Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.28 Mб

Скачать

☆

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

К . А . А б г а р я н

МАТРИЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ В ТЕОРИИ

АИНЕИНЫХ с и с т е м

К. А. АБГАРЯН

МАТРИЧНЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

-4

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФІ1311КО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1973

6Ф6.5
А13	' jv""*
УДК 62-50	' jv""*	Ч А Я
	н /.у ч ;’:'	Ч А Я
	н /.у ч ;’:'
	ЕЙ
	f - 'è	З У О *

Матричные и асимптотические методы в теории ли нейных систем. А б г а р я н К. А., Главная ре дакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973, 432 стр.

Книга посвящена применениям аппарата мат ричного исчисления и идей асимптотического ин тегрирования дифференциальных уравнении в тео рии управляемых и неуправляемых процессов.

Наряду с изложением в матричной форме об щих вопросов теории линейных систем в книге ши роко представлены методы асимптотического рас щепления, канонического преобразования и прибли женного интегрирования различного типа систем уравнений, которые обычно встречаются в линейной механике, технике и различных приложениях. При ведены алгоритмы для построения динамических характеристик линейных нестационарных систем и преобразования уравнений нестационарного объек та управления к виду, удобному для моделирования. Заключительная часть книги посвящена теории устойчивости процессов.

Книга рассчитана на специалистов в области ма тематики, механики и автоматического управления.

Илл. 9. Библ. 84 назв.

©Издательство «Наука», 1973.

д 3314-1798 161-73 042 (02) -73

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................						8
Г л а в а	I. Матрицы	..........................................................................				11
§ 1. Исходные определения и обозначения.................................					число . . .	11
§ 2.	Сложение матриц и умножение матрицы на				число . . .	13
§ 3.	Умножение прямоугольных м атр и ц .....................................					14
§ 4.	Определитель произведения м а т р и ц .....................................					18
§ 5.	Присоединенная	матрица .....................................................				19
§ 6.	Обратная м а т р и ц а ......................................................................		и переход	к	сопряженной	20
§ 7.	Транспонирование	матрицы	и переход	к	сопряженной	21
§ 8.	матрице ......................................................................................					21
§ 8.	Блочные матрицы	......................................................................	матрицы			22
§ 9.	Линейные преобразования и		матрицы	.............................		27
Г л а в а	II. Векторы, векторные пространства,			линейные опера		30
торы и матрицы ..................................................................................						30
§ 1.	Векторы и векторное п р о стр ан ство .....................................					30
§ 2. Линейная зависимость векторов.............................................						32
§ 3.	Размерность и базис векторного п ростран ства.................					34
§ 4.	Изоморфизм я-мерных п р о стр ан ств .....................................					37
§ 5.	Подпространства	векторного	пространства		.....................	38
§ 6.	Линейные операторы в векторных пространствах . . .					39
§ 7.	Матрица как линейный оператор в численных простран					41
§ 8.	ствах ..............................................................................................					41
§ 8.	Неравенства Сильвестра ..........................................................					45
§ 9.	Разложение матрицы на прямоугольные множители . .					48
Г л а в а	III. Линейные операторы в я-мерном векторном про					50
странстве ..............................................................................................						50
§ 1. Кольцо линейных операторов..................................................				базисах . . . .		50
§ 2.	Матрицы линейного оператора		в разных	базисах . . . .		51
§ 3.	Обратный оператор .................................................................					52
§ 4.	Собственные векторы и собственные значения линейного					53
§ 5.	оператора и квадратной матрицы .........................................					53
§ 5.	Линейные операторы и матрицы простой структуры . .					56
§ 6.	Расщепление я-мерного п р о стр ан ства.................................					58
§ 7.	Проекционные опер'аторы и м а т р и ц ы .................................					59

4	О Г Л А В Л Е Н И Е
Г л а в а	IV. Расщепление пространства на инвариантные подпро
странства. Нормальные формы		м атр и ц ы .....................................	67
§ 1. Минимальные многочлены		вектора, векторного	простран
§ 2.	ства, м а т р и ц ы ....................................................................		67
	Инвариантные подпространства векторного пространства 71

§3. Расщепление векторного пространства на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными мно


