УП Основы эконометрики

Действительно, маловероятно, чтобы совокупное влияние погодных условий в одном году коррелировало с аналогичным влиянием в следующем году.

В случае отрицательной корреляции, которая в экономике встречается относительно редко, за положительным значением y в одном наблю-

дении идет отрицательное значение в следующем, и наоборот; диаграмма рассеяния при этом выглядит так, как показано на рис. 5.2.

y

x

Рис. 5.2. Отрицательная корреляция

При рассмотрении автокорреляции мы будем предполагать, что имеем дело с данными временного ряда, т. е. когда исходные наблюдения регистрируются во времени. Тогда, очевидно, номер наблюдения «i » несет смысловую нагрузку времени регистрации наблюдения t , а объем

Один из наиболее простых способов учета коррелированности ошибок (в разные моменты времени) состоит в предположении, что случайная последовательность {εt ,t =1,K,T} образует авторегрессионный про-

цесс первого порядка. Это означает, что ошибки удовлетворяют рекуррентному соотношению

пределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дис-

81

персией ση2 , т. е. ηt N(0,ση2 ), t =1,K,T ; а ρ - некоторый параметр, называемый коэффициентом авторегрессии ( ρ <1). Вероятностный смысл ρ состоит в том, что он является коэффициентом корреляции между двумя соседними ошибками. С использованием коэффициента авторегрессии ρ и дисперсии ση2 ковариационная матрица случайного вектора

Условие (5.9) означает, что величина случайной ошибки в любом наблюдении равна ее значению в предшествующем наблюдении, умноженному на ρ , плюс новая случайная составляющая ηt . Данный процесс

оказывается авторегрессионным, поскольку ε определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием, и процессом первого порядка, потому что в этом случае максимальное запаздывание равно единице. Предполагается, что значение ε в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если ρ > 0 , то автокорреляция

положительная, если ρ < 0 , автокорреляция отрицательная. Если ρ = 0 ,

то автокорреляции нет и условие 3.b классической схемы удовлетворяется.

Обсудим проблему оценивания в модели с авторегрессией. Рассмотрим отдельно случай, когда коэффициент ρ известен, и отдельно – когда

ρнеизвестен.

1.Значение ρ известно. Предположим, что истинная модель задает-

ся в виде (5.7), так что наблюдения в момент времени t формируются как (5.8), а в момент времени t −1 как

82

+bk 1 − ρ2 X1k + 1 − ρ2 ε1

Всистеме (5.11), (5.12) ошибки удовлетворяют условиям уже классической регрессионной модели. Действительно, в (5.11) случайные вели-

чины {ηt ,t =1,K,T} независимы и имеют постоянную дисперсию ση2 , а в

(5.12) ошибка 1 − ρ2 ε1 не зависит от {ηt ,t =1,K,T} и также имеет дисперсию ση2 . По методу наименьших квадратов можно получить оценки

неизвестных параметров модели, используя преобразованные значения переменных.

На практике часто опускают преобразование (5.12), игнорируя тем самым первое наблюдение. В этом случае, если в выборке нет данных, предшествующих первому наблюдению, то по формуле (5.11) мы не сможем преобразовать наблюдения, и, таким образом, потеряем первое наблюдение вообще. Число степеней свободы уменьшится на единицу, и это вызовет потерю эффективности, которая может в небольших выборках перевесить повышение эффективности от устранения автокорреляции.

Эта проблема устраняется введением поправки Прайса-Уинстена. Так как случайная ошибка η, согласно определению, не зависит от зна-

корреляции все другие наблюдения преобразуются, то не требуется преобразовывать первое наблюдение. Его можно сохранить, включив в новую схему.

Мы можем таким способом спасти первое наблюдение, однако, если ρ велико, то первое наблюдение будет оказывать непропорционально

большое воздействие на МНК-оценки. Для нейтрализации этого эффекта вес данного наблюдения уменьшается умножением его на величину

1 − ρ2 . Отсюда становится понятным преобразование (5.12).

2. Значение ρ неизвестно. На практике параметр авторегрессии ρ

часто неизвестен. Поэтому необходимо получить его оценку одновременно с оценками коэффициентов регрессии. Как правило, процедуры оцененивания при неизвестном ρ имеют итеративный характер и явля-

ются достаточно эффективными. Опишем три наиболее употребительные.

Процедура Кохрейна-Оркатта состоит из следующих этапов:

1.Оценивается регрессия (5.7) с исходными непреобразованными данными по обычному методу наименьших квадратов.

2.Вычисляются остатки e = (e1 ,K, eT )T .

83

3. Оценивается регрессионная зависимость et от et −1, соответствующая формуле (5.9), и в качестве приближенного значения ρ берется МНК-оценка коэффициента при et −1 ρˆ .

4. С этой оценкой ρˆ модель (5.7) преобразуется в (5.11) (или (5.11),

(5.12)) и находятся МНК-оценки ˆ вектора параметров (т. е. получают- b b

ся пересмотренные оценки коэффициентов исходной модели).

5. Повторно вычисляются остатки (строится новый вектор остатков

= − ˆ e Y XB ).

6. Процедура повторяется, начиная с п.3.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение ρ ма-

ло отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Либо чередование этапов пересмотра оценок коэффициентов регрессии и оценки ρ продолжается до тех пор, пока не будет получена

требуемая точность сходимости, т. е. до тех пор, пока оценки на последнем и предпоследнем этапах не совпадут с заданной степенью точности. Процедура Кохрейна-Оркатта реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

Метод Хилдрета-Лу достаточно прост. Из интервала (-1,1) возможного изменения коэффициента ρ берутся последовательно некоторые значе-

ния (например, числа с постоянным шагом 0,1 или 0,05) и для каждого из них проводится оценивание преобразованной системы (5.11). Значение, которое дает минимальную стандартную ошибку для преобразованного уравнения (сумма квадратов отклонений в (5.11) минимальная), принимается в качестве оценки ρ , а коэффициенты регрессии определяются

при оценивании уравнения (5.11) с использованием этого значения. Можно в целях улучшения качества оценок и достижения желаемой точности повторить процесс, устраивая более мелкую сетку в окрестности найденного значения ρ . Время работы процедуры, очевидно, сокращается, если

есть априорная информация об области изменения параметра ρ . Процедура Дарбина заключается в том, что значение Yt −1 включается

в число регрессоров, а ρ - в число оцениваемых параметров.

ставить полученное значение ρˆ , и найти новые МНК-оценки параметров

B .

84

В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о том, каким образом можно обнаружить автокорреляцию первого порядка.

Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошибках системы (5.7) используют следующую идею: если корреляция есть у ошибок ε , то она присутствует и в остатках e , получаемых после применения к (5.7) обычного метода наименьших квадратов. Одна из реализаций этого подхода состоит в следующем.

Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствии корреляции, т. е. H0 : ρ = 0 . В качестве альтернативной можно взять либо просто H1 : «не

H0 », либо H1 : ρ > 0 .

Наиболее широко используется критерий Дарбина-Уотсона, статистика которого

Будем считать, что постоянный член включен в число регрессоров. Тогда нетрудно проверить, что эта статистика тесно связана с величиной

Понятен и содержательный смысл статистики DW : если между et и et −1 имеется достаточно высокая положительная корреляция, то в определенном смысле et и et −1 близки друг к другу и значение DW по фор-

муле (5.13) мало. Это также согласуется с (5.14): если r ≈1, то DW ≈ 0 . Отсутствие корреляции означает, что DW ≈ 2 . При наличии положительной корреляции величина DW , вообще говоря, будет меньше двух; при отрицательной – будет превышать 2. Так как r должно находиться между значениями 1 и -1, то DW должно лежать между 0 и 4.

Если бы распределение статистики DW было известно, то для H0 : ρ = 0 и H1 : ρ > 0 можно было бы для заданного уровня значимости

α (например, α = 0,05 ) найти такое критическое значение dкр , что если DW > dкр, то гипотеза H0 принимается, в противном случае она отвергается в пользу H1 . Проблема, однако, состоит в том, что распределение

DW зависит не только от числа наблюдений в выборке T и количества регрессоров k или объясняющих переменных в уравнении регрессии, но и от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными, т. е. от всей матрицы X . Поэтому невозможно составить таблицу с указанием точных критических значений для всех возможных выборок, как это можно сделать для t - и F -статистик. Тем не менее, Дарбин и Уотсон до-

85

казали, что для критического значения существует верхняя du и нижняя de границы, которые зависят лишь от T , k и уровня значимости α (а,

следовательно, могут быть затабулированы) и обладают следующим свойством: если DW > du , то DW > dкр и, значит, гипотеза H0 принима-

ется, а если DW < de , то DW < dкр, и гипотеза H0 отвергается в пользу H1 . В случае de < DW < du ситуация неопределенна, т. е. нельзя выска-

заться в пользу той или иной гипотезы.

Если альтернативной является гипотеза об отрицательной корреляции H1 : ρ < 0 , то соответствующими верхними и нижними границами бу-

дут 4 − de и 4 − du . Представим результаты тестирования в виде следующей таблицы

На рисунках 5.3 и 5.4 данная ситуация представлена в виде схемы; стрелка указывает критическую точку dкр .

