Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МУ ЭММ часть 1

.pdf
Скачиваний:
75
Добавлен:
11.03.2015
Размер:
2.86 Mб
Скачать

21

Базисное решение F = 90 (6; 0; 11; 0; 17).

Так как строка целевой функции содержит отрицательное значение, находим разрешающий элемент:

 

11

6

 

17

min 1,83;18;3 1,83.

 

 

 

 

x2 min

 

;

 

;

 

 

 

 

 

6

0,33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III шаг. Базисные переменные х2, х1, х5. Переходим к следующей

таблице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Базисные

 

 

 

Свободные

х1

 

х2

 

х3

х4

х5

 

 

переменные

 

члены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

1,83

 

0

 

1

0,17

-0,17

0

 

 

x1

 

 

 

 

 

5,39

 

1

 

0

-0,06

0,39

0

 

 

х5

 

 

 

 

 

6,61

 

0

 

0

-0,94

0,61

1

 

 

F

 

 

 

 

 

99,17

 

0

 

0

0,83

4,17

0

 

Эта таблица является последней, потому что в строке целевой функции все элементы положительные. Тогда оптимальным будет решение (5,39; 1,83; 0; 0; 6,61) при котором Fmax = 99,17.

Т.е. для получения наибольшего дохода, равного 99,17 денежных единиц, предприятие должно выпустить 5,39 единиц продукции вида А и 1,83 единицы продукции В. При этом ресурсы Электроэнергия и Сырье будут использованы полностью, а 6,61 единиц ресурса Оборудования останутся неизрасходованными.

ЗАДАНИЯ

Вариант 1

Для выпуска двух видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого вида, прибыль на единицу продукции каждого вида, а также запасы ресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 3.

Таблица 2

 

Нормы затрат ресурсов на

Запасы

Ресурс

единицу продукции

ресурсов

 

Продукт 1

Продукт 2

 

 

Сырье

3

5

60

Рабочее время

22

14

250

Оборудование

10

14

128

Прибыль на единицу продукции

30

25

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного

22

программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 2

Цех выпускает два вида деталей – А и Б. Каждая деталь обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется следующими данными (табл. 4). Составить план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение максимальной прибыли.

Таблица 3

 

Длительность обработки

Запасы

Станок

детали, мин

ресурсов

 

Деталь А

Деталь Б

 

 

Станок 1

12

10

220

Станок 2

15

18

370

Станок 3

6

4

100

Отпускная цена за одну деталь

30

32

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 3

Цех выпускает два вида продукции – А и В, используя при этом последовательно три станка. Данные о технологическом процессе указаны с табл. 5. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наибольшую прибыль.

Таблица 4

 

Трудоемкость на одну

Фонд

Станок

единицу продукции

времени, ч

 

Деталь А

Деталь В

 

 

Станок 1

3

3

150

Станок 2

2

6

180

Станок 3

1

2

80

Прибыль на единицу продукции

2

3

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного

23

программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 4

На заводе используется сталь трех марок A, B и C, запасы которых соответственно 10, 16 и 12 единиц. Завод выпускает два вида изделий. Для изделия № 1 требуется по одной единице стали всех марок. Для изделия № 2 требуется две единицы стали марки B , одна единица марки С и не требуется сталь марки А. От реализации единицы изделия № 1 завод получает три усл. ден. ед. прибыли, изделия № 2 две усл. ден. ед. (табл. 6). Составить план выпуска продукции , дающий наибольшую прибыль.

 

 

 

Таблица 5

Ресурсы

Нормы расхода ресурса

Общее количество

 

на 1 ед. изделия

ресурса

 

Изделие № 1

Изделие № 2

 

Сталь марки А

1

0

10

Сталь марки В

1

2

16

Сталь марки С

1

1

12

Прибыль

3

2

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 5

Для изготовления двух видов изделий A и B, используется токарное, фрезерное и сварочное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия указаны в табл. 7. В таблице также указан общий фонд рабочего времени, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида. Требуется определить, сколько изделий следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

 

 

 

 

Таблица 6

Тип

Затраты времени на обработку изделия,

Общий фонд

 

станко-ч

рабочего времени

оборудования

 

A

 

B

(ч)

 

 

Фрезерное

2

 

4

120

Токарное

1

 

8

280

Сварочное

7

 

4

240

Прибыль

10

 

14

 

24

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 6

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 8. Определить сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

 

 

 

 

Таблица 7

 

 

Нормы затрат

Общее

Ресурс

на одно изделие

количество

 

стол

 

шкаф

ресурсов

Древесина:

 

 

 

 

1-й вид

0,2

 

0,1

40

2-й вид

0,1

 

0,3

60

Трудоемкость (чел-ч.)

1,2

 

1,5

371,4

Прибыль от реализации

6

 

8

 

единицы изделия (усл. ден. ед.)

 

 

 

 

 

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 7

На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл. 9. Также в таблице указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкур была максимальной.

25

 

 

 

 

Таблица 8

 

Ежедневное количество единиц

Общее

Вид корма

 

корма

количество

 

лисица

 

песец

корма

I

2

 

3

180

II

4

 

1

240

III

6

 

7

426

Прибыль от реализации одной

16

 

12

 

шкурки (усл. ден.ед.)

 

 

 

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 8

Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере 2 ден. ед., а каждый шахматный набор в размере 4 ден. ед. На изготовление одной клюшки требуется 4 ч работы на участке A и 2 ч работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами 6 часов на участке A, 6 ч на участке B и 1 ч на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-ч в день, участка В 72 н-ч и участка С 10 н-ч. Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?

