книги / Функции комплексного переменного и операционное исчисление
..pdfy
3
0 |
5 |
x |
|
|
Рис. 1.5
г) Величина arg (z 1 i) есть угол между осью 0x и лучом, выходящим из точки z0 1 i . Неравенства г) определяют область, заключенную между двумя лучами (рис. 1.6).
y
1
z0
0 |
1 |
x |
Рис. 1.6
Пример 1.7. Определить вид кривой, заданной следующим
уравнением: |
|
а) z 1 i 3t it2 ; б) |
z 2cost 2isin t ; в) z 2ch t 3i sh t. |
11
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Поскольку |
z x iy , то |
x iy |
3t |
t2 |
, откуда |
|||||
1 |
|
i 1 |
|
следует, что x 1 3t, y 1 t2 . Это параметрические уравнения кривой. Исключив параметр t : t 1 3 x , получим уравнение
параболы y 1 |
1 x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) x iy 2cost 2isin t , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2cost, y 2sin t |
– параметрические уравнения окруж- |
||||||||||
ности радиусом 2 с центром в начале координат; |
|
|
|||||||||
в) x iy 2ch t 3ish t , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2ch t, y 3sh t . Исключимпараметр t : |
|
x |
ch t, |
y |
sh t . |
||||||
2 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле ch2t sh2t 1 имеем |
x2 |
|
y2 |
|
1 – уравнение |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
гиперболы.
1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного
Пусть даны две плоскости комплексных чисел |
z x iy и |
||
w u iv (рис. 1.7). |
|
|
|
y |
Z |
y |
W |
z |
D |
w |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
x |
|
|
Рис. 1.7 |
|
12
Если каждому числу z D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число w G , то считают, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного w f (z) , отображающая множество D в множество G .
Множество D называют областью определения функции |
f (z) . |
||||||||||||||||
Функцию f (z) |
можно представить в виде |
f (z) u x, y |
|||||||||||||||
iv x, y , |
x, y D , |
где u x, y Re f (z) , |
v x, y Im f (z) – |
||||||||||||||
действительные функции двух переменных x, y . |
|
|
|
||||||||||||||
Если каждому |
z D соответствует несколько разных зна- |
||||||||||||||||
чений w , то функция w f (z) |
называется многозначной. |
|
|||||||||||||||
1. |
Показательная функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ez ex cos y isin y . |
|
|
|
|
||||||||
2. |
Тригонометрические функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin z |
eiz e iz |
, cos z |
|
eiz |
e iz |
, tg z |
sin z |
, |
ctg z |
cos z |
. |
||||||
|
2i |
|
2 |
|
cos z |
sin z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Гиперболические функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
sh |
z |
ez e z |
, |
ch z |
ez e z |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
th z sh z , |
cth z |
ch z |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
sh z |
|
|
|
|
|||
4. Связь между тригонометрическими и гиперболическими |
|||||||||||||||||
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sh iz i sin z, |
ch iz cos z, |
|
|
|
|
sin iz i sh z, cos iz ch z,
th iz i tg z, tg iz i th z,
cth iz i ctg z , ctg iz cth z.
13
5. Логарифмическая функция
Ln z ln z iArg z , где z 0
или Ln z ln z i (arg z 2k ) , k 0; 1; 2;...
Эта функция является многозначной; при k 0 получается главное значение логарифма:
ln z ln z i arg z.
Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:
Ln z1 z2 Ln z1 Ln z2 |
|
z |
|
Ln z1 Ln z2 ; |
; Ln |
1 |
|
||
|
||||
|
z2 |
|
|
|
Ln zn n Ln z; Ln n z |
|
1 Ln z. |
||
|
|
|
|
n |
6. Общая степенная функция |
|
|
|
|
za |
eaLn z . |
|
|
|
Функция многозначная, ее главное значение za ea ln z .
7. Обратныетригонометрические игиперболическиефункции
Arccos z iLn z |
|
z2 1 |
; |
||||||
Arcsin z iLn iz |
|
1 z2 |
; |
||||||
Arctg z |
i |
Ln 1 |
iz |
|
(z i); |
||||
|
|
iz |
|
||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
||||
Arcctg z |
i |
Ln |
z i |
(z i); |
|||||
|
|
||||||||
2 |
|
|
z i |
|
|
||||
Arch z Ln z |
z2 1 ; |
|
14
Arsh z Ln z |
z2 1 ; |
Arth z 12 Ln 11 zz ;
Arcth z 12 Ln zz 11 .