§ 4.	гочленами ......................................................................................									74
	Сравнения. Пространство классов сравнимых векторов									77
§ 5.	Циклические		подпространства векторного пространства							82
§ 6.	Нормальные формы				м атрицы .......................................				87
§ 7.	Инвариантные		многочлены.				Единственность нормальных			92
	форм	линейного		оператора .................................................
Г л а в а	V. Преобразование матрицы к квазидиагональному виду									97
и разложение ее на составляю щ ие.................................................
§ 1.	Дефект матричного м ногочлен а...................................								97	99
§ 2.	Теорема Гамильтона— Кэли .................................................
§ 3. Построение матрицы, преобразующей квадратную матри										100
цу к квазидиагональному						виду .............................................		преобразованной
§ 4.	Собственные		значения			субматрицы				103
§ 5.	квазидиагональной				матрицы .............................................
	Общий	вид преобразующей					м атр и ц ы .................................		104
§ 6.	Построение жордановой формы м а т р и ц ы .................................									107
§ 7.	Случай матрицы простой с т р у к т у р ы .........................................								. .	111
§ 8.	Разложение квадратной матрицы на составляющие									115
§ 9.	Матрицы ортогонального					проектирования .............................				122
§ 10.	О приведении		к квазндпагональному					виду и разложении		127
	на составляющие одной матрицы специального вида								. .
Г л а в а	VI. Матрицы и линейные дифференциальные уравнения.									131
Общие свойства уравнений..................................................................
§	1. Производная и			интеграл			м а т р и ц ы ........................................			131

§2. Векторно-матричная запись линейных дифференциаль


§		ных уравнений				...........................................................................	132
§		3.	Норма	матрицы .........................................................................			140
§		4.	Матричные		ряды ....................................................................		141
§		5.	Теорема существования и единственности............................				141
§		6.	Фундаментальная матрица си стем ы ........................................				146
§		7.	М а тр и ц ан т		................................................................................	уравнение	149
§		8.	Сопряженное			уравнение	151
§		9.	Неоднородное			уравнение .........................................................	152
§	10.		Решение одного матричного у р а в н е н и я ................................				154
Г л а в а			VII. Системы			линейных дифференциальных	уравнений
первого порядка с постоянными коэффициентами.........................							156
§ 1.		Экспоненциал			м атрицы ..................................................................		156
§ 2.	Решение			дифференциальной системы в форме			экспонен
§ 3.		циала ....................................................................................................		Э й л ер а			158
§ 3.		Метод		Э й л ер а			158
§ 4.		Преобразование				Л а п л а с а .............................................................	160
§ 5.		Интегрирование				путем замены п ер ем ен н ы х .........................	164

			О Г Л А В Л Е Н И Е				5
§ 6.	Расщепление системы на независимые подсистемы мень
§ 7.	шего порядка ...................................................................................						167
§ 7.	Теория	возмущений	.......................................................................				172
Г л а в а	VIII.	Асимптотическое		расщепление		нестационарной
системы уравнений..............................................................................							180
§ 1.	Дифференцируемость матрицы,				преобразующей		квадрат
	ную матрицу к квазидиагональному в и д у ......................						181
§ 2.	Построение формального			процесса для		расщепления си
	стемы дифференциальных уравнений на независимые под
	системы	меньшего	порядка		......................................................		185
§ 3.	Общий	вид матриц	К ^ ,	Л ^ .	Инвариантность		матриц

	Q ^]		195
§ 4.	Рекуррентные соотношения в частных случаях	. . . .	201
§ 5.	Условие сохранения нормы решений уравнений	при за	202
	мене переменных ..........................................................................		202

§ 6.

Случай полного расщепления си с те м ы .....................................

. .

206

§ 7.

Система уравнений с постоянными коэффициентами .

206

Расщепление сопряженной системы ............................

208

Приближенное решение системы ..............................

220

Г л а в а

IX. Асимптотическое расщепление

нестационарной

си

223

стемы уравнений (второй м е т о д ) ..........................................................

§ 1.

Две леммы

......................................................................................

линейной дифференциальной

223

§ 2. Преобразование однородной

системы с постоянными коэффициентами к системе не

226

§ 3.

зависимых

дифференциальных

уравнений .............................

системы

Преобразование

однородной

нестационарной

232

дифференциальных

уравнении

к расщепленнойсистеме

§ 4.

