книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

ТЕОРИЯ

ВЕТВЛЕНИЯ И НЕЛИНЕЙНЫ

BIFURCATION THEORY

AND

NONLINEAR EIGENVALUE

PROBLEMS

EDITED BY

Joseph B. Keller

and Stuart Antman

NEW YORK UNIVERSITY

W. A. BENJAMIN, INC.

New York 1969 Amsterdam

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 1966—1967 гг. при Математическом институте им. Куранта НьюЙоркского университета проводился семинар по теории ветвления и нелинейным задачам на собственные значения. Он был организован профессорами Дж. Б. Келлером и Э. Л. Рейссом и состоял из пятнад­ цати лекций. Основанные на этих лекциях и близком материале, статьи были подготовлены лекторами и отредактированы Дж. Б. Кел­ лером и С. Антманом. Поскольку эта книга предназначена для чита­ телей с различным уровнем подготовки, каждая лекция начинается введением, где сформулированы основные определения и теоремы, относящиеся к рассматриваемым вопросам, как классические, так и самые современные. Указано, где можно найти доказательства этих теорем. Каждую лекцию, за исключением лекции VII, можно читать независимо от остальных. Некоторые лекции носят в основном разъяс­ нительный характер, но большинство из них содержит и самые недавние результаты. Вместе они дают представление о разнообразии методов исследования нелинейных задач. Хотя во многих лекциях рассматри­ ваются примеры из физики или техники, все же основное внимание уделяется теоретическому анализу соответствующих нелинейных задач.

ВВЕДЕНИЕ

Под нелинейной задачей на собственные значения мы понимаем задачу нахождения решений нелинейного уравнения вида

где нелинейный оператор F, зависящий от параметра к, применяется к неизвестной функции или вектору и. Одним из основных является вопрос, имеет ли уравнение (1) решение и при заданном значе­ нии к. Затем возникают вопросы, сколько оно имеет решений и как их число изменяется в зависимости от к. Особенный интерес пред­ ставляет явление ветвления (бифуркации), когда при к, переходящем через критическое значение к0, называемое точкой ветвления (бифур­ кации), заданное решение уравнения (1) расщепляется на два или более решений. Важной задачей является также определение свойств этих решений и их зависимости от к.

Для иллюстрации рассмотрим линейную задачу на собственные

где L — линейный оператор, действующий на векторы и некоторого линейного нормированного пространства, а к — действительное число. Для каждого значения к

является решением уравнения (2). Предположим, что существуют последовательности собственных значений < к2< к3 < . . . и соот­ ветствующих нормированных собственных функций uit uz, u3, . . ., такие, что

Тогда, если с — произвольное действительное число, другие решения задачи (2) получаются по формуле

Норма решения (3) равна нулю, в то время как норма решения (5) равна с. График норм этих решений показан на рис. 1. Как видно из этого рисунка, при каждом из собственных значений kj решение и = 0 расщепляется на две ветви: ветвь и — 0 и ветвь (5). Поэтому точки к = kj, и = 0 являются точками бифуркации задачи (1).

Рассмотрим теперь нелинейную задачу на собственные значения, для которой (2) является линеаризованной задачей. На рис. 2 показан

иллюстративный график || и || как функции от %, называемый харак­ теристическим графиком. Отметим следующие его свойства:

1.Ветви, исходящие из собственных значений линейной задачи, искривлены.

2.При некоторых собственных значениях линеаризованной задачи

ветвление отсутствует. На рис. 2 это происходит при К = К2.

3. Из собственного значения линеаризованной задачи может исхо­ дить несколько ветвей, как из на рис. 2.

4. Может наблюдаться вторичное ветвление, как на ветви из Я4.

5.Ветви от различных собственных значений могут оказаться связанными. Это произошло с ветвью, проходящей через ?»5 и ?.6.

6.Могут появиться ветви, такие, как С, не возникающие из соб­ ственных значений линеаризованной задачи.

Конкретные примеры таких характеристических графиков встре­

чаются в каждой из этих лекций. Но все эти явления не обязательно присутствуют одновременно. На этих графиках часто изображают вместо II и II другие величины, которые могут быть как положитель­ ными, так и отрицательными.

I

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ к о л о н н ы — ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ПРИМЕР БИФУРКАЦИИ

Эдвард Л. Рейсс

1. Введение

Потеря устойчивости тонкого упругого стержня или колонны, вызван­ ная сжимающим осевым давлением, представляет собой, возможно, простейший пример явления бифуркации. Его анализировали Эйлер, Бернулли и Лагранж.

Опыт показывает, что при постепенном увеличении нагрузки Т от нуля деформация стержня сначала сводится к укорачиванию и утол­ щению. Его центральная линия остается прямой. При критическом значении нагрузки стержень теряет прямолинейную форму и выпу­ чивается. По мере увеличения нагрузки сверх этого критического значения стержень все больше изгибается. Наблюдения показывают,

и прямолинейная формы, так как прямолинейная форма является равновесной при любом Т.

Классическая линейная теория упругости дает единственное реше­ ние в любой задаче. Следовательно, она недостаточна для описания потери устойчивости. Поэтому в следующем параграфе для описания потери устойчивости, вызванной осевым перемещением концов колонны применяется нелинейная теория. В § 3 мы применяем нелинейную теорию упругости к изучению потери устойчивости колонны под дей­ ствием приложенного осевого давления.

2. Краевая задача при заданных перемещениях концов

Мы рассмотрим тонкий стержень с защемленными концами, лежа­ щими в плоскости х, z. Заданы перемещения концов стержня в направ­ лении оси X. Форма стержня описывается двумя функциями и (х) и w (х) — безразмерными перемещениями вдоль осей х и z. Эти функ­ ции удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям и гра­ ничным условиям: