книги / Решение электротехнических задач методом конечных элементов
..pdfЗамена интегрирования по всей области уравнений (6.18)– (6.21) на сумму интегралов по конечным элементам дает:
|
|
k (e) U R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U I |
|
|
|
|
|
|
|
U R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(e) |
a k (e) |
k (e) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a k (ge) gI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.22) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k (e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(e) |
|
|
|
(e) |
|
U R |
|
|
|
U I |
|
k (e) |
|
U I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a k (ge) gR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.23) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
(e) |
|
I |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
C |
2 |
|
I |
|
|
|
a |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
; |
|
|
|
(6.24) |
|||||||||||||||||||
|
(e) |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
2 |
|
R g |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
(e) |
|
|
|
R |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
C |
2 |
|
R |
|
|
|
a |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
, |
|
|
(6.25) |
|||||||||||||||||
|
(e) |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
2 |
|
R |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где k (e) |
|
B T |
B rdr; |
|
|
k (e) |
|
|
|
N T |
N rdr; |
|
k (e) |
|
N rdr; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
||
k (e) N T N r R0 |
; k (e) |
|
|
|
N T rdr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При условии, что r Ni Ri |
N j Rj |
|
и |
|
|
L1a L2b dr |
|
|
a!b! |
|
|
L(e) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a b 1 ! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
локальные матрицы коэффициентов определяются следующим образом:
(e) |
|
|
T |
|
|
1 |
|
1 |
1 Rj |
Ni Ri |
N j Rj dr |
|||||||||
k |
|
B |
|
B rdr |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
L(e) |
2 |
1 |
||||||||||||||||
|
L(e ) |
|
|
|
|
|
1 |
Ri |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 L(e) Ri Rj |
|
RСр 1 |
1 |
; |
(6.26) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
L(e) |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
(e) |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L |
|
1 |
1 |
|
|
41
k (e) |
|
N T |
N rdr |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
Ni3 Ri Ni2 N j Rj |
||||
|
2 |
|
|
2 |
Rj |
L( e ) Ni |
N j Ri Ni N j |
|
2 |
|
|
Ni N2 j r |
|
|
|
|
Ni |
r |
|
dr |
|||
( e ) N j Ni r |
N j r |
|
|
||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
Ni2 N j Ri |
Ni N j2 Rj |
|
|||||
|
|
|
|
|
Rj |
dr |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
||
Ni N j |
Ri N j |
|
|
L(e) 3Ri Rj |
Ri Rj |
|
|||
|
|
|
Ri Rj |
|
; |
|
12 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ri 3Rj |
|
|
|
k G(e) N T |
|
|
|
|
N |
r |
|
|
|
|||||
|
|
rdr i |
|
rdr |
|
|
|
|||||||||
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
L( e ) N j r |
|
|
|
|||||
|
|
Ni2 Ri Ni N j |
Rj |
|
|
|
L(e) 2Ri Rj |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
L |
Ni N j Ri N j |
|
|
Rj |
|
|
|
Ri 2Rj |
|
|
||||||
(e) |
|
|
|
L(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k I |
N rdr |
|
|
|
|
2Ri |
Rj |
Ri 2Rj |
; |
|||||||
|
|
6 |
|
|||||||||||||
|
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k (e) N |
T N r R0 |
|
0 |
|
0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
По результатам расчета МКЭ сопротивление токопроводящей жилы единичной длины переменному току можно определить по формуле
|
2 |
R |
|
|
|
|
|
|||
R |
C |
|
J |
|
2 rdr. |
(6.31) |
||||
|
|
|||||||||
2 |
||||||||||
|
|
I |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление токопроводящей жилы переменному току можно определить также с помощью выражения [9]
|
R0 1 F(x) , |
(6.32) |
R |
42
где R0 – сопротивление токопроводящей жилы единичной длины
постоянному току, Ом/м, R0 1 1 2 ; x RC k ; k – коэффициент
RC
вихревых токов, 1/м, k |
а ; F(x) – функция, значения которой |
|||||||||
от аргумента x приведены в табл. 6.1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
|
|
Значения функции F(x) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
F (x) |
x |
F (x) |
|
x |
F(x) |
x |
F(x) |
x |
F (x) |
0,0 |
0 |
1,7 |
0,042 |
|
3,4 |
0,456 |
5,1 |
1,078 |
6,8 |
1,673 |
0,1 |
0 |
1,8 |
0,052 |
|
3,5 |
0,492 |
5,2 |
1,114 |
6,9 |
1,708 |
0,2 |
0 |
1,9 |
0,064 |
|
3,6 |
0,529 |
5,3 |
1,149 |
7,0 |
1,743 |
0,3 |
0 |
2,0 |
0,078 |
|
3,7 |
0,566 |
5,4 |
1,184 |
7,1 |
1,778 |
0,4 |
0 |
2,1 |
0,094 |
|
3,8 |
0,603 |
5,5 |
1,219 |
7,2 |
1,813 |
0,5 |
0 |
2,2 |
0,111 |
|
3,9 |
0,641 |
5,6 |
1,254 |
7,3 |
1,848 |
0,6 |
0,001 |
2,3 |
0,131 |
|
4,0 |
0,678 |
5,7 |
1,289 |
7,4 |
1,884 |
0,7 |
0,001 |
2,4 |
0,152 |
|
4,1 |
0,715 |
5,8 |
1,324 |
7,5 |
1,919 |
0,8 |
0,002 |
2,5 |
0,175 |
|
4,2 |
0,752 |
5,9 |
1,359 |
7,6 |
1,954 |
0,9 |
0,003 |
2,6 |
0,201 |
|
4,3 |
0,789 |
6,0 |
1,394 |
7,7 |
1,989 |
1,0 |
0,005 |
2,7 |
0,228 |
|
4,4 |
0,826 |
6,1 |
1,429 |
7,8 |
2,024 |
1,1 |
0,008 |
2,8 |
0,256 |
|
4,5 |
0,863 |
6,2 |
1,463 |
7,9 |
2,059 |
1,2 |
0,011 |
2,9 |
0,286 |
|
4,6 |
0,899 |
6,3 |
1,498 |
8,0 |
2,094 |
1,3 |
0,015 |
3,0 |
0,318 |
|
4,7 |
0,935 |
6,4 |
1,533 |
8,1 |
2,129 |
1,4 |
0,020 |
3,1 |
0,351 |
|
4,8 |
0,971 |
6,5 |
1,568 |
8,2 |
2,165 |
1,5 |
0,026 |
3,2 |
0,385 |
|
4,9 |
1,007 |
6,6 |
1,603 |
8,3 |
2,200 |
1,6 |
0,033 |
3,3 |
0,420 |
|
5,0 |
1,043 |
6,7 |
1,638 |
8,4 |
2,235 |
Задание
Дан одиночный проводник (см. рис. 6.1), по которому протекает ток частотой 200 Гц. Найти распределение магнитного потенциала, напряженности магнитного поля и плотности тока. Варианты заданий представлены в табл. 6.2.
43
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
|
Варианты заданий |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
RC , мм |
R0 , мм |
I R , A |
|
I I , A |
10 6 , 1/(Ом м) |
варианта |
11 |
|
|
|
|
58 |
1 |
50 |
1500 |
|
1500 |
||
2 |
12 |
52 |
1750 |
|
875 |
58 |
3 |
13 |
54 |
2000 |
|
500 |
58 |
4 |
14 |
56 |
2250 |
|
450 |
58 |
5 |
15 |
58 |
2500 |
|
2500 |
58 |
6 |
16 |
60 |
2750 |
|
1375 |
58 |
7 |
17 |
62 |
3000 |
|
750 |
58 |
8 |
18 |
64 |
3250 |
|
650 |
58 |
9 |
19 |
66 |
3500 |
|
3500 |
58 |
10 |
20 |
68 |
3750 |
|
1875 |
58 |
11 |
21 |
70 |
4000 |
|
1000 |
35,4 |
12 |
22 |
72 |
4250 |
|
850 |
35,4 |
13 |
23 |
74 |
4500 |
|
4500 |
35,4 |
14 |
24 |
76 |
4750 |
|
2375 |
35,4 |
15 |
25 |
78 |
5000 |
|
1250 |
35,4 |
16 |
26 |
80 |
5250 |
|
1050 |
35,4 |
17 |
27 |
82 |
5500 |
|
5500 |
35,4 |
18 |
28 |
84 |
5750 |
|
2875 |
35,4 |
19 |
29 |
86 |
6000 |
|
1500 |
35,4 |
20 |
30 |
88 |
6250 |
|
1250 |
35,4 |
21 |
31 |
89 |
5500 |
|
5500 |
58 |
22 |
32 |
90 |
5750 |
|
2875 |
58 |
23 |
33 |
91 |
6000 |
|
1500 |
35,4 |
24 |
34 |
92 |
6250 |
|
1250 |
35,4 |
Содержание отчета:
1.Титульный лист.
2.Задание.
3.Постановка задачи.
4.Аналитические формулы.
5.Результаты вычислений:
Номер узла |
r, мм |
uR, В с/м |
uI, В с/м |
|
|
|
|
44
gR , gI , JSR , JSI
Номер |
r , мм |
J R , А/м2 |
J I , А/м2 |
|
J |
|
, А/м2 |
|
|
||||||
узла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность магнитного поля определяется по формуле
H 1 u .0 r
Номер элемента |
r , мм |
H R , А/м |
H I , А/м |
|
H |
, А/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Сопротивления токопроводящей жилы, вычисленные по формулам (6.31) и (6.32). Определить невязку между значениями сопротивлений.
7. |
Графики uR f (r), |
uI f (r), |
|
J |
|
f (r) , |
|
H |
|
f (r) . |
|
|
|
|
|||||||
8. |
Код программы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Выводы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
7.Одномерная осесимметричная задача нестационарной теплопроводности
Процесс нестационарной теплопроводности в трехмерной постановке в цилиндрической системе координат описывается уравнением [1]
|
t |
|
1 |
|
t |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|||||||
c |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qV , |
(7.1) |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
z |
|
|||||||||||||
|
|
r r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||||||
где r , , z |
– координаты в цилиндрической системе координат; |
|||||||||||||||||||||
– коэффициент теплопроводности; qV |
– мощность внутреннего |
|||||||||||||||||||||
источника тепла; c |
– удельная теплоемкость; |
– плотность среды; |
||||||||||||||||||||
– время. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
задачу |
охлаждения |
|
изолированного |
провода |
(рис. 7.1). Будем считать, что температура изменяется только по одной пространственной координате – по радиусу. Тогда уравнение (7.1) в одномерной осесимметричной постановке запишется как
c |
t |
|
1 |
t |
|
(7.2) |
|
r |
qV . |
|
|||
|
|
r r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
Ra |
Rb |
r |
|
|
|
0 |
|
|
|
Рис. 7.1. Схема изолированного провода |
46
Граничные условия: на оси rt r 0 0 ; на внешней поверхно-
сти |
t |
|
r R |
(t |
r R |
t |
) . |
Здесь: |
– |
коэффициент теплоотдачи, |
||||
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
r |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вт/(м²·°С); |
t0 – температура окружающей среды, °С. |
|
||||||||||||
|
Распределение температуры по радиусу в нулевой момент |
|||||||||||||
времени определяется соотношением t(r,0) f (r) . |
|
|||||||||||||
|
Применяя метод Галёркина к уравнению (7.2), получим |
|
||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
u |
|
1 |
u |
|
|
|||
|
|
|
|
N |
c |
|
|
|
|
r |
qV dV 0 , |
(7.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
r r |
r |
|
|
где u – приближенное решение.
В результате преобразований уравнения (7.3) получим
Rb |
|
|
|
|
Rb |
|
|
|
|
|
T |
u |
|
|
|
||
c N T u rdr |
|
N |
rdr |
|
|||||||||||||
|
r |
|
|
r |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ra |
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
u |
|
|
(7.4) |
|||
|
N qV rdr Rb N |
|
|
|
0. |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||
Неизвестная функция u |
|
в уравнении (7.4) определяется соот- |
|||||||||||||||
ношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
i |
|
|
j |
j |
|
N |
, |
|
|
(7.5) |
|||||
|
u N U |
|
N U |
|
|
|
|
U |
|
|
|
||||||
где U – вектор-столбец узловых |
|
неизвестных; |
N – матрица |
||||||||||||||
функций формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица N одномерного симплекс-элемемента имеет вид |
|||||||||||||||||
|
|
N j |
|
Rj |
r |
|
|
r R |
(7.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
, |
|||||
|
|
(e) |
|
|
|
(e) |
|
||||||||||
N Ni |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
где L(e) – длина конечного элемента, L(e) Rj Ri ; Ri
динаты узлов конечного элемента.