Все эти функции являются многозначными. Если в формулах брать главное значение логарифма, то получим главные зна-
чения обратных функций: arccos z , arcsin z, arctg z, arcctg z, arch z, arsh z, arth z, arcth z.
Пример 1.8. Вычислить: а) |
e (1 i) , |
б) ln ( 5) , в) |
(1 i)i , |
|||||||||||
г) sin (1 2i) , д) |
arcsin i , е) |
arth (1 i). |
|
|
||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) e (1 i) e e i e (cos isin ) e 23,1407 ; |
|
|||||||||||||
б) ln ( 5) ln |
|
5 |
|
i arg( 5) ln 5 i 1,6094 3,1416i ; |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
i ln 2 |
|
|
|
в) (1 i)i ei ln(1 i) |
|
i ln |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
|
4 |
e |
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
e 4 cosln |
2 isin ln |
|
|
|
|
|
|
0,4559(0,9406 0,3396i) 0,4287 0,1548i;
г) sin (1 2i) sin1 cos 2i cos1 sin 2i sin1 ch2 i cos1 sh2
0,8415 3,7622 i 0,5403 3,6269 3,1669 1,9595 i
д) arcsin i i ln i2 |
1 i2 |
i ln 1 |
2 |
||||||||||||
|
i ln |
|
1 |
2 |
|
|
|
i arg 1 |
2 , |
|
i ln |
2 1 i 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
i arg 1 |
2 , |
|
|
|
2 1 i , |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
i ln |
|
|
|
i ln |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i ln |
2 |
1 , |
0,8814i , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0,8814i . |
|
|
||||
|
i ln |
1 , |
3,1416 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
е) arth (1 i) |
1 Ln 1 (1 i) |
1 Ln 2 i |
1 ln ( 1 2i) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 (1 i) |
2 |
i |
2 |
|
1 ln |
|
1 2i |
|
i arg( 1 2i) |
1 ln |
5 i( arctg2) |
|||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 ln 5 |
|
( arctg2) 0,4024 1,0172i . |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.4. Дифференцирование функции комплексного переменного
Производной от функции w f (z) в точке z называется предел
lim |
w |
lim |
f (z z) f (z) |
f (z) , |
|
z |
z |
||||
z 0 |
z 0 |
|
когда z любым образом стремится к нулю. Если функция f (z) имеет в точке z0 производную f (z0 ) , то говорят, что
функция f (z) дифференцируема в точке z0 .
Функцию, имеющую непрерывную производную в любой точке области D комплексной плоскости, называют аналитической в этой области.
Для того чтобы функция f (z) U (x, y) iV (x, y) была ана-
литической в области D, необходимо и достаточно существование в этой области непрерывных частных производных функций
U (x, y) и V (x, y) , удовлетворяющих условиям Коши–Римана:
U V ,x y
U V .y x
При выполнении условий Коши–Римана производная f (z) находится по формулам:
16
PNRPU
f (z) |
U |
i |
V |
|
U |
i |
U |
|
V |
i |
U |
|
V |
i |
V . |
|
x |
|
x |
|
x |
|
y |
|
y |
|
y |
|
y |
|
x |
Пример 1.9. Проверить будет ли дифференцируемой функция f (z) cos z и найти производную, если она существует.
Решение.
cos z cos(x iy) cos x ch y isin x sh y,
т.е. U (x, y) cos x ch y, U (x, y) cos x ch y. Находим:
U |
sin x ch y, |
V |
sin x ch y, |
x |
|
y |
|
U |
cos x sh y, |
V |
cos x sh y. |
y |
|
x |
|
Таким образом, условия Коши–Римана выполняются. Поскольку частные производные от функций U и V непрерывны для любых точек (x,y), то функция cos z аналитична на всей комплексной плоскости. Ее производная определяется как
|
|
U |
|
V |
|
cos z |
|
x |
i |
x |
sin x ch y i cos x sh y |
(sin x cosiy cos x sin iy) sin(x iy) sin z .
|
Пример 1.10. Дана действительная часть U (x, y) x3 |
3xy2 |
||||
аналитической функции f (z) U iV . Найти функцию f(z). |
||||||
|
Решение. Имеем |
U |
3x2 |
3y2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
первым |
условием |
Коши–Римана: |
||
U |
V 3x2 3y2 . Интегрированием находим: |
|
|
|||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
V (x, y) 3x2 3y2 dy 3x2 y y3 (x) , где (x) |
– про- |
извольная функция.
