КР_мат_ан_2_курс( у меня 27 вар)

1

1

2

2 y2

1. Изменить порядок интегрирования: dy f x; y

dx dy

f x; y dx .

0

0

1

2 y

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

ограниченной

указанными

линиями:

x2 y2 2 y 0; x2 y2 10 y 0; y

x

; y 3 x .

3

3.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

указанными

поверхностями:

y 5

; y

5x

; z 0; z 5

5 x

.

x

3

3

4.

Вычислить тройной интеграл в сферических

координатах:

x2 y2

z2 dx dy dz , где

V

5.

Вычислить

массу

тела

V ,

ограниченного

указанными

поверхностями:

V : x2 y2

z2 4; x2

y2 9z2 ; x 0; y 0; z 0 , если поверхностная плотность 10z .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода: y2

2xy dl , где - отрезок прямой от

точки A 3; 4

до B 3;1 .

7.

Вычислить работу силы

F : F 2x y i x2 x j

при

перемещении вдоль

кривой

: x2

y2

9; y 0 от точки M 3;0 до точки N 3; 0 .

x2

x3

8.

Найти угол между градиентами скалярных полей u

и

v

6 y3 3 6z3

в точке

yz2

2

1

1

M

2;

;

.

2 3

9.

Найти

поток

векторного поля

a :

a 2y z i x y j 2z k

через внешнюю

10. Найти

циркуляцию векторного поля

a : a x y z i 2z j y 7z k

по контуру

треугольника,

полученного в результате

пересечения плоскости P : 2x

3y z 6 с

координатными плоскостями.

.

2.

Вычислить массу пластинки D , ограниченной заданными линиями:

D : x 1;

y 0;

y2 4x ,

если поверхностная плотность пластинки x 3y2 .

3.

Вычислить

тройной

интеграл:

15x 30z dx dy dz

,

где

6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

x2

y2 dl , где - дуга окружности

x2 y2 4x 0 в третьей четверти.

7. Найти угол между градиентами скалярных полей: u

z

v

3

4

1

и

в точке

M 1; 2;

x

3

y

2

x

y

6

.

8. Вычислить криволинейный интеграл второго рода:

x y 2

dx x y 2 dy , где

- часть

прямой между точками M 2;0 и N 4; 2 .

9. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по

поверхности

S , где

S

- часть

плоскости P , отсеченная координатными плоскостями: 2x 5y 10z dS ,

P : 2x y 3z 6 .

S

10. Найти циркуляцию векторного поля a : a 4z i x y z j 3y z k

по

контуру

треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

x 2y 2z 2 с координатными

плоскостями.

1. Представить двойной интеграл

f x; y dx dy в виде повторных интегралов с внешним

D

интегрированием по x и по

y , если область D задана указанными линиями:

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

ограниченной

указанными

линиями:

x2 4x y2 0; x2 8x y2 0; y 0; y

3 x .

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

указанными

поверхностями:

x

5

; x

5

y; z 0; z

5

3

.

y

y

2

6

6

4.

Вычислить тройной интеграл:

dx dy dz

, где V :

x

y

z

1; x 0;

y 0; z 0 .

4

3

V

x

y

z

4

8

1

3

4

8

5.

Вычислить координаты центра масс однородного тела

V , ограниченного поверхностями:

4y x2 z2 ; y 9 .

где

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

x2 y2 dl ,

- дуга окружности

x2 y2 2x во второй четверти.

7. Вычислить работу силы F : F x2 y2 i y2 j

при перемещении вдоль прямой линии

от точки M 2;0 до точки

N 0; 2 .

8.

Найти

производную скалярного

поля:

u ln

3 x2

xy2 z

в точке

по

M 1;3; 2

направлению l i 2 j 2k .

9.

Найти

поток векторного поля

a : a y z i x j y 2 z k

через

внешнюю

поверхность

пирамиды,

образованную

плоскостью

P : 2x 2y z 2

и

координатными

плоскостями.

10. Выяснить является ли векторное

поле

a :

a 6x2 i 3cos 3x 2z j cos 3y 2z k

потенциальным, соленоидальным или гармоническим.

1.

Представить

двойной

интеграл

f x; y dx dy

в

виде

повторных

с

внешним

D

интегрированием

по

x

и

по y ,

если

область

D

задана

указанными

линиями:

D : y2 2x; x2 2y; x 1.

2.

Вычислить двойной интеграл: 24xy 18x2 y2 dx dy , где D : x 1; y x3 ; y 3

.

x

D

3.

Вычислить

массу

пластинки

D ,

ограниченной

линиями:

D : x2 y2

4; x2 y2

9; x 0; y 0 ,

если поверхностная плотность пластинки

y 4x

.

x2 y2

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , ограниченного поверхностями:

V : x 5 y2 z2 ; x 20 .

5.

Вычислить

момент

инерции

однородного

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

x2 z2

2y; y 2 относительно оси OY .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где

- отрезок прямой

8 x2 y2

от точки A 0; 0 до точки B 2; 2 .

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода

по

формуле

Грина:

y3

x3

x2

dx

y2 dy , где

: x2

y2

4 .

3

3

Найти угол между градиентами скалярных полей: u

z2

y

2

8.

и v 3

2x2

3

2z2 в точке

xy2

2

1

2

M

; 2;

.

3

3

9.

Вычислить поток векторного

поля

a :

a 3x i z y j x z k

через

внешнюю

поверхность пирамиды, образованной плоскостью

P : x 3y z 3

и

координатными

плоскостями.

10.

Вычислить

циркуляцию векторного

поля

a :

a x i y 2z j 2x y 2z k

по

контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

P : x 2y 2z 2

с

координатными плоскостями.

2

4 x2

f x; y dy .

1. Изменить порядок интегрирования: dx

3.

Вычислить

тройной

интеграл

в сферических

координатах:

y dx dy dz

, где

x

2

y

2

z

2

V

V : 4 x2 y2 z2

16; y

3x; y 0; z 0 .

4.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

Вычислить массу дуги , описываемой уравнением:

4;

0

6.

3 при заданной

плотности 15 3 .

7.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода:

xdy ydx

, где - отрезок прямой от

x

2

y

2

точки

до точки N

.

M 1;1

2; 2

3

8.

Найти

производную

скалярного поля:

u sin x 2y xyz

в точке

по

M

;

;3

2

2

направлению вектора l 4i 3 j .

9.

Выяснить является ли векторное поле

a : a 3x2 y i 2xy2

j 2xyz k

соленоидальным,

потенциальным или гармоническим.

10. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по

поверхности S , где

S

- часть

плоскости P : x 3y 2z 6 , отсеченная координатными плоскостями:

3x 10 y z dS .

D

Вычислить двойной интеграл: 18x2 y2

32x3 y3 dx dy , где D : x 1; y x3 ; y

1.

x .

D

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

ограниченной

линиями:

x2 y2

2 y 0; x2

y2

10 y 0; y

x

; x 0 .

3

x

5

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

y;