книги / Некоторые главы математического программирования
..pdf1.24. F x12 x2 2 2 extr;
x1 x2 4,
x1 6,5,x2 6,5; x1 0, x2 0.
1.25.F 3x1 x2 extr;
x12 x22 9;
x1 0, x2 0.
Задача 2. Найти условные глобальные экстремумы функций методом множителей Лагранжа и графическим методом. Сравнить полученные результаты.
2.1.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 1.
2.2.z 3x2 2y2 3x 1, при x2 y2 4.
2.3.z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0, при
x+y = 6. |
|
|
2.4. z x2 y2 |
в области x2 y2 |
16, при x – y = 4. |
2.5. z x y |
в области 0 ≤ |
x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 4, при |
x 4 2 y 3 2 4.
2.6.z x 3 2 y 5 2 в области x2 + y2 ≤ 10, при y – 2x = 5.
2.7.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 2.
2.8.z x 2 2 y 3 2 вобласти0 ≤x ≤5; 0 ≤y ≤8, приx + y = 7.
2.9. z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, при
x + y = 5. |
|
|
2.10. z x2 y2 , в области x2 |
y2 |
16 , при x – y = 4. |
2.11. z x y в области 0 |
≤ |
x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 4, при |
x 4 2 y 3 2 4 . |
|
|
41
2.12.z x 1 2 y 2 2 в области x2 + y2 ≤ 10, при y – 2x = 5.
2.13.z x2 y2 в области x2 y2 9 , при x – y = 3.
2.14. |
z x 2 2 |
y 3 2 в области 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 9, при |
x + y =7. |
z x y |
в области 0 ≤ x ≤ 5; 0 ≤ y ≤ 3, при |
2.15. |
x 3 2 y 2 2 4.
2.16.z x2 y2 в области x2 y2 16 , при x + y = 4.
2.17.z x2 2y2 4x 1, при x2 y2 4 .
2.18.z x 1 2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 4.
2.19.z x2 2y2 2x 12y 19 в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8,
при x + y = 7.
2.20. z 2x y в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, при
x 2 2 y 3 2 1.
2.21.z x2 y 2 2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 5.
2.22.z x2 y2 в области x ≥ 0, y ≥ 0, при x + y = 3.
2.23.z x 1 2 y 1 2 вобласти0 ≤x ≤4; 0 ≤y ≤8, приx + y = 6.
2.24. z 2 x 1 2 3 y 3 2 в области x + y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0, при
x + y = 5.
2.25. z x y в области 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 5, при
x 3 2 y 2 2 4.
Пример решения задачи 2
Найти условные глобальные экстремумы функции z x 2 2y 3 2 , заданной в области 0 ≤ x ≤ 5; 0 ≤ y ≤ 10, при x + y = 7 графическим и аналитическим методами.
42
Решение
Область определения ограниченная, т.е. замкнутая (прямоугольник ОАВС на рис. 9), поэтому глобальные экстремумы существуют. Уравнение связи – прямая, отрезок которой DE располагается внутри этой области. Следовательно, значения функции должны сравниваться только вдоль отрезка DE. Линиями уровня функции z являются окружности с центром в точке F (2,3).
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
A |
|
|
|
|
B |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
G |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
F |
|
|
|
D |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
O |
|
|
|
|
С |
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Рис. 9
На рис. 9 показаны линии уровня, проходящие через точки G,E,B. Из рисунка видно, что безусловные экстремумы достигаются
в точках F (где zmin = 0) и B (где zmax = 58), при этом первый является одновременно локальным и глобальным минимумом, а второй –
только глобальным максимумом.
Если же рассматривать только точки, лежащие на отрезке DE, то из рисунка видно, что условный глобальный максимум достигается в точке E(0,7), ẑmax=20, а условный глобальный минимум достигается в точке G, в которой окружность касается отрезка DE. Координаты точки G определяются из условий равенства угловых коэффициентов прямой x + y = 7 и касательной к окружности
x 2 2 y 3 2 c в точке касания.
43
Найдем угловой коэффициент касательной к окружности:
x 2 2 y 3 2 c,
2 x 2 2 y 3 y 0,
отсюда y xy 23 .
Найдем угловой коэффициент прямой:
x y 7, 1 y 0, y 1.
Приравниваем угловые коэффициенты: x 2 1. y 3
Точка G лежит на прямой x y 7, следовательно для определения координаты точки G имеем систему:
x 2 1;y 3
x y 7.
Координаты точки G(3, 4), zG = ẑmin = 2. Задача решена графически.
Теперь решим поставленную задачу аналитически методом множителей Лагранжа.