Производная по пространственной координате r ся следующим образом:
u N U N U B U .
r r r
Здесь
и Rj – коор-
определяет-
(7.7)
|
N |
|
|
|
|
|
N |
i |
N j |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
(e) 1 |
1 . |
(7.8) |
||||||||
r |
r |
Ni |
N j |
r |
|
|
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||||
Матрица B называется матрицей градиентов. |
|
|
||||||||||||||||
Производная по временной координате запишется как [3] |
|
|||||||||||||||||
|
|
u |
|
N U |
|
N |
U |
. |
|
|
|
(7.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничное условие третьего рода на поверхности определяется выражением
|
u |
|
r Rb |
(u |
t |
) ( |
N |
U |
t ) . |
(7.10) |
|
||||||||||
|
r |
|
r Rb |
0 |
|
|
r R |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
С учетом выражений (7.5)–(7.10) уравнение (7.4) можно записать следующим образом:
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
b c N T N rdr |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rb |
|
N T |
|
N |
|
|
|
|
|
Ra |
|
|
T |
V |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
rdr U |
|
|
|
|
|
N |
|
q rdr |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b |
|
|
|
|
|
r R |
|
|
|
0 |
|
|
|
r |
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||
R |
|
|
N T |
N |
b |
U |
t R |
|
N |
T |
b |
0. |
(7.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
Переход от выражения (7.11) к сумме интегралов по элементам дает следующее выражение:
|
|
|
m |
(e) |
U |
|
k (e) |
U |
R |
|
k (e) |
U |
|
|
f (e) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qV |
|||
(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k (e) |
|
B T B rdr ; k (e) N |
T N r R |
; f (e) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
L( e )
f (e) , (7.12)
t0 Rb N T r Rb ;
(e) |
qV |
T |
|
(e) |
T |
N rdr . |
f qV |
N |
rdr ; m |
c N |
|||
|
|
L( e ) |
|
|
L( e ) |
|
|
Параметры |
, |
, c |
и qV постоянны в пределах конечного |
элемента. Матрица m (e) называется локальной матрицей теплоем-
кости (демпфирования) [3]. С учетом того, что
r Ni Ri N j Rj и L1a L2bdx a!b! L(e) , e a b 1 !
локальные матрицы коэффициентов, теплоемкости и локальные век- тор-столбцы свободных членов определятся таким образом:
(e) |
|
|
T |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 1 Rj |
Ni Ri |
N j Rj dr |
|
|||||||
k |
|
B |
|
B rdr |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(e) |
|
2 |
1 1 |
|
|||||||||||||||
|
L( e ) |
|
|
|
|
|
L |
|
|
Ri |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
1 L(e) |
Ri |
Rj |
|
RСр 1 |
1 |
; |
(7.13) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
L(e) |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
(e) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
1 |
1 |
|
|
m (e)
c
L( e )
c N T N rdr c |
|
2 |
|
Ni N2 j r |
|
|||||||
|
Ni |
|
r |
dr |
||||||||
|
|
( e ) |
|
( e ) |
N j Ni r |
N j r |
|
|||||
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ni3 Ri Ni2 N j Rj |
Ni2 N j Ri Ni N j2 Rj |
|
|||||||||
|
|
|
Rj |
|
|
|
|
|
|
Rj |
dr |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
Ri |
3 |
|
||||
Ni |
N j Ri Ni N j |
Ni N j |
N j |
|
49
|
cL(e) 3Ri Rj |
Ri Rj |
; |
(7.14) |
||||||||
12 |
|
Ri |
Rj |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ri 3Rj |
|
|
|
|||||
k (e) N T N |
|
N |
|
Ni |
N j |
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
|||||||
|
|
|
r Rb |
N j |
|
|
|
r Rb |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 1 |
0 |
0 |
; |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 1 |
0 |
1 |
|
qV
L( e )
|
(e) |
qV |
|
T |
||
|
f qV |
N rdr |
||||
|
|
|
|
L( e ) |
|
|
Ni |
2 Ri Ni N j Rj |
|
|
q L(e) |
||
|
N R N |
2 R |
dr |
V |
||
N |
|
|
6 |
|||
i |
j i |
j |
j |
|
|
2Ri Rj ;Ri 2Rj
(7.15)
(7.16)
|
|
|
(e) |
|
|
|
|
|
T |
|
0 |
(7.17) |
|
|
|
f |
t0 Rb N |
Rbt0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r Rb |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Запишем выражение (7.12) в виде [3] |
|
||||||||||
|
|
|
M |
U G |
K U |
F , |
(7.18) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M m (e) |
|
|
– |
|
|
глобальная |
матрица |
теплоемкости; |
||||
|
|
(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(e) |
k (e) R k (e) |
|
– глобальная матрица коэффициентов; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
qV |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (e) f (e) |
|
|
– |
|
глобальный |
вектор-столбец свободных |
(e)
членов; U G – глобальный вектор-столбец узловых неизвестных.
Частную производную по времени заменим конечно-разност- ным выражением [3]
50