книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Редакция естественной литературы. Зав. редакцией Б. Н. Фляшников.

__ 20201—072 Д М224(04)—74~4 - 74

© Издательское объединение «Вища школа», 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ

Аналитическая теория дифференциальных уравнений — одна из важнейших отраслей математического анализа прошлого и начала нашего столетия — привлекала внимание многих мате­ матиков разных стран и прошла интересный и сложный путь развития. Вскоре после создания ее основ, т. е. более ста лет тому назад, наметились две основные ветви этой теории, связан­ ные с изучением нелинейных и специально линейных уравнений. В соответствии с этим данная работа состоит из двух основных частей, каждая из которых посвящена преимущественно рассмо­ трению истории одного из указанных направлений.

Автор стремился к возможно более всестороннему и широкому освещению вопроса в рамках данного объема. В книге рассмотрен период от начала XIX века, когда появились отдель­ ные первые зерна рассматриваемой теории, до двадцатых годов нашего века, когда было завершено в основном формирование классической теории и намечались новые аспекты ее развития.

В соответствии со структурой предмета и особенностями его формирования изложение материала в целом следует здесь ло- гически-историческому принципу в отличие от хронологическо­ го, который выдержан в пределах отдельных глав или пара­ графов.

Во введении рассматриваются истоки данной теории и ее зарождение, дается анализ источников, а также приводится краткая характеристика предшествующего периода развития теории дифференциальных уравнений и теории аналитических функций. Книга состоит из шестнадцати глав, каждая из кото­ рых подразделена на параграфы в соответствии с изучением того или иного более узкого вопроса.

В заключении рассмотрена связь аналитической теории диф­ ференциальных уравнений с другими науками, дана схема ее общего развития, подведены некоторые его итоги и отмечен ряд важных результатов, полученных в последнее время.

Одна из задач состояла не только в изложении развития данной теории во взаимосвязи ее с другими отраслями науки.

3

но и в раскрытии на конкретном материале ее роли и значения в общем мощном потоке математических исследований, который мы наблюдаем в последние два столетия, ее идейного влияния на развитие математической науки в целом, ее роли в фор­ мировании новых взглядов, новых подходов при изучении пред­ мета.

В библиографии приведена примерно одна треть источников, которыми располагал автор. Подробность рассмотрения той или иной работы обусловливалась не ее объемом, а значением для данной теории или для конкретного рассматриваемого воп­ роса.

Названия периодических и повторяющихся изданий в списке литературы приведены в сокращенном виде. После указания автора и полного названия статьи дается сокращенное или условное название журнала, город и год его издания, серия (в скобках), том, страницы; для широко известных и часто

щенных названий журналов, периодических и повторяющихся изданий. Ссылки в тексте на источники из списка литературы обозначены в прямых скобках двумя числами (разделенными точкой), из которых первое обозначает номер автора, второе-— порядковый номер его работы из данного списка. После этого (в случае конкретных ссылок или приведения цитат) на треть­ ем месте (после запятой) стоят цифры, обозначающие стра­ ницы '.

Примечания к отдельным местам текста указаны порядко­ выми числами в круглых скобках и помещены в конце книги. Здесь имеются уточнения, разъяснения, дополнения к отдельным местам основного текста, биографические справки об отдельных ученых, хотя в большинстве случаев довольно краткие. Формулы пронумерованы двумя числами в круглых скобках: первое обо­ значает номер главы, второе — счет формул и обозначений внутри главы.

Автор не стремился вводить однообразную символику, сохраняя в большинстве случаев символы и обозначения ориги­ нала. Это отражает колорит эпохи и манеру того или иного авто­ ра. Как правило, в тексте указаны значения всех символов, кро­ ме общеизвестных. Если они имеют тот же смысл и в дальней­ шем, то это специально не оговаривается.

Автор надеется, что книга будет полезной студентам и аспи- рантам-математикам, учителям, преподавателям вузов, инже­ нерам и научным работникам в различных отраслях математи­ ки и всем любителям истории математики.

1 Если в списке имеется лишь одна работа данного автора, то второе число (равное единице), не указывается.

4

ВВЕДЕНИЕ

Аналитическая теория дифференциальных уравнений в основном исследует интегралы различных классов уравнений и устанавливает их характеристические свойства методами теории аналитических функций. В отличие от локального изучения, ха­ рактерного для классической теории дифференциальных урав­ нений XVIII и начала XIX века, она рассматривает поведение решений уравнений во всей комплексной плоскости, начиная с вопросов об их существовании и однозначности, о типе и распо­ ложении их особых точек и т.д. В процессе ее развития были установлены такие классы дифференциальных уравнений, ин­ тегралы которых обладают свойствами, представляющими осо­ бый интерес с точки зрения теории функций.

Естественно поэтому, что аналитическая теория дифференци­ альных уравнений могла вырасти лишь на основе уже достаточ­ но развитых методов теории функций комплексного переменного и после создания и в известной степени завершения основных методов интегрирования уравнений в классическом анализе XVIII века. Она стала развиваться в период бурного роста ма­ тематических исследований в начале XIX века.

В это время на континенте Европы начался промышленный переворот. Пришедшая к власти в результате Великой Француз­ ской и других революций «буржуазия менее чем за сто лет своего классового господства создала более многочисленные и более грандиозные производительные силы, чем все предшество­ вавшие поколения вместе взятые» (М а р к е К.., Э н г е л ь с Ф. Сочинения, т. 4, с. 429). Она создала всемирный рынок, разорва­ ла рамки национальной замкнутости как в области материаль­ ного, так и в области духовного производства. Произошли коренные изменения и в организации науки и учебных заведений.