Составляем функцию Лагранжа:
L x, y, x 2 2 y 3 2 7 x y .
44
Необходимые условия экстремума функции имеют вид:
L 2 x 2 0;x
L 2 y 3 0;y
L 7 x y 0.
Решаем полученную линейную систему:
2 x 2 2 y 3 ;
7 x y 0.
Получаем: x = 3, y = 4, это координаты точки G(3, 4), zG = 2. Таким образом, найдена стационарная точка G.
Далее сравниваем значение zG в стационарной точке со значениями на границах области – в точках D и E. На границах отрезка, в точках D(5, 2) и E(0, 7), получим: zD = 10 и zE = 20. Сравнивая найденные три значения функции, устанавливаем: ẑmin = zG = 2, ẑmax = = zE = 20. Это совпадает с результатами графического решения.
Задача 3. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомори или методом ветвей и границ, построить дерево решений.
3.1.z = 5x1 + 2x2 (max);
6x1 x2 40,
2x1 x2 14;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.2. z = 4x1 + 3x2 (max);
x1 x2 7,
5x1 3x2 28;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
45
3.3. z = 4x1 + 3x2 (max);
4x1 3x2 16,16x1 7x2 48;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.4. z = 5x1 + 4x2 (max);
x1 x2 6,
10x1 4x2 45;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.5. z = 3x1 + 4x2 (max);
x1 2x2 10,2x1 2x2 15;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.6. z = 2x1 + 3x2 (max);
x1 x2 6,x1 7x2 21;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.7. z = 3x1 + 5x2 (max);
x1 x2 8,x1 5x2 30;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.8. z = 2x1 + x2 (max);
x1 x2 8,
11x1 3x2 44;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.9. z = 3x1 + 4x2 (max);
x1 x2 8,
x1 11x2 33;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
46
3.10.z = 4x1 + 3x2 (max);
4x1 3x2 16,16x1 48;7x2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.11. z = 5x1 + 4x2 (max);
x1 x2 6,
10x1 4x2 45;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.12. z = 2x1 + 3x2 (max);
x1 x2 6,x1 7x2 21;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.13.z = x1 + x2 (max);
x1 3x2 3,3x1 x2 3;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.14. z = 5x1 + 2x2 (max);
2x1 x2 13,
6x1 x2 40;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.15.z = 4x1 + 3x2 (max);
5x1 3x2 26,
x1 x2 7;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.16.z = 5x1 + 3x2 (max);
16x1 7x2 46,4x1 3x2 16;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
47
3.17.z = 5x1 + 4x2 (max);
10x1 4x2 43,
x1 x2 6;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.18. z = 11x1 – 6x2 (max);
3x1 13x2 104,
x1 2x2 2;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.19.z = 6x1 + 4x2 (min);
4x1 2x2 7,
x1 1;x2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.20. z = 6x1 + 8x2 (max);
6x1 3x2 1,
14x1 9x2 51;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.21.z = 5x1 + 2x2 (max);
12x1 11x2 132,
x1 2x2 2;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.22.z = –11x1 + 6x2 (min);
12x1 11x2 132,
x1 2x2 2;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.23.z = 14x1 + 8x2 (max);
6x1 4x2 24,
4x1 x2 14;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
48
3.24.z = 7x1 + 3x2 (max);
5x1 2x2 20,4x1 2x2 19;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
3.25. z = 3x1 + 3x2 (max);
4x1 8x2 14,10x1 3x2 15;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 – целые числа.
Задача 4 (задача оптимального распределения капиталовложений). Планируется деятельность четырех промышленных предприятий на очередной год. Средства х, выделенные k-му предприятию (k = 1, 2, 3, 4), приносят в конце года прибыль fk(x). Функция fk(x) задана таблично по вариантам. Принято считать следующее:
1)прибыль fk(x) не зависит от вложения средств в другие предприятия;
2)прибыль от каждого предприятия выражается в одних условных единицах;
3)суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.
Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Решить задачу методом динамического программирования.
|
4.1 |
|
|
|
|
|
|
4.2 |
|
|
|
||
х |
|
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
х |
|
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
||||||||||
1 |
|
0,21 |
0,26 |
|
0,19 |
0,17 |
|
5 |
|
1,02 |
0,99 |
1,05 |
0,95 |
2 |
|
0,40 |
0,38 |
|
0,41 |
0,43 |
|
10 |
|
2,12 |
1,97 |
1,98 |
2,03 |
3 |
|
|
|
|
|
0,63 |
|
15 |
|
2,87 |
3,11 |
3,01 |
3,04 |
|
0,58 |
0,61 |
|
0,62 |
|||||||||
4 |
|
0,81 |
0,76 |
|
0,79 |
0,77 |
|
20 |
|
4,02 |
3,87 |
3,99 |
3,89 |
5 |
|
|
|
|
|
0,96 |
|
25 |
|
4,99 |
5,07 |
5,04 |
5,14 |
|
0,98 |
0,99 |
|
1,03 |
49
4.3
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
2 |
0,41 |
0,38 |
|
0,44 |
0,36 |
4 |
0,78 |
0,83 |
|
0,82 |
0,85 |
6 |
|
|
|
|
1,19 |
1,23 |
1,21 |
|
1,25 |
||
8 |
1,58 |
1,61 |
|
1,55 |
1,60 |
10 |
2,01 |
1,98 |
|
2,05 |
2,03 |
4.5
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
5 |
1,02 |
0,99 |
|
1,05 |
1,11 |
10 |
2,12 |
2,15 |
|
1,98 |
2,03 |
15 |
|
|
|
|
3,04 |
3,14 |
3,11 |
|
3,01 |
||
20 |
4,02 |
4,04 |
|
3,99 |
3,89 |
25 |
5,21 |
5,07 |
|
5,04 |
5,14 |
4.7
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
40 |
8,3 |
7,9 |
|
8,5 |
7,8 |
80 |
16,4 |
15,5 |
|
15,7 |
16,1 |
120 |
|
|
|
|
24,6 |
24,5 |
24,1 |
|
23,8 |
||
160 |
32,1 |
32,3 |
|
31,6 |
31,8 |
200 |
40,7 |
40,9 |
|
40,1 |
40,8 |
4.9
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
10 |
2,12 |
1,95 |
|
2,03 |
1,99 |
20 |
3,97 |
4,02 |
|
4,05 |
3,88 |
30 |
|
|
|
|
6,03 |
5,78 |
5,88 |
|
5,97 |
||
40 |
7,77 |
7,83 |
|
7,96 |
8,01 |
50 |
9,89 |
9,78 |
|
9,68 |
10,02 |
4.11
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
50 |
10,3 |
9,5 |
|
10,8 |
9,9 |
100 |
19,5 |
20,1 |
|
19,7 |
20,4 |
150 |
|
|
|
|
30,4 |
30,1 |
29,7 |
|
29,8 |
||
200 |
39,8 |
39,4 |
|
40,3 |
40,1 |
250 |
50,1 |
50,5 |
|
49,9 |
50,4 |
4.4
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||
10 |
|
2,12 |
2,25 |
2,03 |
1,99 |
20 |
|
3,97 |
4,02 |
4,05 |
4,14 |
|
|
|
5,88 |
5,97 |
6,03 |
30 |
|
6,05 |
|||
40 |
|
8,02 |
7,83 |
7,96 |
8,01 |
50 |
|
9,89 |
9,78 |
10,25 |
10,02 |
4.6
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||
20 |
|
3,87 |
3,98 |
4,12 |
4,01 |
40 |
|
7,76 |
7,53 |
7,69 |
7,98 |
|
|
|
11,87 |
12,01 |
11,67 |
60 |
|
12,05 |
|||
80 |
|
15,58 |
15,53 |
16,03 |
15,99 |
100 |
|
20,16 |
20,11 |
19,78 |
20,05 |
4.8
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||
60 |
|
12,3 |
11,7 |
12,5 |
11,9 |
120 |
|
24,0 |
23,7 |
23,6 |
24,4 |
|
|
|
36,1 |
35,8 |
36,2 |
180 |
|
35,5 |
|||
240 |
|
47,8 |
48,5 |
48,2 |
47,6 |
300 |
|
60,1 |
59,4 |
60,3 |
59,7 |
4.10
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||
30 |
|
6,1 |
5,5 |
5,9 |
5,2 |
60 |
|
11,5 |
11,7 |
12,1 |
11,8 |
|
|
|
17,3 |
18,2 |
17,7 |
90 |
|
17,8 |
|||
120 |
|
23,7 |
23,3 |
24,3 |
23,6 |
150 |
|
29,2 |
29,6 |
29,4 |
30,1 |
4.12
х |
f1(x) |
f2(x) |
f3(x) |
f4(x) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||
100 |
|
20,5 |
20,3 |
20,7 |
20,9 |
200 |
|
40,7 |
40,5 |
41,1 |
40,3 |
|
|
|
60,1 |
60,4 |
60,8 |
300 |
|
60,9 |
|||
400 |
|
79,9 |
80,3 |
79,4 |
80,2 |
500 |
|
99,1 |
99,7 |
99,4 |
99,6 |
50