![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Теория вероятностей и математическая статистика
..pdf![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O71x1.jpg)
Рис. 2.6. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.2)
2. Для каждого частичного интервала найдем xicp :
xicp = xi +2xi+1 .
Вычислим значения x и S по формулам (2.4); расчеты поместим в табл. 2.6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
x − x |
|
|
xi |
|
n |
x2 |
|
|
xi ni |
|
xi2 ni |
|
|
|
|
i i+1 |
|
|
|
ср |
|
i |
iср |
|
|
ср |
|
ср |
|
|
|
3–8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5,5 |
|
6 |
30,25 |
|
36,0 |
|
181,5 |
|||
2 |
|
|
8–13 |
|
|
10,5 |
|
8 |
110,25 |
|
84,0 |
|
882,0 |
||
3 |
|
|
13–18 |
|
|
15,5 |
|
15 |
240,25 |
|
232,5 |
|
3603,75 |
||
4 |
|
|
18–23 |
|
|
20,5 |
|
40 |
420,25 |
|
820,0 |
|
16 810,0 |
||
5 |
|
|
23–28 |
|
|
25,5 |
|
16 |
650,25 |
|
480,0 |
|
10 404,0 |
||
6 |
|
|
28–33 |
|
|
30,5 |
|
8 |
777,25 |
|
244,0 |
|
7442,0 |
||
7 |
|
|
33–38 |
|
|
35,5 |
|
7 |
1260,25 |
248,5 |
|
8821,75 |
|||
∑ |
|
|
– |
|
|
– |
|
100 |
– |
|
|
2070,0 |
|
48 145,0 |
|
Находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
2070 |
|
S |
2 |
1 |
(48145 −100 (20,7) |
2 |
) = 53,49; |
|
|
|||||
100 |
= 20,7; |
|
= |
|
|
S = 7,31. |
|||||||||
|
99 |
|
71
3. По виду гистограммы (см. рис. 2.6) можно предположить, что исследуемый признак подчиняется нормальному закону распределения.
Найдем теоретические частоты ni′ по формуле (2.2) при n = 100; x = 20,7; S = 7,31:
|
|
n′ = 100 Ф |
xi+1 − 20,7 |
|
− Ф |
xi − 20,7 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i |
|
|
7,31 |
|
7,31 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Расчеты для нахождения критерия χн2 |
приведены в табл. 2.7. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
(xi ;xi+1) |
|
|
ni |
|
|
|
ni′ |
|
|
(ni − ni′)2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ni′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
(−∞) –8 |
|
|
6 |
|
|
|
|
4,09 |
|
0,89 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
8–13 |
|
|
8 |
|
|
|
|
10,60 |
|
0,64 |
|
|||
3 |
|
13–18 |
|
|
15 |
|
|
|
20,88 |
|
1,66 |
|
||||
4 |
|
18–23 |
|
|
40 |
|
|
|
26,60 |
|
6,75 |
|
||||
5 |
|
23–28 |
|
|
16 |
|
|
|
21,96 |
|
1,62 |
|
||||
6 |
|
28–33 |
|
|
8 |
|
|
|
|
11,22 |
|
0,92 |
|
|||
7 |
|
33– (+∞) |
|
|
7 |
|
|
|
|
4,65 |
|
1,19 |
|
|||
∑ |
|
– |
|
|
100 |
|
|
|
– |
|
|
χн2 =13,67 |
||||
|
4. Число интервалов r равно 7. Проверку гипотезы о нормаль- |
|||||||||||||||
ном |
распределении |
проводим при |
уровне значимости α = 0,05 |
|||||||||||||
и числе степеней свободы, равном |
k = r − 3 = 7 − 3 = 4. Из таблицы |
|||||||||||||||
(cм. прил. 5) находим χк2p = 9,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В нашем примере |
χн2 |
= 13,67, |
т.е. |
χн2 > χкр2 |
. Следовательно, |
опытные данные не согласуются с нормальным законом распределения и гипотеза о нормальном распределении отвергается.
72
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O73x1.jpg)
2.3.2. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов (xi ;xi+1 ) и со-
ответствующих им частот ni , причем ni = n (объем выборки).
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.
Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, необходимо:
1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю xв, приняв в качестве «представителя» i-го ин-
тервала его середину xicp = (xi + xi+1 ) / 2.
2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: λ* = 1/ xв.
4.Вычислить теоретические частоты по формуле (2.3).
5.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = r − 2,
где r – число интервалов выборки c учетом объединения малочисленных частот.
Задача 2.3. В результате испытания 200 элементов на длительность работы в часах получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 2.8. Во второй строке таблицы указаны интервалы времени в часах, в третьей – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределахсоответствующего интервала.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
xi − xi+1 |
0–5 |
5–10 |
10–15 |
15–20 |
20–25 |
|
25–30 |
ni |
133 |
45 |
15 |
4 |
2 |
|
1 |
73
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O74x1.jpg)
Решение:
1. Построим гистограмму эмпирических частот (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.3)
Предполагаемое распределение – показательное.
2. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):
хв = (133 2,5 + 45 7,5 +15 12,5 + 4 7,5 + +2 22,5 +1 27,5) / 200 = 1000 / 200 = 5.
3. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:
λ = 1/ хв = 1/ 5 = 0,2.
Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид f (x) = 0,2e−0,2 x (x > 0) .
4. Найдем вероятности попадания случайной величины X в каждый изинтерваловпо формуле Pi = P(xi < X < xi+1 ) = e−0,2 xi − e−0,2 xi+1 :
P1 = P(0 < X < 5) = 1− e−1 = 0,6321;
P2 = P(5 < X < 10) = e−1 − e−2 = 0,2326; P3 = P(10 < X < 15) = e−2 − e−3 = 0,0855;
74
P4 = P(15 < X < 20) = e−3 − e−4 = 0,0315;
P5 = P(20 < X < 25) = e−4 − e−5 = 0,0116;
P6 = P(25 < X < 30) = e−5 − e−6 = 0,0042.
5. Найдем теоретические частоты по формуле (2.3): ni′ =200Pi , где Pi – вероятность попадания случайной величины X в i-й интервал. Получаем:
n′ = 200 0,6321 = 126,42;
1
n′ = 200 0,2326 = 46,52;
2
n′ = 200 0,0855 = 17,1;
3
n′ = 200 0,0315 = 6,3;
4
n′ = 200 0,0116 = 2,32;
5
n′ = 200 0,0042 = 0,84.
6
6. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Составим расчетную табл. 2.9. Для упрощения вычислений объединим интервалы 4, 5, и 6 малочисленных частот в один интервал, получим интервал (15; 30).
Объединим также малочисленные частоты (4 + 2 + 1 = 7) и соответствующиеимтеоретические частоты (6,30 + 2,32 + 0,84 = 9,46).
|
|
|
|
|
Таблица 2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ni |
ni′ |
ni − ni′ |
(ni − ni′)2 |
|
(ni − ni′)2 |
|
|
|
|
|
|
ni′ |
1 |
133 |
126,42 |
6,58 |
43,2964 |
|
0,3425 |
2 |
45 |
46,52 |
–1,52 |
2,3104 |
|
0,0497 |
3 |
15 |
17,10 |
–2,10 |
4,4100 |
|
0,2579 |
4 |
7 |
9,46 |
–2,46 |
6,0516 |
|
0,6397 |
Σ |
n = 200 |
– |
– |
– |
|
χн2 =1,29 |
75
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O76x1.jpg)
Из таблицы критических точек распределения χ2 по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s − 2 = 4 − 2 = 2
находим χкр2 = 6,0.
Поскольку χн2 < χкр2 , нет оснований отвергнуть гипотезу
о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
2.3.3. Проверка гипотезы равномерного распределения
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов xi−1 − xi и со-
ответствующих им частот ni , причем ni = n (объем выборки).
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении Х, т.е. по закону
|
1 |
f (x) = |
|
(b − a) |
|
|
0 |
|
в интервале (a,b), вне интервала (a,b),
необходимо:
1. Оценить параметры а и b – концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через a* и b* обозначены оценки параметров)
a* = x − 3σ |
в |
, b* = x |
в |
+ 3σ |
в |
. |
в |
|
|
|
2. Найтиплотностьвероятности предполагаемогораспределения
f(x) = 1(b* − a* ) .
3.Найти теоретические частоты:
n' = nP = n[ f (x) (x − a* )] = n |
1 |
(x − a* ); |
||
|
||||
1 |
1 |
1 |
b* − a* |
1 |
|
|
|
|
76
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O77x1.jpg)
n'2 |
= n'3 |
= ... = ns−1 |
= n |
|
1 |
(xi − xi−1 ), (i = 2, 3, ..., s −1); |
||
b* − a* |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n's = n |
1 |
|
(b* − xs−1 ). |
|||
|
|
b* − a* |
||||||
|
|
|
|
|
|
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s − 3,
где s – число интервалов, на которые разбита выборка.
Задача 2.4. Произведено n = 200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 2.10 (в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появлений А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.
Таблица 2.10
Интервал |
2–4 |
4–6 |
6–8 |
8–10 |
10–12 12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 |
|||||
Частота |
21 |
16 |
15 |
26 |
22 |
14 |
21 |
22 |
18 |
25 |
Решение:
1. Построим гистограмму частот (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Гистограмма эмпирических частот (к задаче 2.4)
77
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O78x1.jpg)
По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.
2. Для вычисления выборочной средней xв и выборочного среднего квадратического отклонения σв примем середины xiср
интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант
(табл. 2.11).
Таблица 2.11
i |
x |
− |
x |
x |
|
n |
x2 |
x n |
i |
x2 |
n |
|
i |
|
i+1 |
|
ср |
i |
ср |
ср |
|
ср |
|
1 |
|
2–4 |
3 |
21 |
9 |
63 |
|
189 |
|||
2 |
|
4–6 |
5 |
16 |
25 |
80 |
|
400 |
|||
3 |
|
6–8 |
7 |
15 |
49 |
105 |
|
735 |
|||
4 |
8–10 |
9 |
26 |
81 |
234 |
|
2106 |
||||
5 |
10–12 |
11 |
22 |
121 |
242 |
|
2662 |
||||
6 |
12–14 |
13 |
14 |
169 |
182 |
|
2366 |
||||
7 |
14–16 |
15 |
21 |
225 |
315 |
|
4725 |
||||
8 |
16–18 |
17 |
22 |
289 |
374 |
|
6358 |
||||
9 |
18–20 |
19 |
18 |
361 |
342 |
|
6498 |
||||
10 |
20–22 |
21 |
25 |
441 |
525 |
|
11 025 |
||||
∑ |
|
– |
– |
200 |
– |
2462 |
|
37 064 |
|
|
Найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xв |
= |
|
ni |
xi |
= |
|
|
2462 |
= 12,31; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
1 |
|
|
r x2 |
n − n |
|
2 = |
|
|
1 |
37 064 − 200 12,31 2 |
|
= 5,83. |
||||||||
в |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n −1 |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
199 ( |
|
|
( |
) |
) |
|
||||||
|
|
|
|
i 1 cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем оценки параметров a |
и b равномерного распределе- |
||||||||||||||||||||
ния по формулам a* = xв − |
3σв; b = |
|
в + |
3σв, |
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
получим
a* = 12,31−1,73 5,83 = 2,22; b =12,31+1,73 5,83 = 22,40.
78
![](/html/65386/197/html_GWcEYwxiaW.RmRd/htmlconvd-xnyV5O79x1.jpg)
3. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
|
f (x) = 1 |
|
= 1 |
(22,40 |
− 2,22) |
= 0,05. |
||
|
|
(b* − a* ) |
|
|
||||
4. Найдем теоретические частоты: |
|
|
||||||
′ |
|
|
* |
|
|
|
|
|
= n |
f (x) (x1 − a ) |
= 200 0,05 |
(4 − 2,22) = 17,8; |
|||||
n1 |
||||||||
|
′ |
= 200 0,05 (x2 − x1 ) = 10 |
(6 − 4) = 20. |
|||||
|
n2 |
Длины третьего–девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам, итеоретическаячастота второго интервала одинаковы, т.е.
n'3 = n'4 = n'5 = n'6 = n'7 = n'8 = n'9 = 20; n'10 = 200 0,05 (b* − x9 ) = 10 (22,40 − 20) = 24.
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, для этого составим табл. 2.12.
|
|
|
|
|
Таблица 2.12 |
|||
|
|
|
|
|
|
(ni − ni′)2 |
|
|
i |
ni |
ni′ |
(ni − ni′) |
2 |
|
|
||
|
|
ni′ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
21 |
17,8 |
10,24 |
|
0,58 |
|
|
|
2 |
16 |
20,0 |
16,0 |
|
0,80 |
|
|
|
3 |
15 |
20,0 |
25,0 |
|
1,25 |
|
|
|
4 |
26 |
20,0 |
36,0 |
|
1,80 |
|
|
|
5 |
22 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
6 |
14 |
20,0 |
36,0 |
|
1,80 |
|
|
|
7 |
21 |
20,0 |
1,0 |
|
0,05 |
|
|
|
8 |
22 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
9 |
18 |
20,0 |
4,0 |
|
0,20 |
|
|
|
10 |
25 |
24,0 |
1,0 |
|
0,04 |
|
|
|
∑ |
200 |
– |
– |
|
|
χн2 =6,92 |
|
79
Из расчетной таблицы получаем χн2 = 6,92. Из таблицы крити-
ческих точек распределения |
χ2 по уровню |
значимости α = 0,05 |
и числу степеней свободы k |
= r − 3 = 10 − 3 = 7 |
находим χкр2 = 14,1. |
Поскольку χн2 < χкр2 , нет оснований отвергать гипотезу о равномер-
ном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
80