Расщепление

неоднородной

системы

.....................................

245

§ 5. Приближенное решение системы ..............................................

253

Г л а в а

X. Динамические характеристики линейных систем

. .

255

Единичная ступенчатая функция и дельта-функция

. .

255

Реакция системы на входной сигнал в виде дельта-функ

258

ции. Импульсная

переходная

функция .............................

посред

Связь между входными и выходными

сигналами

261

ством импульсной переходной функции .............................

Реакции системы ма входной сигнал

в виде производной

263

и интеграла

от дельта-ф ункции .............................................

на выходе системы

Преобразование начальных условий

265

в эквивалентный входной с и г н а л ..............................................

Определение дифференциального уравнения по импульс

266

ной переходной функции

..........................................................

Построение

импульсной переходнойфункции . . . .

268

Реакция системы на показательное возмущение. Пере

даточная

функция ......................................................................

282

Связь между входными и выходными сигналами системы

10.

посредством

передаточной

функции

.....................................

284

Построение

передаточной

функции

.....................................

285

О Г Л А В Л Е Н И Е

Г л а в а

XI. Приближенное интегрирование уравнений управляе

290

мого

процесса ..................................................................................

§ 1.

Интегро-дифференциальная система уравнений управляе

290

мого процесса

...................................................................................

§ 2. Приведение уравнений управляемого процесса к расщеп

ленной дифференциальной

системе

(метод

последователь

294

ных

приближений) ......................................................................

§ 3. Приближенное

интегрирование уравнений

управляемого

процесса

при

малом

воздействий

регулятора

на про

298

§ 4.

цесс

(случай А)

........................

Приближенное интегрирование уравнений управляемо-

мого процесса (случай Б )

...............................................................

303

Г л а в а

XII. Некоторые канонические формы уравнений

линей

308

ных п р о ц ессо в ...........................................................................................

§ 1. Преобразование системы уравнений с постоянными коэф

309

фициентами к

расщепленному

в и д у ..........................................

§ 2.

Формальные преобразования нестационарной системы . .

312

§ 3.

Уравнения управляемого

процесса в канонической форме

320

Г л а в а

X III.

Квадратичные и эрмитовы ф о р м ы

..............................

323

§ 1.

Метризация векторного

п ростран ства......................................

323

§ 2.

Ортонормированные базисы в унитарном и

евклидовом

327

пространствах

..........................................................................

. . . .

§ 3.

Линейные операторы в унитарном пространстве

329

§ 4.

Линейные операторы в евклидовом пространстве

. . . .

338

§ 5.

Квадратичные

формы

.....................................................

343

§ 6.

Эрмитовы формы ..........................................................................

350

Г л а в а

XIV.

Постановка

задачи

об устойчивости процессов

на заданном промежутке в р ем ен и ......................................................

353

§ 1.

Предварительные

замечания

......................................................

об устойчивости дви

353

§ 2.

О некоторых постановках

задачи

354

жения

устойчивости...............................................................................................

процесса

на

заданном

промежут

§ 3.

Понятие

ке времени .......................................................................................

задан

364

§ 4.

Геометрический смысл понятия устойчивости на

365

ном

промежутке

..........................................................................

§ б.

Функция Ляпунова ......................................................................

367

Г л а в а

XV. Некоторые условия устойчивости процессов на задан

370§

ном

промежутке времени .....................................................................

§ 1.

Оценка нормы решения линейной системы

........................

370

§ 2.

О диагонализации линейной

с и с т е м ы .....................................

376

§ 3.

Пучок решений

линейной

системы

.........................................

378

§ 4.

Теоремы об устойчивости линейной с и с т е м ы

........................

380

§ 5.

Случай

стационарной

системы

.................................................

нелинейного

382

§ 6.

Об устойчивости

на конечном

промежутке

384

процесса

по линейному приближению ..................................