17
Применим второе условие Коши–Римана: U |
|
V . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
Так как |
V |
6xy (x) , то |
|
U |
6xy (x). |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
y |
|
|
||||
Но из условия задачи находим, что |
U |
6xy . |
|
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6xy (x) 6xy , |
|
|
|||||
|
(x) 0 , (x) C , V 3x2 y y3 C , |
|
|
||||||
и |
f (z) x3 3xy2 i 3x2 y y3 C , |
|
|
||||||
т.е. |
f (z) x iy 3 Ci |
или f (z) z3 Ci . |
|
1.5. Интегрирование функций комплексного переменного
Интеграл от функции комплексного переменного по кривой
Пусть на комплексной плоскости (z) задана кусочногладкая кривая L, на ней выбрано направление, и в каждой точке кривой определены значения функции f (z) U (x, y) iV (x, y) .
Если функция f (z) непрерывна на кривой L, то f (z)dz суще-
L
ствует и сводится к двум криволинейным интегралам от действительных функций по формуле
f (z)dz U (x, y)dx V (x, y)dy i V (x, y)dx U (x, y)dy.
L L L
Если функция f (z) аналитическая в односвязной области D, и L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D и соединяющая точки z1 и z2 , то имеет место формула:
18
z2 f (z)dz (z2 ) (z1 ) (формула Ньютона–Лейбница),
z1
где (z) – первообразная функции f (z) .
При нахождения первообразной (z) по отношению к аналитической функции f (z) применяются те же формулы интег-
рирования, что и для функций действительного переменного.
Интегральная теорема Коши
Если функция f (z) аналитична в односвязной области D,
то интеграл по любому замкнутому контуру L, целиком лежащему в области D, равен нулю:
f (z)dz 0 .
L
Интегральная формула Коши.
Пусть функция f (z) аналитична в односвязной области D. Тогда для любой точки z0 D и для любого замкнутого контура L, целиком лежащего в области D и содержащего точку z0 внутри себя, справедливо равенство
f (z0 ) 1 f (z)dz (интегральная формула Коши). 2 i L z z0
Высшие производные аналитической функции
Аналитическая в окрестности D точки z0 функция f (z)
имеет в этой точке производную любого порядка, которую вычисляют по формуле
f (n) (z0 ) |
n! |
|
f (z)dz |
, |
|
2 i L (z z0 )n 1 |
|||||
|
|
где L – замкнутый контур, охватывающий точку z0 и целиком лежащий в области D.
19
|
Пример 1.11. Вычислить |
zdz , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
AB |
B |
|
|
AB : |
z |
|
|
Im z 0, |
z |
1, z |
||||
где |
|
|
1, |
|
|
1 . |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. Уравнение кривой АВ имеет вид: |
||||||||||
|
z(t) cost i sin t , 0 t . Отсюда dz ( sin t i cost)dt , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
zdz (x iy)(dx idy) |
|||||
|
|
|
|
|
|
AB |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cost isin t)( sin t i cost)dt i dt . |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Пример 1.12. Вычислить |
|
|
z iz2 |
|
|
|
где АВ – отрезок |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямой, соединяющей точки zA 1 , |
zB i . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная функция является аналитиче- |
|||||||||||||||||||||||||
ской. Применяем формулу Ньютона–Лейбница: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z iz2 |
dz |
i |
z iz |
2 |
|
dz |
z2 |
iz3 i |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
i |
|
|
2 |
|
i |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Пример 1.13. Вычислить |
|
|
|
z2 |
1 |
dz , |
где L – окружность: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
z |
|
1, б) |
|
z |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Решение: а) Точка |
z0 2i |
лежит вне L, подынтегральная |
|||||||||||||||||||||||
функция аналитична внутри области, ограниченной контуром L, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 |
||
и по теореме Коши интеграл равен нулю, т.е. |
|
dz 0; |
|||||||||||||||||||||||||||
z 2i |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
20