книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех
.pdf
В. В. С О Л О Д О В Н И К О В , П. С. М А Т В Е Е В
Р А С Ч Е Т
О П Т И М А Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М
АВ Т О М А Т И Ч Е С К О Г О
УП Р А В Л Е Н И Я
П Р И Н А Л И Ч И И |
П О М Е Х |
М о с к в а « М А Ш И Н О С Т Р О Е Н И Е » 1973
С60 УДК 621-501.14.001.24
С о л о д о в н и к о в |
В. В., М а т в е е в П. С. |
||
Расчет |
оптимальных систем |
автоматического уп |
|
равления при наличии |
помех. |
М., «Машинострое |
|
ние», 1973, с. 240. |
|
|
|
Книга посвящена решению основных задач |
|||
расчета |
оптимальных |
динамических характери |
|
стик систем автоматического |
управления, (стацио |
||
нарных, нестационарных, дискретных и со случай ными параметрами) при помощи единого метода самосопряженных операторов.
Расчеты иллюстрируются примерами, об легчающими применение теории к конкретным за дачам.
В книге изложен метод регуляризации этих задач на основе принципа минимальной сложно сти, который для их решения обеспечивает воз можность применения численных методов. Пока зана возможность использования метода само сопряженных операторов для решения некоторых классов нелинейных задач.
Книга рассчитана на научных работников, ас пирантов и инженеров, занимающихся проектиро
ванием |
систем автоматического управления |
при |
наличии |
помех. |
. - |
Табл. 2. Ил. 40^£ди£&]с-литг72!гд$,. |
* |
|
Р е ц е н з е н т д-р техн. наук проф. Ю. Н. Бакаев
„ 3314—321 |
|
С 038(01)—73 |
321—73 |
) Издательство „Машиностроение", 1973г.
О Г Л А В Л Е Н И Е
В в е д е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
Г л а в а |
I. Определение оптимальных динамических характеристик |
лм- |
||||||||||||||
|
нейных систем автоматического регулирования методом са |
|||||||||||||||
|
мосопряженных |
операторов |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||
1. |
Постановка |
задачи |
синтеза |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|||||
2. |
Определение |
среднего значения |
квадрата ошибки . . . |
. |
15 |
|||||||||||
3. |
Интегральное |
уравнение, определяющее условие минимума сред |
||||||||||||||
|
него |
значения |
квадрата |
ошибки |
|
|
|
|
|
|
18 |
|||||
4. |
Частные |
случаи |
общего |
решения |
|
|
|
|
|
|
21 |
|||||
5. |
Оптимальные |
характеристики |
систем |
для |
управляющего |
воз |
||||||||||
|
действия |
со |
случайными |
коэффициентами |
|
|
|
|
|
28 |
||||||
6. |
Оптимальные |
характеристики в случае экспоненциальных и гар |
||||||||||||||
|
монических |
детерминированных |
воздействий |
|
|
|
|
|
31 |
|||||||
7. |
Оптимальная |
импульсная |
переходная |
функция |
в |
случае |
воз |
|||||||||
|
действия |
общего |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
||||
Г л а в а |
2. Определение оптимальных динамических характеристик |
ли |
||||||||||||||
|
нейных |
систем |
в некоторых |
специальных |
случаях |
. . |
. |
41 |
||||||||
1. Учет |
'запаздывания |
в заданных |
элементах |
системы |
|
. . |
. |
41 |
||||||||
2. |
Влияние |
неминимально-фазовой |
. заданной |
части |
системы |
на |
||||||||||
|
ее оптимальные |
динамические характеристики |
|
|
|
|
43 |
|||||||||
3. |
Передаточная,, функция |
системы, содержащей |
неминимально- |
|||||||||||||
|
фазовые множители в числителе и запаздывание |
|
. . . |
. |
57 |
|||||||||||
4. |
Системы с последовательным и параллельным корректирующими |
|||||||||||||||
|
устройствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|||
5. |
Оптимальные |
характеристики при заданной величине интеграль |
||||||||||||||
|
ной |
квадратичной |
оценки |
|
|
|
|
|
|
|
68 |
|||||
6. |
Оптимальные характеристики при наличии нелинейностей |
типа |
||||||||||||||
|
