книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

Ю.А. МИТРОПОЛЬСКИЙ

О.Б. ЛЫКОВА

Интегральные

многообразия

внелинейной

механике

:V,\

■ч

'> )

Серия «Нелинейный анализ и его приложения»

выпускается под общей редакцией

Н . Н , Боголюбова, М . А . Красносельского, Ю . А . Митропольского

Интегральные многообразия в нелинейной механике. Ю. А. М и т- р о п о л ь с к и й , О. Б. Л ы к о в а .

Серия «Нелинейный анализ и его приложения» посвящена пробле­ мам нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, нели­ нейным колебаниям, современным методам их исследования, приложе­ ниям к задачам механики, физики и т. д.

Настоящая монография посвящена развитию теории интегральных многообразий (интегральных поверхностей) для различных классов дифференциальных уравнений, встречающихся в нелинейной механике и содержащих «малый» или «большой» параметр. Приведен также анализ структуры решений на многообразиях.

Книга должна помочь специалистам, занимающимся вопросами теории нелинейных колебаний, ознакомиться с результатами, связан­ ными с дальнейшим развитием идей и методов. Н. Н. Боголюбова по теории интегральных многообразий.

Книга рассчитана для студентов старших курсов, а также аспи­ рантов и научных работников, интересующихся современными вопро­ сами теории дифференциальных уравнений.

Библ. 230 назв.

(£) Издательство «Наука», 1973.

Юрий Алексеевич Митропольский, Ольга Борисовна Лыкова

Интегральные многообразия в нелинейной механике

(Серия «Нелинейный анализ и его приложения»)

М., 1973 г., 5.12 стр.

Редактор Я. М. Овчинникова

Техн. редактор К. Ф. Брудно

Корректоры О. А. Бутусова, Е. В. Сидоркина

Сдано в набор 25/ХП 1972 г. Подписано к печати 31/V 1973 г. Бумага 84X108/эа. Физ печ. л. 16. Условн. печ. л. 26,88. Уч.-изд. л. 26,37. Тираж 8000 экз. Т-08151.

Цена книги 1 р. 87 к. Зак. № 3—265. Тип. зак. № 195.

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

Отпечатано с матриц, изготовленных в головном предприятии республиканско­ го производственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г. Киева, ул. Довженко, 3, 4-й типографией издательства «Наука», 630077, Но­ восибирск-77, Станиславского, 25.

1. Приближенное представление решений на многообразии.

Улучшенное первое приближение (182). 2. Исследование общего случая (187).

1. Существование интегрального многообразия (290). 2. Устой­ чивость интегрального многообразия (297). 3. Периодические

нпочти-периодические интегральные м огообразия (303).

§5. Исследование решений линейных нерегулярно-возмущенных

1. Постановка задачи (343). 2. Теорема о существовании интег­ рального многообразия (343). 3. Теорема об устойчивости инте­ грального многообразия (317).

§ 3. Применение метода интегральных многообразий для доказа­ тельства существования и устойчивости ограниченного реше­ ния нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием . 354

1. Постановка задачи (354). 2. Теоремы о существовании и устойчивости ограниченного решения нерегулярно-возмущенной системы с запаздыванием (355).

1.Банаховы пространства (357). 2. Линейные операторы (358).

3.Линейные операторы в гильбертовом пространстве Н (361). 4. Вполне-непрерывные операторы (362). 5. Прямые суммы про­

странств (363). 6. Элементы спектральной теории линейных огра­

1. Формулировка задачи (422). 2. Принцип сведёния (424).

1. Обзор некоторых результатов советских авторов (448).

2.Обзор работ иностранных авторов (449).

§2. Применение теории периодических поверхностей к изучению

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 1961 году на Международном симпозиуме по нели­ нейным колебаниям, состоявшемся в г. Киеве, был пред­ ставлен обзорный доклад Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Мит­ ропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в Советском Союзе [18], так и в США [19]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основ­ ные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулирова­ ны возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути развития и обобщения метода.

Появление указанной работы, а также обзоров по тео­ рии интегральных многообразий [16], [20], [133], [134], [135] оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механи­ ке как в Советском Союзе, так и за рубежом (США, ЧССР, СРР). По намеченным в [18] наиболее актуальным пробле­ мам появилось большое число работ. Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих «малый» и «большой» параметр, на уравнения в функцио­ нальных пространствах, на системы уравнений с малым па­ раметром при производной, системы с запаздыванием и др.

Предлагаемая читателю монография содержит, кроме из­ вестных основополагающих результатов Н. Н. Боголюбова, в основном результаты авторов, относящиеся к теории ин­ тегральных многообразий и к вопросам, связанным с ис­ следованием поведения интегральных кривых на многооб­ разии и в их окрестности, для уравнений, содержащих малый параметр. В книгу включены также результаты, по­ лученные К. В. Задиракой и В. И. Фодчуком.

Остановимся кратко на содержании книги.

В первой главе (§ 1) изложены основные положения тео­ рии интегральных многообразий в нелинейной механике, а также приведены примеры дифференциальных уравнений, при исследовании которых применение метода иитеграль-

ных многообразий оказывается весьма эффективным. Пара­ графы 2 и 3 этой главы носят вспомогательный характер; в них изложен необходимый аппарат из алгебры и анализа.

Вторая глава посвящена фундаментальной теореме Н. Н. Боголюбова о существовании и основных свойствах одно­ параметрического интегрального многообразия систем нели­ нейных дифференциальных уравнений в стандартной форме.

В третьей главе изложены основные результаты, относя­ щиеся к исследованию интегральных многообразий нелиней­ ных' дифференциальных уравнений, близких к точно ин­ тегрирующимся.

Исследованы двупараметрические локальные интеграль­ ные многообразия в окрестности периодических решений не­ возмущенных уравнений, соответствующих исходным (§ 2). Построено приближенное представление двупараметри­ ческого интегрального многообразия для системы нелиней­ ных уравнений второго порядка и приведена теорема о «сильной» устойчивости этого многообразия (§ 3). Рассмот­ рены интегральные многообразия систем уравнений с пере­ менными коэффициентами (§ 4). Для уравнений с медленно меняющимися параметрами доказано существование точ­ ного двупараметрического интегрального многообразия, по­ строено его приближенное представление и получена оцен­ ка разности между точным представлением многообразия и его т-и приближением (§ 5). Изучены вопросы существова­ ния и основных свойств интегральных многообразий си­ стем уравнений, описывающих «быстрые» и «медленные» движения; в качестве примера рассмотрены интегральные многообразия системы слабо связанных осцилляторов (§ 6).

Четвертая глава посвящена исследованию поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений на интегральных многообразиях. Здесь приводятся как клас­ сические результаты Н. Н. Боголюбова, относящиеся к ис­ следованию периодических и квазипериодических решений, лежащих на однопараметрическом интегральном многооб­ разии, так и ряд результатов, полученных авторами и от­ носящихся к исследованию периодических и квазиперио­ дических решений, лежащих на двупараметрическом инте­ гральном многообразии, к исследованию влияния малого возмущения на релаксационную систему, к исследованию квазипериодических режимов в системах, близких к га­ мильтоновым.