 

 

 

Таблица 9

 

Затраты времени на единицу

Доступный

Производственные участки

продукции, н-ч

фонд времени,

 

клюшка

набор шахмат

н-час

А

4

6

120

В

2

6

72

С

 

1

10

Прибыль на единицу продукции

2

4

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

26

Вариант 9

Фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних и наружных работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу.

Для производства красок используются три исходных продукта А, В и С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 56, 80 и 117 т соответственно. Расходы продуктов А, В и С на 1 т соответствующих красок и максимально возможный запас приведены в табл. 11. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

 

 

 

Таблица 10

 

Расход продуктов

Суточные

Вид исходного продукта

на 1 т красок

запасы

краска для

краска для

исходных

 

 

наружных работ

внутренних работ

продуктов

А

1

2

56

В

2

1

80

С

3

1

117

Оптовые цены 1 т красок

3

2

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Вариант 10

Мастерская имеет в своем распоряжении определенное количество производственных ресурсов: трудовые, денежные средства, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Для получения оптимального плана рассмотрите использование ресурсов трех видов трудовые, сырье и оборудование, которые имеются в количестве соответственно 60, 28 и 42 единицы. Мастерская выпускает ковры двух видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида (о нормах расхода производственных ресурсов), и доходах, получаемых предприятием от реализации единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 12.

Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором будет получен максимальный доход от реализации продукции (сбыт всей выпущенной продукции обеспечен).

 

27

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 11

 

Нормы расхода ресурсов на единицу

Наличие

Ресурс

 

изделия

 

ресурсов

 

Ковер А

 

Ковер В

 

 

 

Труд

4

 

2

60

Сырье

1

 

1

28

Оборудование

3

 

1

42

Цена

14

 

10

 

В работе необходимо сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования; построить многогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом; привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.

Контрольные вопросы

1.Задача линейного программирования: основные понятия, общий вид, типы задач.

2.Дайте определения математической модели, плана, допустимого плана, оптимума, области допустимых решений.

3.Как решить задачу линейного программирования методом перебора вершин?

4.Как решить задачу линейного программирования методом градиента?

5.Назовите условия разрешимости задачи и единственности решения задачи линейного программирования.

6.Сформулируйте основные теоремы симплекс-метода.

7.Дайте определения базисных и свободных переменных, решений оптимальных и допустимых.

8.Как заполнить симплекс-таблицу?

9.Объясните алгоритм перехода от одной симплекс-таблицы к другой.

10.Назовите этапы нахождения оптимального плана симплексметодом.

28

Лабораторная работа № 2 Теория двойственности. Решение задач линейного

программирования в MS Excel, анализ полученных результатов

Цель работы: приобретение практических навыков применения методов линейного программирования для формализации экономических процессов.

Содержание

Изучаются вопросы:

1.Элементы теории двойственности в задачах линейного программирования.

2.Решение задачи линейного программирования в Microsoft Excel.

Выполняется вариант задания.

Указания

Элементы теории двойственности в задачах линейного программирования

Рассмотрим основные понятия и выводы специального раздела линейного программирования теорию двойственности. Ранее было показано, что любую задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

F = c1x1 + c2x2 + … + cnxn max,

a11x1

a12x2

 

... a1nxn b1,

a

 

x

a

22

x

2

... a

2n

x

n

b ,

 

21 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..................................................

a

 

x

a

m2

x

2

... a

mn

x

n

b ,

 

m1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

x

 

0,x

2

0,...,x

n

0.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, двойственной к исходной задаче линейного программирования. Переменные двойственной задачи yi называют объективно обусловленными оценками, или двойственными оценками. Модель двойственной задачи имеет вид:

29

Z = b1y1 + b2y2 + … + bmym min,

a11y1 a12 y2 ...

a1m ym c1,

 

 

a

21

y a

22

y

2

...

 

a

2m

y

m

c

2

,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..........

 

..........

 

 

 

..........

 

 

 

..........

 

 

.......

 

 

 

 

 

a

n1

y a

n2

y

2

...

 

a

nm

y

m

c

m

,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0,y

2

0,...,y

m

0.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение и другой задачи.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум вид ;

a

a

a

 

11

12

 

1n

2) матрица А = a21

a22

a2n , составленная из коэффициентов

 

 

 

 

 

 

am2

 

 

 

am1

amn

при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная

 

 

 

a11

a21

am1

 

матрица А

Т

=

a

a

22

a

m2

 

 

 

12

 

 

, в двойственной задаче получаются друг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

2n

a

mn

 

 

 

 

 

1n

 

 

 

из друга транспонированием; 3) число переменных в двойственной задаче равно числу

функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи числу переменных в исходной задаче;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи;

5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если

30

функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Итак, согласно теории линейного программирования, каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная задача. Основные утверждения о взаимодвойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимодвойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих случаев:

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: Fmax = Zmin.

2.В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3.В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4.Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Прежде чем сформулировать вторую теорему, установим соответствия между переменными исходной и двойственной задач.

При решении симплексным методом исходной задачи для обращения системы неравенств в эквивалентную ей систему уравнений должны быть введены m добавочных неотрицательных переменных (по числу

неравенств в

системе

ограничений): хn+1,

хn+2, …, хn+i, ...,

хn+m, где

1 i m

означает

номер неравенства,

в которое была

введена

добавочная переменная хn+i.

Система ограничений двойственной задачи состоит из n неравенств, в которых имеются m переменных. При решении этой задачи симплексным методом необходимо ввести n добавочных неотрицательных переменных: уm+1, ym+2, …, уm+j, …, ym+n, где 1 j n означает номер неравенства системы ограничений двойственной задачи, в которое была введена добавочная переменная уm+j.

Установим следующее соответствие между переменными исходной и

двойственной задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

x2

xj

xn

xn+1

xn+2

xn+i

xn+m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ym+1 ym+2

ym+j

ym+n

y1

y2

yi

ym