			О Г Л А В Л Е Н И Е				7
Г л а в а	XVI. Устойчивость			процессов относительно		заданной	396
области		предельных отклонений ......................................................
§ 1.	Понятие устойчивости			относительно	заданной	области	396
§ 2. Устойчивость процесса				относительно	области, определяе
§ 3.	мой	каноническим преобразованием			уравнении	. . . ,	398
	Критерии		устойчивости ...............................................................				407
П р и л о ж е н и е .			Асимптотический характер приближенных				412
р е ш е н и й .......................................................................................................
Л и тер ату р а ...................................................................................................							423
Предметный		указатель ..........................................................................				428

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь дело на практике, связаны с рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных урав нений, обычно нестационарных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, по этому приходится прибегать к приближенным методам ин тегрирования. Развитие теории в этой части идет по различ ным направлениям. Для линейных нестационарных систем очень многообещающим и плодотворным представляется применение методов асимптотического интегрирования и преобразования уравнений в сочетании с методом матрич ной алгебры.

В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей и большей мере внедряются в прикладные науки. Это объяс няется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принимают компакт ный и ясный вид, что способствует экономному и наглядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро шо приспособлен для расчетов на ЭВМ. Эти преимущества особенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка. В принципе все те задачи, которые ре шаются методами матричной алгебры, могут быть решены

ибез использования аппарата матричного исчисления, но во втором случае более вероятна такая ситуация, когда из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений труд ности решения задачи становятся непреодолимыми.

Сейчас имеется немало монографий по теории матриц,

ивсе же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.

П Р Е Д И С Л О В И Е

Предлагаемая книга посвящена описанию основанных на идеях асимптотического интегрирования уравнений матричных методов изучения систем, в основном линейных. Объектом внимания являются те типы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках. Затрагиваются далеко не все разделы теории линейных систем (выбор материала в зна чительной мере определен научными интересами автора), тем не менее охватывается довольно широкий круг вопросов теории, в котором применение матричных и асимптотиче ских методов целесообразно и эффективно и с которым свя заны другие, более частные вопросы.

Книга состоит из шестнадцати глав и Приложения, ко торые можно было бы разбить на три части.

Первая часть (главы I—V) посвящена основам матрич ной алгебры. Здесь представлены те разделы матричного исчисления, которые в рассматриваемых областях теории линейных систем скорее всего могут быть использованы. Некоторые дополнительные сведения специального харак тера по мере надобности приводятся и в последующих гла вах. Изложение построено так, что от читателя не требу ется первоначального знакомства в какой бы то ни было мере с теорией матриц.

Вторая часть (главы VI—XII и Приложение) посвящена применениям асимптотических методов и методов матрич ной алгебры в теории линейных систем. Наряду с общей теорией, применительно к различным образом представлен ным уравнениям рассмотрены разные преобразования, при водящие к упрощению исходной системы уравнений путем расщепления ее на независимые подсистемы, а также рас четные схемы построения приближенных решений уравне ний. Главное внимание уделяется нестационарным системам. Построение алгоритмов, как правило, проводится по сле дующей схеме. Вместо исходной системы дифференциаль ных или интегро-дифференциальных уравнений с пере менными коэффициентами вводится система, которая полу чается из данной путем замены аргумента коэффициентов — времени t так называемым медленным временем т = et, где е — параметр. Затем проводится формальное разложе ние решения второй системы в ряд по степеням параметра е. Поскольку при е = 1 эти две системы совпадают, то по строенный формальный ряд при 8 = 1 представляет собой

1 / 441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
03.11.20234.21 Mб7ba0501.djvu
#
10.05.2024227.33 Кб1Panel.doc
#
29.10.202310.49 Mб6Pushkov N.V. Quiet Sun.pdf
#
29.10.20232.39 Mб4А. А. Якубов библиография.pdf
#
03.11.20232.9 Mб12А.В.Никонов, Л.З.Папернов. - Измерители уровня звуковых сигналов-Радио и связь (1981).djvu
#
25.10.202317.28 Mб19Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем.pdf
#
19.10.20232.3 Mб15Абдуллаев, Я. Р. Электромагнитные устройства с индукционной подвеской учебное пособие.pdf
#
25.10.202315.35 Mб22Абелев М.Ю. Слабые водонасыщенные глинистые грунты как основания сооружений 8-й междунар. конгресс по механике грунтов и фундаментостроению.pdf
#
20.10.20237.92 Mб10Абжирко, Н. Н. Влияние вибрации на характеристики радиолокационных антенн.pdf
#
23.10.20236.9 Mб20Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.32 Mб16Абраменко Б.С. Сборник задач по теоретическим основам эксплуатации радиотехнических средств.pdf