книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

Вьішедіпий в серии «Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften» труд известного немецкого математика посвя­ щен обстоятельному и систематическому изложению принад­ лежащего автору доказательства теоремы Римана — Роха, од­ ной из основных теорем алгебраической геометрии. В связи с этим в книге изложены многие факты дифференциальной топологии и дифференциальной геометрии, теории пучков, теории векторных расслоений, теории комплексных многообра­ зий, теории характеристических классов и теории кобордизмов.

Книга представляет интерес для топологов, алгебраистов, геометров и всех лиц, занимающихся современными вопросами глобального анализа. Она доступна студентам старших курсов университетов.

Редакция литературы по математическим наукам.

русский язык, «Мир», 1973

0223—038 041(01)—73

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Книга, перевод которой предлагается вниманию читателей, яв­ ляется одним из наиболее известных сочинений по алгебраической геометрии за последние 20 лет. Эта книга не совсем обычна. Ее целью является доказательство всего лишь одной теоремы из ал­ гебраической геометрии — теоремы Римана — Роха — Хирцебруха, причем оно и было впервые опубликовано как раз в первом изда­ нии этой книги (1956 г.). Так что книгу можно рассматривать и как оригинальную научную работу.

Классическая теорема Римана — Роха является основной тео­ ремой теории алгебраических кривых. Она позволяет в благо­ приятных случаях вычислять размерность пространства мероморфных функций на неособой проективной алгебраической кривой, полюсы которых находятся в данных точках и имеют порядки, не превышающие заданных чисел.

Хирцебруху принадлежит глубокое обобщение этой теоремы на многомерные алгебраические многообразия. Теорема Хирцебруха при определенных условиях также позволяет вычислять размер­ ность пространства мероморфных функций с заданными особенно­ стями на неособом проективном алгебраическом многообразии произвольной размерности и даже позволяет вычислять (опятьтаки при определенных условиях) размерность пространства голо* морфных сечений в комплексно-аналитических векторных расслое­ ниях. Эти размерности вычисляются с помощью характеристиче­ ских классов многообразия и расслоения. От большинства известных ранее приложений топологии к алгебраической геометрии ре­ зультаты Хирцебруха отличает то, что ему удалось связать алгеб­

идеи оказали огромное влияние на развитие ряда других разделов математики, интенсивно развивающихся в настоящее время. До­ статочно упомянуть глобальную теорию эллиптических операторов, построенную Атьёй и Зингером, или /<-теорию, играющую такую

важную роль в современной алгебраической топологии. Первое доказательство теоремы Атьи — Зингера об индексе моделирует доказательство Хирцебруха теоремы Римана— Роха (см. § 25).

Помимо доказательства теоремы Римана — Роха книга содер­ жит прекрасное изложение обширного вспомогательного мате­ риала. Часть этого материала изложена довольно подробно: это пучки, расслоения, характеристические классы; часть — более кон­ спективно:' это кобордизмы Тома, теория Картана — Серра коге­ рентных пучков, теория Ходжа, теоремы Кддаиры и т. д.

Настоящее издание представляет собой перевод с третьего, анг­ лийского издания, дополненного по сравнению со вторым (немец­ ким) двумя приложениями. В приложении 1, написанном Шварценбергером (переводчиком на английский), дан обзор основной литературы по теореме Римана — Роха, по состоянию на 1966 г. Приложение 2 — это работа А. Бореля «Одна спектральная после­ довательность для комплексно-аналитических расслоений», на ко­ торую имелись ссылки еще в первом издании книги, но которая впервые увидела свет лишь в качестве приложения к третьему изданию.

Переводчик расширил библиографию, добавив ряд работ, по­ явившихся после 1966 г., и написал соответствующие библиогра­ фические замечания (см. конец книги).

Б. Б. Венков

МОИМ УЧИТЕЛЯМ ГЕНРИХУ БЕНКЕ И ХАЙНЦУ ХОПФУ

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В последние годы в алгебраической геометрии и в теории функ­ ций многих комплексных переменных успешно применялись новые топологические методы, в особенности теория пучков, построенная

Ж. Лере.

А.Картан и Ж.-П. Серр показали, как можно переформулиро­ вать в терминах теории пучков фундаментальные теоремы о голо­ морфно полных многообразиях (многообразиях Штейна). По­

скольку области голоморфности являются многообразиями Штей­ на, из этих теорем следуют многие факты теории функций. Они приложимы также к алгебраической геометрии, так как дополне­ ние к гиперплоскому сечению алгебраического многообразия есть многообразие Штейна. С помощью этих и других методов Серру удалось получить важные результаты об алгебраических много­ образиях. Недавно многие из его результатов были доказаны для многообразий, определенных над полем произвольной характери­ стики.

К. Кодаира и Д. Спенсер также с большим успехом применили теорию пучков в алгебраической геометрии. Их методы существен­ но отличаются от методов Серра: они используют технику, при­ шедшую из дифференциальной геометрии (гармонические интег­ ралы и т. п.), и совсем не используют теории многообразий Штейна.

Атья и Ходж с успехом применили теорию пучков к изучению

теристических классов и новые результаты Р. Тома о гладких многообразиях. В связи с приложениями к алгебраической геомет­ рии я изучал и более ранние работы Тодда. В Институте я со­ трудничал с А. Борелем, вел продолжительную переписку с Р. То­ мом, у меня была возможность следить за перепиской Кодаиры и Спенсера с Серром. Таким образом, пребывание в Принстоне дало

Эта книга выросла из рукописи, предназначавшейся для опуб­ ликования в каком-нибудь журнале и содержавшей изложение

результатов, полученных мною в Принстоне. Профессор Ф. Шмидт предложил мне написать на ее основе обзор для шпрингеровской серии Ergebnisse der Mathematik. Некоторые части первоначаль­ ной рукописи остались совсем без изменений; в то же время дру­ гие части, более обзорного характера, были существенно расши­ рены. В результате получилась эта книга — нечто среднее между обзором, учебником и оригинальной статьей. Я весьма признателен профессору Ф. Шмидту за проявленный им интерес к моей работе.

Мой долг — выразить особенную благодарность Институту выс­ ших исследований в Принстоне за предоставленную мне возмож­ ность в течение двух лет без помех работать в чрезвычайно сти­ мулирующей математической обстановке. Я хочу поблагодарить

Г. Бенке за согласие принять эту книгу в качестве диссертации; поблагодарить общество содействия Мюнстерского университета за финансовую помощь во время окончательной подготовки ру­

всем моим пожеланиям.

Ф. Хирцебрух

Файн Холл, Принстон 23 января 1956

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

За десять лет, прошедших со времени опубликования первого издания, основные результаты были распространены в нескольких направлениях. С одной стороны, Гротендик обобщил теорему Римана — Роха для алгебраических многообразий на случай отобра­ жений проективных алгебраических многообразий над основным полем произвольной характеристики. С другой стороны, Атья и Зингер доказали теорему об индексе для эллиптических дифферен­

характеристических классов. Для гладких многообразий первона­ чально они были выведены сложным путем, исходя из почти ком­

зованное из полукольца классов изоморфизмов комплексных век­ торных расслоений над топологическим пространством X, вместе с теоремой периодичности Ботта, описывающей это кольцо в слу­ чае, когда X — сфера. Теоремы целочисленности следуют также из теоремы Атьи — Зингера об индексе, точно так же, как из тео­ ремы Римана-—Роха для алгебраических многообразий следует целочисленность рода Тодда.

Совсем недавно Атья и Ботт получили теоремы о неподвижных точках типа теоремы Лефшеца. При некоторых условиях голоморф­

фициентами в пучке ростков голоморфных сечений комплексноаналитического векторного расслоения W над V. Для одного спе­ циального класса голоморфных отображений Атья и Ботт нашли формулу, связывающую знакопеременную сумму следов этих дей­ ствий с множеством неподвижных точек рассматриваемого отобра­ жения. В случае тождественного отображения этот результат сво­ дится к теореме Римана — Роха. В качестве другого, приложения получается формула Ланглендса (см. п. 22.3) для размерности пространства автоморфных форм. Атья и Ботт провели исследования