книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

ПРЕДИСЛОВИЕ

Проектирование любой системы охватывает весьма широкий круг вопросов — от математической постановки задачи до выпуска рабочих чертежей и их окончательной отработки по результатам испытаний опытных образцов. Поэтому естественно, что ни одна из многочисленных работ, посвященных проектированию системразличного назначения, не претендует на освещение всех вопросов, относящихся к проектированию, а рассматривает лишь отдельные аспекты этой большой проблемы.

Книга, предлагаемая вниманию читателей, в этом отношении не является исключением. Она посвящена постановке и решению задачи динамического синтеза — первому и основному этапу про­ ектирования оптимальных линейных систем.

Действительно, после того как определена структура и выбраны параметры оптимальной системы, остальные этапы ее проекти­ рования практически ничем не отличаются от соответствующих этапов проектирования любой (неоптимальной) системы данного класса и сводятся к технической реализации (на разных уровнях) полученной математической модели.

Первый же этап проектирования — синтез линейной системы — представляет собой важную и очень интересную задачу. Для ее успешного решения исполнитель должен обладать (помимо ясного понимания физических процессов и технической стороны дела) определенными знаниями из различных областей теории автомати­ ческого управления и математики, опыт сознательного исполь­ зования которых предполагает формирование того, что может быть названо научно-техническим мировоззрением инженера.

Такое мировоззрение подразумевает органическую связь ма­ тематической модели, создание и понимание которой немыслимо без знания соответствующих разделов математики, с реальной системой, поведение которой описывается рассматриваемой мо­

мировоззрения, автор будет считать выполненной поставленную перед собой задачу.

Поскольку в рамках одной работы крайне трудно «объять необъятное», пришлось отказаться от рассмотрения многих важ­ ных и интересных результатов, относящихся, в частности, к филь­ трам Калмана—Бьюси, уравнениям Колмогорова и задачам о вы­ бросах случайных функций за заданный уровень, изложение ко­ торых потребовало бы привлечения математического аппарата,

отличного от используемого здесь, и привело бы к нарушению цельности изложения. По-видимому, вопросы синтеза линейных нестационарных систем, не вошедшие в эту книгу, и вытекающая из них возможность подхода к проблеме синтеза нелинейных систем должны составить содержание отдельной книги/

Предлагаемая работа, в которой рассмотрены в основном ана­ литические частотные (спектральные) методы синтеза линейных стационарных систем, по мнению автора, должна подготовить читателя к изучению специальной литературы по оптимальным

Книга состоит из пяти глав.

Первая глава является вводной. В ней приведен необходимый математический аппарат — преобразования Фурье и Лапласа и основные понятия теории функций комплексного переменного, по­ скольку без отчетливого понимания этих вопросов невозможно сознательное применение спектральных методов анализа и синтеза. В этой же главе даны основные определения и понятия теории линейных систем.

Вторая глава дает читателю необходимые сведения из корре­ ляционной теории случайных функций.

Третья глава посвящена оптимальным линейным стационарным системам с бесконечной памятью, основным математическим аппа­ ратом теории которых является уравнение Винера—Хопфа в ком­ плексной области. Наряду с традиционными задачами синтеза рассмотрен общий метод синтеза систем произвольной структуры (в частности, систем с неустойчивым и не минимально-фазовым объектом). По ходу изложения приведены (по возможности элементарно) необходимые сведения из вариационного исчи­ сления.

В четвертой главе рассмотрены системы с конечной памятью. Выведено интегральное уравнение, определяющее функцию веса оптимальной системы, и приведены эффективные методьк,решения этого уравнения.

В пятой главе дан анализ стационарных многомерных систем с конечной и бесконечной памятью. Значительное внимание уде­ лено абсолютно инвариантным (по отношению к полезному сиг­ налу) многоканальным системам, имеющим важное практическое значение. Здесь же рассмотрены некоторые нестационарные задачи, решение которых может быть получено аналитическими методами.

В списке литературы указаны только те работы, на которые даны ссылки в тексте.

Автор считает приятным долгом выразить благодарность

Г. И. Егудину, А. А. Свешникову, В. Б . Смолову, С. А. Майорову, В. И. Маслевскому, С. Ф. Фармаковскому, В. А. Бесекерскому,

В. Б . Ларину и В. Н. Сунцеву, постоянное внимание и полезные советы которых помогли .написать эту книгу.

Глава I

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Под оптимальными системами понимаются системы, которые являются наилучшими в определенном смысле (например, по точности, быстродействию, стоимости, весовым и габаритным ха­ рактеристикам и т. д.). Естественно, что одна и та же система не может быть оптимальной в нескольких (или во всех) смыслах.

Если придать термину «оптимальность» строгий математический смысл, то под оптимальной системой следует понимать систему, которая обеспечивает получение экстремума (минимума или мак­ симума) так называемого критерия оптимальности (критерия ка­ чества), такого, как дисперсия случайной ошибки, интегральная квадратическая оценка неслучайной (детерминированной) ошибки, длительность переходного процесса, потребляемая мощность и т. д.

Перечисленные критерии являются 'функционалами, т. е. числами, величина которых зависит от вида функций, которыми описываются подвергающиеся преобразованию информация и же­ лаемый результат, и от искомого оператора системы, являющегося ее исчерпывающей "характеристикой.

Поэтому синтез оптимальной системы (т. е. алгоритм или про­ цедура оптимизации) сводится к нахождению условий экстремума функционалов [1] и вычислению соответствующих значений максимума или минимума, т. е. к решению вариационных задач.

Для того чтобы поставить такую задачу, а затем и решить ее, необходимо знать основы теории линейных систем.

Математический аппарат теории линейных систем, составляю щий содержание этой главы, опирается на спектральные пред ставлення, тесно связанные с преобразованиями Фурье и Лапласа которые будут широко использоваться и в остальных главах.

2. СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Под спектром функции / (t) будем понимать в общем случае характеристику, определяющую ее частотное содержание, т. е. такую характеристику, которая в конечном счете определяет

откуда

По формулам (1.4) вычисляются коэффициенты ряда Фурье. Выражение / (t) запишем в виде

0 0

ft=0

Этот ряд можно представить в более компактной комплекснопоказательной форме, если воспользоваться известными форму­ лами Эйлера: