книги из ГПНТБ / Григорьев Ю.П. Строительная механика летательных аппаратов дополнительные главы

Глава I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

ИПОЛЗУЧЕСТИ

1.1.РАСЧЕТНЫЕ ГИПОТЕЗЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассматриваемые в курсе сопротивления материалов задачи определения напряжений и деформаций в брусе решались в предположении идеальной упругости материала (справедливо­ сти закона Гука). Поэтому подавляющее большинство получен­ ных формул для вычисления напряжений и деформаций приме­ нимы лишь в ограниченных пределах, пока напряжения не вы­ зывают появления пластических (остаточных) деформаций. Исключением является формула для определения напряжений при центральном растяжении прямого бруса. Она справедлива и за пределом текучести. Однако после образования шейки она будет давать также неверные результаты, поскольку распреде­ ление напряжений по наименьшему сечению становится нерав­ номерным и принимает объемный характер.

Указанное обстоятельство сужает возможности инженерных расчетов прочности конструкций, ограничивая их только упругой областью работы матерйала конструкций, в то время как почти все конструкционные металлы перед разрушением обычно полу­ чают значительные пластические деформации. В ряде случаев не­ большие пластические деформации могут быть допущены в эле­ ментах конструкций без ущерба для их службы. Проблемы эко­ номии материала и создания рациональных методов статиче­ ского расчета конструкций на прочность не могут быть решены без создания теории, позволяющей вести расчет за пределом упругости. Кроме того, без знания методов расчета за пределом упругости нельзя решать такие важные вопросы, как вычисле­ ние предельной и разрушающей нагрузки, определение истинно­ го запаса прочности.

Запросы практики, привели в последние годы к быстрому раз­ витию теории пластичности, дающей основы расчета конструкций за пределом упругости, а также основы некоторых технологиче­ ских расчетов (прокатка, штамповка и т. п.).

Разберем основные положения теории пластичности.

При изучении теорий прочности в курсе сопротивления мате­ риалов было установлено, что возникновение пластических

5

деформаций для данного материала может быть связано с вели­ чинами действующих напряжений. Теория октаэдрических каса­ тельных напряжений дает следующую зависимость между вели­ чинами главных напряжений, вызывающих появление пластиче-' ских деформаций:

интенсивность напряжений равна действующему нормальному напряжению: з. = о.

Одно из основных допущений теории состоит в том, что де­ формации в целом считаются малыми и, кроме того, упругая часть деформации принимается пренебрежимо малой по срав­ нению с пластической частью.

Теория пластичности основывается на следующих трех поло­

частью полной деформации, а так как упругая часть деформации считается пренебрежимо малой, то и изменение объема является пренебрежимо малой величиной.

Поскольку относительное изменение объема равно:

9 = е1+ е2 + £3.

то математическое выражение этого закона имеет вид:

е1+ е2 4* е3 = О-

В т о р о й з а кон . Наибольшие касательные напряжения пропорциональны наибольшим относительным сдвигам:

Эта закономерность была установлена в результате наблю­ дений за развитием пластических деформаций.

Наибольшие касательные напряжения могут быть выражены через главные напряжения:

6

Найдем наибольшие относительные сдвиги. Для этого рассмо­ трим деформацию квадрата abed, лежащего в плоскости одной

из главных площадок. Стороны квадрата возьмем равными У 2 и наклоненными под углом 45° к направлениям главных напря­

жений з, и о2 (фиг. 1.1.1). После деформации квадрат превра­ щается в ромб аф\С1й\. Относительный сдвиг равен изменению прямого угла, например, при вершине щ:

е, —е,

Ъ = 2Р

V 2 У 2

Аналогичным путем можно получить остальные сдвиги: ®Г> Ti = s2—гз-

В результате второй закон можно представить в ином виде:

Из последнего выражения, используя первый закон, получаем следующие формулы для относительных удлинений:

где = —— За

7

янной величиной подобно ME, а изменяется от точки к точке тела в зависимости от величины деформации в данной точке.

Второй закон, выраженный в форме отношения (1.1.3), позво­ ляет выразить интенсивность напряжений через относительные удлинения, заменив разность главных напряжений разностью главных удлинений:

= — J z r V (Bj - s,)2 - f (s2 — Э3)2 + (e3 — е,)2.

/ 2

Для обобщенной характеристики деформации в теории пла­ стичности используется величина, пропорциональная радикалу в правой части последнего равенства. Эта величина называется

Коэффициент перед радикалом выбирается с таким расчетом, чтобы при простом растяжении интенсивность деформаций была равна относительному удлинению в направлении растяжения.. Действительно, на основании первого закона для простого растя­ жения имеем:

Подставляя эти значения удлинений в формулу (1.1.5), получаем

Теперь зависимость между интенсивностью напряжений и относительными деформациями (интенсивностью деформаций) может быть записана так:

3

<3t — — аз •.

2

Последняя зависимость позволяет выразить коэффициент

W = 2 как отношение интенсивности деформаций к интенсивноЗа

сти напряжений:

8

Подставляя это значение Ф в формулы (1.1.4), получаем

Введя среднее напряжение

0 = 4о“ (31 + °2 + °з).

последние формулы можно представить также в следующем виде:

Т р е т и й з а кон . Интенсивность напряжений есть вполне определенная для каждого материала функция интенсивности деформаций, не зависящая от вида напряженного состояния:

а; = ф (si)-

Вид функции Ф(е(.) устанавливается опытным путем. В силу

мость между 3j и г, при простом растяжении, и диаграмма <з — е может одновременно служить кривой, дающей зависимость между зг и ег.

Законы пластической деформации применимы лишь к а к т и в н о й деформации, когда в процессе нагружения интен­ сивность напряжений растет в каждой точке деформируемого тела. П а с с и в н а я деформация (разгрузка) протекает по зако­ нам упругой деформации. Как показал А. А. Ильюшин, второй и третий законы пластической'деформации выполняются с доста­ точной точностью при так называемом п р о с т о м н а г р у ж е - н и и, когда все внешние нагрузки растут от нуля пропорциональ­ но одному параметру.

9

Для упрощения решения конкретных задач теории пластич­ ности часто прибегают к схематизации диаграммы растяжения, представляя ее в виде ломаной линии ОАВ (фиг. 1.1.2). Иногда даже пренебрегают упрочнением материала, принимая вторую ветвь диаграммы параллельной оси абсцисс (линия-ОА С). В по­

следнем случае уже не будет опреде­ ленной зависимости между а1 и е; . Условие (1.1.1) будет не только усло­ вием начала пластической деформа­ ции, но и условием ее дальнейшего развития, причем пластическая дефор­ мация по своей природе будет состоя­ нием течения (подобно поведению стали на «площадке текучести»).

Изложенные здесь законы пласти­ ческой деформации образуют основу

1.2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассмотрим задачи теории пластичности, которые могут быть решены элементарным способом. К таким задачам относятся, например, чистый изгиб бруса с симметричным сечением и круче­ ние бруса круглого сечения.

О

Фиг. 1.2.1

Ч и с т ый из гиб. В случае чистого изгиба имеет место закон плоских сечений, который остается справедливым и после пере­ хода материала в пластическое состояние. Следствием закона плоских сечений является линейность распределения удлинений по высоте сечения балки (фиг. 1.2.1). Волокно, расположенное на

10

решения соответствующей задачи в упругой области, будем счи­ тать, что продольные волокна балки испытывают простое растя­ жение или сжатие. Тогда связь между относительным удлинением е и напря­ жением о в соответствующем волок­ не можно получить по диаграмме рас­ тяжения—сжатия для материала бал­ ки (фиг. 1.2.2):

о = Ф (г).

Так как мы рассматриваем чистый изгиб, то равнодействующая внутрен­ них сил, распределенных по сечению балки, должна сводиться к паре с мо­ ментом М, а продольная сила должна равняться нулю:

j o y d F ^ /И; j a d F = 0.

Принимая во внимание условие (1.2.1), из которого следует, что у — ер и учитывая, что

dF = Ь (у) dy = b (ер) р de,

получаем

Ф (s) sb (ер) de = М\ р | Ф (е) Ь(ер) de. = 0.

Второй интеграл представляет собой площадь диаграммы растяжения—сжатия. Так как он равен нулк), то площадь диа­ граммы для растянутой зоны должна равняться площади диа­ граммы для сжатой зоны. Это условие позволяет установить функциональную зависимость между et и е2, которую, напри­ мер, можно представить в виде кривой

11