ |
-------------- |
|||||
ts+G0T(t) |
|
L |
J0 CT+(t-v)3 |
|
||
Деформация |
г |
после |
соответствующих преобразований (3.3.3) |
|||
определяется из |
следующего выражения |
|
||||
r ( t) |
|
|
|
t(T+6t) |
|
(3.3.4) |
|
|
|
|
|
ЧФ- z М “ z "И
Отсюда при t -О получим кривую мгновенного деформирования -1
(3 .3 .5 )
а значение стабилизированной деформации (или осадки) найдем при t"*».
|
|
-1 |
Т(») - |
^ в)] |
(3 .3 .6 ) |
Таким образом, получены три уравнения:
1)для определения деформации в любой заданный момент време ни t ) , (3 .3 .4 );
2)для определения деформации сразу «осле приложения нагруз ки, (3 .3 .5 );
- 60 -
3) |
максимальное значение деформации, (3 .3 .6 ), |
которое можн |
||||
вычислить по формуле (3 .3 .4 ). |
|
|
|
|
||
Решением уравнения (3.3.1) |
относительно т |
является соотноше |
||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
T (t) |
- q>Cr(t)]-jR(t-v)iptr(v)]dv |
|
|
(3 .3 .7) |
||
|
|
О |
|
|
|
|
Если рассматривать |
процесс релаксации напряжения ^ (t) |
при постоян |
||||
ном значении фСтЗ, |
то из (3 .3 .7) |
следует |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t ( t ) |
- iftr(t)j(l-jR (t-v )d v j |
|
|
(3 .3 .8) |
||
В этом случае |
резольвенту R(t-v) |
ядра K(t-v) можно не |
определять, |
|||
а воспользоваться приближенной формулой |
|
|
|
|||
t |
t |
t |
|
|
|
|
jR (t-v)dv - |
jK (t-vjdv[l+jK (t-v)dv] |
|
|
(3 .3 .9) |
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
т .е . найти интеграл |
от ядра релаксации R (t-v). |
|
|
|
||
Подставим в формулу (3.3.9) |
|
|
|
|
||
jK (t-v)dv |
- J- |
T(S-l) |
(S -l)t |
|
|
|
tfv - |
T+t |
|
|
|
||
|
CT+(t-v)]2 |
|
|
|
||
и получим искомое выражение |
|
|
|
|
||
|
|
(5 - l)t |
|
|
(3 .3 ,9 ') |
|
|
|
- v )d v -------------- |
|
|
||
Таким образом, |
все необходимые функции, |
входящие |
в |
(3 .3 .8 ), |
известны и можно получить окончательное выражение для простой ре лаксации