книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

КИЕВСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННОЕ ИНЖЕНЕРНОЕДВАЖДЫ КРАСНОЗНАМЕННОЕ УЧИЛИЩЕ СВЯЗИ ИМЕНИ М.И.КАЛИНИНА

М.II.Ремизова, Д.Н.Коноплицкая, Р.И.Милетияа, Е.И,Кении, Г.С.Орел

СП Е Ц Г Л А В Ы

ВЫ С ШЕ Й М А Т Е М А Т И К И (методы математической физики)

Под редакцией МЛГ. Ремивовой^

4

БВСОЕДШЫ ФУНКЦИИ

§ 1 .1 . ГАША-ФУНКЦШ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

/ В правой части згой формулы стоит несобственный интег­ рал, причем его несобсгвенность вызвана неограниченностью промедутка интегрирования; а ярA'X~f<0 а бесконечным раз­ рывом интегрируемой функции при t ~С . Поэтому прежде всего

этого разобьем участок интегрирования на две части и исследуем^сходимость двух интегралов

сходится, следовательно, по предельной теореме сравнения сходится и интеграл •

Но несобственный интеграл

J t ^ ä t

д

сходится тогда и только тогда, когда Х>0. Следовательно, для того чтобы сходился интеграл

J е t d t

о

до предельной теореме сравнения необходимо и достаточно, чтобы зс>0.

Выясним свойства грамма-функции

I)Основное свойство грамма-функции.

что и требовалось доказать.

Свойство (1,2) названо основным, так как оно является определяющим. Эйлер, рассматривая факториал целых положи­ тельных чисел

п! =/-2-J- ... .-п,

6

поставил проблему обобщить функцию факториал аа значения аргумента рациональные положительные и даже отрицательные. Факториал обладает свойством nl-n(n-f) J , т .е . удовлетво­ ряет функциональному уравнению

f ( n + f ) ~ n f in )

(если. с ч и т а т ь /7/ /. Кроме того, должно выполняться условиQ j{2 )= fj-1 . Решение этого функционального уравне­ ния привело Эйлера к несобственному интегралу (1*1).

2) Заметим, что

r u h Г е * 1 hfd t = [ е г0ІЫІ.

- о 'o

Применяя последовательно основное свойство гамыа-фунн- цаи, получим

Г(2) = Г(і +І)=:1'Г(1)=іч

Г(3) = r ( 2 + h 2 ' r(2h2-1=2!,

Г(1) = Г С5 ■*1)=5’ Г(5)=3 -27 - 3J

............................................................................... (І.З )

Г(п-*1) =■ п Г(п) - п [ .

Рассмотрим произвольное не натуральное ос >0 ; ясно, X можно представить в видаХ =П+С[, где П - натуральное it Оса<І. Тогда, используя основное свойство, получим

Г(п + а )-Г \ (п -+ а -1 )+ і\ *(п 4 а -1 )г(п + а -!)-

-(п+а~і)іп+а -2}Г(п+а -2)~

О о . . . » . • С о

7

Мы получили известный интеграл Пуассона и воспользо­

Г ( { ) - { г ( { ) = Ц £ ГИГ;

Замечание. Знаком*// обозначают произведение всех це­ лых положительных чисел, непревышающих к и одинаковой , ним четности. Например, 6!!=2-^-б; 7П =І-3-5-7.

4) Поведение Rx)при X —^+0- Перепишем (1.2) в виде

/

_ Г(-2-0+1) +оа

■2-0

!Г ( - п ± 0 ) = ( - 1 ) п ( * о о ) .

Таким образом, гамма-функция при нуле и целых-отри­ цательных значениях аргумента терпит бесконечный разрнв.

6)' Значения Г(х) при х —» + оо .

Можно доказать формулу Стирлинга

Или