Глава 6. Системы эконометрических уравнений

При моделировании достаточно сложных экономических объектов часто приходится использовать не одно, а несколько уравнений, чаще всего связанных между собой. В таких случаях модель объекта описывается системой эконометрических уравнений, которую необходимо оценить при проведении регрессионного анализа. Проблема оценивания систем уравнений требует введения новых понятий и разработки новых методов. Эти вопросы и будут обсуждаться в данной главе. Вначале мы рассмотрим простую задачу оценивания системы, в которой уравнения связаны потому, что ошибки в разных уравнениях коррелированы между собой, - это так называемая система внешне не связанных уравнений. Затем мы исследуем общие системы, которые в эконометрике называются системами одновременных уравнений, и частный случай таких систем

– рекурсивные системы.

6.1. Внешне не связанные уравнения

Для того, чтобы понять постановку задачи и суть проблемы, рассмотрим следующий пример. Предположим, что исследуется зависимость инвестиций y , осуществляемых некоторым предприятием (например, Ир-

кутским алюминиевым заводом), от его дохода x1 и размера основного

Уравнения (6.1) и (6.2) можно оценивать по отдельности. Внешне они выглядят как не связанные друг с другом. Но ясно, что в данной ситуации ошибки εi и ηi коррелированы, так как для каждого i =1,K, n (или

t =1,K,T ) предприятия действуют в «одной экономической среде». По-

этому целесообразно объединить уравнения (6.1) и (6.2) и оценивать их совместно, используя доступный обобщенный метод наименьших квадратов.

Общую задачу можно сформулировать следующим образом. Даны M регрессионных уравнений (в матричном виде)

88

Иными словами, заданы M регрессионных уравнений, по каждому из которых имеется n наблюдений. (Или T наблюдений в случае временных рядов). Если данные имеют структуру временных рядов, то считается, что ошибки во всех уравнениях коррелированы в один и тот же момент времени и некоррелированы для других моментов.

Каждое отдельное уравнение в системе (6.3) удовлетворяет условиям классической регрессионной модели и может быть оценено обычным МНК.Однако, если объединить эти уравнения и применить ОМНК, то можно повысить эффективность оценивания.

Обозначим

Тогда система (6.3) перепишется в виде

Y = XB + ε .

Используя понятие произведение Кронекера двух матриц, ковариационную матрицу вектора ошибок можно представить так:

M (εεT )= Ω = Σ In .

В качестве справки приведем пример произведения Кронекера двух матриц:

(здесь мы воспользовались известным свойством произведения Кронекера: для двух квадратных невырожденных матриц A и B справедливо

(A B)−1 = A−1 B−1).

89

Нетрудно понять, что в общем случае оценка (6.5) отличается от оценки, полученной в результате применения обычного МНК к каждому уравнению в системе (6.3). Есть, однако, две ситуации, когда эти оценки совпадают.

1)Уравнения в (6.3) действительно не связаны друг с другом, т. е.

σij = 0 при i ≠ j .

2)Все уравнения в (6.3) имеют один и тот же набор независимых пе-

ременных, т. е. X1 = X 2 =K= X M .

Для использования доступного ОМНК нужно оценить матрицу Σ. Это

можно сделать, применяя к каждому уравнению системы (6.3) обычный МНК, получая векторы остатков ei , i =1,K, M , и беря в качестве оценок

ковариаций σij величины (eiT e j )n , т. е. σˆij = (eiT e j )n . Можно проверить, что эти оценки являются состоятельными.

Отметим в заключение, что эффективность ˆ , полученной таким спо-

B

собом, тем выше, чем сильнее корреляция между ошибками.

6.2.Системы одновременных уравнений

Втеории экономико-статистического моделирования систему взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств, в которой одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать и в роли результирующих показателей (эндогенных переменных) и в роли объясняющих (экзогенных) переменных, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений.

Как мы уже сказали, эконометрическая модель содержит так называемые эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенными являются те переменные, которые в силу принятых концепций определяются внутренней структурой изучаемого явления, иначе говоря, их значения выясняются на основе модели. В свою очередь, экзогенные переменные по определению независимы от структуры явления и их значения (в том числе прогностические) устанавливаются вне модели. Модель содержит также различного рода параметры (коэффициенты), которые определяются в ходе статистического оценивания путем обработки имеющейся информации.

То, как классифицированы переменные (эндогенные или экзогенные) зависит от теоретической схемы или принятой модели. Внеэкономические переменные, например, климатические условия, постоянно бывают экзогенными. В то же время экономические переменные, такие как экспорт и правительственные расходы, могут в одной модели рассматриваться как эндогенные, а в другой – как экзогенные. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к периоду t , но

ик предшествующим периодам, называемые лаговыми («запаздывающими») переменными.

90