Создавались новые научные центры, тесно связанные с за­ просами практики, перестраивалась и оживлялась работа преж­ них академий, организовывались высшие учебные заведения но­ вого типа, характерным примером которых явилась Парижская политехническая школа. Вскоре после открытия она стала мощ-

6

интересованных в развитии науки.

В общих курсах истории математики за прошлый век обычно упоминаются работы небольшого числа (порядка двух—трех десятков) самых известных ученых, получивших особо выдаю­ щиеся результаты и сделавших открытия первостепенной важ­ ности. В действительности же в процессе научного творчества принимали участие многие менее известные ученые, которые иногда существенно дополняли, исправляли, уточняли и в нуж­ ных случаях давали методическую разработку открытий вели­ ких математиков.

Для истории науки представляет интерес не только изучение вклада отдельных ученых, но и развитие методов, приемов, пу­ ти распространения исследований, их преемственность, так на­ зываемая внутренняя логика развития предмета, влияние его и взаимосвязь с другими отраслями математики. Великие ученые играют большую роль в истории науки, в том числе и матема­ тики. Однако при всей кажущейся внешней свободе их деятель­ ности, особенно в последние полтора — два века, следует отме­ тить, что в действительности она связана с общим потоком ис­ следований в данной области и что эти исследования являются результатом общественно обусловленного процесса. Но эта связь не всегда легко усматривается из-за ее сложности, многоступен­ чатости, а также взаимодействия со многими факторами идей­ ного и философского порядка. Математические понятия и тео­ рии — не просто произвольные творения ума ученого, а отраже­ ние реального объективного мира в своеобразной, иногда весь­ ма абстрактной форме.

Эти явления характерны и для истории аналитической тео­ рии дифференциальных уравнений, которая развивалась в не­ которых своих элементах под влиянием непосредственных за­

7

просов практики и других наук, а в делом в результате тесней­ шего взаимодействия со многими другими отраслями, питаясь их результатами, и в общем направлении построения логически обоснованных более строгих, более общих и всеобъемлющих теорий, при углублении анализа их основ. Выработанные в этой дисциплине методы и полученные результаты оказали большое влияние на другие отрасли теории дифференциальных уравне­ ний, были пригодными или полезными для решения ряда прак­ тических задач, стали мощным идейным достижением, оформив­ шимся в новую отрасль математического анализа в конце прош­ лого века. Здесь был выработан качественно новый взгляд на сам предмет исследования интегралов дифференциальных урав­ нений.

Действительная история данного предмета начинается задол­ го до того, как он был обособлен в литературе, как был ограни­ чен круг его задач, как он получил название и занял свое место среди других объектов научного исследования.

Многие понятия и методы аналитической теории дифферен­ циальных уравнений сформулированы и получили свое развитие в рамках и разделах классического анализа XVIII, начала XIX века и ощущались сперва как уточнения, усовершенствования существовавших уже тогда понятий и методов. И лишь после достаточного, весьма неравномерного накопления фактов ока­ залось возможным сформулировать сущность новой теории.

Рассмотрим ее истоки, отметив при этом, что указанные ниже закономерности и движущие силы ее развития более пол­ но усматриваются на развитии всей математики в целом и на протяжении большого исторического отрезка времени.

Одной из основных движущих сил науки, в том числе и ма­ тематики, является практика общественного производства. Про­ изводство материальных благ, стремление к улучшению условий материальной жизни, общественная практика в самом широком смысле слова направляли человеческую мысль на исследование тех или иных явлений природы или технических процессов, на построение тех или иных теорий. Влияние общественной прак­ тики является решающим фактором в развитии науки. В этом смысле очень четко высказался великий русский математик П. Л. Чебышев: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она от­ крывает им новые предметы для исследования, или новые сто­ роны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким об­ разом вызывает на изыскание совершенно новых методов. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы

8

И еще позже конкретно в отношении математики Ф. Журден писал: «Каждый значительный успех в развитии математики ...

возник из потребностей естествознания...» [27, 9].

Однако следует отметить, что в рассматриваемый период непосредственные запросы практики, производства и других наук связаны с возникновением и развитием главным образом лишь отдельных проблем нашей науки. Так, одним из сущест­ венных импульсов, который привел Коши к созданию метода «исчисления пределов», а затем и многих полезных его приме­ нений и следствий, диктовался непосредственными запросами практики и, в частности, необходимостью упрощения и улучше­ ния вычислительной работы в небесной механике. Сам Коши об этом писал: «Методы, которые геометры используют для вы­ вода по принципам гравитации движения небесных тел, остав­ ляли желать много лучшего. Часто им недоставало надлежащей строгости... К тому же, чтобы определить с помощью этих ме­ тодов числовые коэффициенты относительно тех или иных пер­ турбаций (отклонений) в движениях планет, астрономы иногда были обязаны предпринимать вычисления, которые требовали многие годы работы. Один из очень известных членов этой ака­ демии М. Плана говорил мне не так давно, как изнуряют подоб­ ные вычисления. Я ему ответил, что я убежден, что можно' будет их сократить и также немедленно определять числовые коэффициенты соответственно данному неравенству. Действи­ тельно, через несколько дней я ему показал формулы, с помо­ щью которых можно решать подобные вопросы... и которые бу­ дут полезны при рассмотрении теории Сатурна и Юпитера»

[122.13,41—42] (4).

Отметим также, что математика развивается не только под влиянием общественного производства, но и всех общественных условий в целом. Это сказывается и в постановке проблем, и в методах их решения. Зависимость же от практических потреб­

9