насыщения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
||
7. |
Оптимальные характеристики систем, содержащих безынерцион |
|||||||||||||||
|
ную |
нелинейность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 " |
||||
Г л а в а |
3. Оптимальные динамические характеристики дискретных |
си |
||||||||||||||
|
стем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
1. |
Оптимальные |
характеристики |
для |
полиномиального |
воздей |
|||||||||||
|
ствия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
2. |
Оптимальные |
характеристики |
при |
гармонических |
и |
экспонен |
|
|||||||||||
|
циальных |
воздействиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
||||||
3. |
Оптимальные характеристики при воздействии общего |
вида |
91 |
|||||||||||||||
4. |
Оптимальные характеристики системы с непрерывной неизме |
|
||||||||||||||||
|
няемой |
частью |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
||||
Г л а в а |
4. |
Оптимальные |
динамические |
характеристики |
систем автома |
|
||||||||||||
|
|
тического регулирования с переменными параметрами |
. |
|
100 |
|||||||||||||
1. |
Оптимальные |
характеристики |
при |
полиномиальном |
воздействии |
100 |
||||||||||||
2. |
Оптимальные |
характеристики |
пр.п |
гармонических |
и |
экспонен |
|
|||||||||||
|
циальных |
воздействиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
||||||
3. Оптимальные |
характеристики |
при |
воздействии |
|
общего |
вида |
107 |
|||||||||||
4. |
Оптимальные |
характеристики, |
обеспечивающие |
минимум |
сум |
|
||||||||||||
|
марной |
ошибки |
воспроизведения |
|
|
|
|
|
|
|
108 |
|||||||
5. |
Интегральное уравнение системы при нестационарных |
слу |
|
|||||||||||||||
|
чайных |
воздействиях |
общего |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
111 |
||||||
Г л а в а |
5. Анализ и синтез систем автоматического регулирования |
со |
|
|||||||||||||||
случайным |
коэффициентом |
усиления |
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|||||||
1. Статистические характеристики |
сигналов в системе со случай |
|
||||||||||||||||
|
ным значением |
коэффициента |
усиления |
|
|
|
|
|
|
113 |
||||||||
2. |
Определение средних значений сигналов при стационарных |
|
||||||||||||||||
|
случайных |
воздействиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119 |
||||||
3. Определение |
|
дисперсий, когда случайная составляющая коэф |
|
|||||||||||||||
|
фициента |
усиления — белый |
шум |
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|||||||
4. |
Некоторые типовые структуры систем со случайными |
пара |
|
|||||||||||||||
|
метрами |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130 |
|
5. |
Оптимальные характеристики системы со случайным коэффи |
|
||||||||||||||||
|
циентом |
|
усиления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
||||
Г л а в а |
6. Оптимальные характеристики систем автоматического |
регу |
|
|||||||||||||||
лирования |
с- учетом |
допусков на конструктивные параметры элементов |
163 |
|||||||||||||||
1. Определение |
|
оптимальных |
параметров |
системы |
с |
заданной |
|
|||||||||||
|
структурой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163 |
|||
2. |
Определение |
|
оптимальных характеристик |
систем |
с |
учетом |
слу |
|
||||||||||
|
чайных входных сигналов и допусков на параметры |
. |
. |
|
. 1 6 7 |
|||||||||||||
3. |
Оптимальные характеристики систем с неминимально-фазовой |
|
||||||||||||||||
|
заданной |
частью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
176 |
||||
4. Оптимальные |
характеристики |
при |
изменении |
воздействий |
в |
|
||||||||||||
|
пределах |
допуска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
177 |
|||||
Г л а в а |
7. |
Минимизация |
сложности |
и регуляризация |
задач |
синтеза |
|
|||||||||||
|
оптимальных систем при случайных воздействиях |
|
. |
|
. 1 8 0 |
|||||||||||||
1. Корректная |
постановка вариационных задач и задач |
решения |
|
|||||||||||||||
|
операторных |
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182 |
|||||
2. |
О некорректности задач статистической динамики |
|
. . |
. |
|
. 1 8 5 |
||||||||||||
3. |
Понятие |
|
сложности н |
принцип |
минимальной сложности |
. |
|
. 1 9 0 |
||||||||||
4. |
Необходимое |
н |
достаточное |
условие |
минимума |
функционала |
|
|||||||||||
|
Ji(k) |
. |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199 |
|
5. |
Решение |
интегрального |
уравнения |
(382) |
|
|
|
|
|
205 |
||||||||
6. |
Частные |
случаи |
интегрального |
уравнения |
(382) |
и |
обобщение |
|
||||||||||
|
его |
иа случай Т = оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207 |
||||
7. |
Примеры |
определения |
|
оптимальных |
операторов |
с |
конечной |
и |
|
|||||||||
|
бесконечной |
|
памятью |
с |
учетом |
ограничения |
сложности |
. |
. |
208 |
||||||||
8. Применение |
|
принципа минимальной сложности к одной неста |
|
|||||||||||||||
|
ционарной |
задаче статистической |
динамики |
|
|
|
|
|
219 |
|||||||||
Г л а в а |
8. |
Фильтры |
Калмана — Бьюси |
|
|
|
|
|
|
|
|
222 |
||||||
1. |
Одномерные |
|
фильтры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222 |
|||
2. Многомерные |
фильтры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
230 |
||||||
3. |
Обобщение |
на случай |
помех, |
отличных от белого |
шума |
. |
. |
234 |
||||||||||
С п и с о к л и т е р а т у р ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237 |
|||||
В В Е Д Е Н И Е
Методы проектирования оптимальных систем авто матического управления и регулирования при случайных воз действиях приобрели в настоящее время широкое распростра нение в инженерной практике.
Математической основой этих методов явились прежде всего работы А. Я. Хинчина, А. Н Колмогорова и Н. Винера. Вслед за ними появилась целая серия работ, развивающих и обобщаю щих первоначальную постановку задачи синтеза оптимальных характеристик при случайных воздействиях [30—34, 39, 40, 4б|
Как известно, нахождение оптимальных характеристик (им пульсных переходных или передаточных функций) сводится к ре шению интегральных уравнений первого рода. Н. Винером, а вслед за ним Л. Заде и Дж. Рагацини были предложены до вольно искусственные приемы для решения этих интегральных уравнений, которые затем модифицировались в зависимости от
конкретной постановки задачи синтеза. |
Однако общий |
метод |
решения последних отсутствовал вплоть |
до появления |
работ |
[3, 20—22, 39, 40]. |
|
|
Единый подход к решению основных задач синтеза опти мальных характеристик, по крайней мере в классе линейных систем с постоянными и переменными параметрами; для широ кого класса воздействий может быть выполнен при помощи так называемого метода самосопряженных операторов. Этот метод основан на связи корреляционной функции с функцией Грина самосопряженного дифференциального уравнения. Пользуясь им, интегральные уравнения, определяющие условия оптимума, можно преобразовать в дифференциальные уравнения, методы решения которых хорошо известны.
Значение этапа определения оптимальных характеристик си стемы автоматического управления в процессе ее проектирова ния состоит прежде всего в том, что на нем определяется наи лучшая система из всех возможных, а также тот предельный уровень качества, который может дать система при рассматри ваемых условиях. Практически предельно достижимый уровень качества реализовывать нецелесообразно. Поэтому следующий
этап проектирования состоит в |
аппроксимации |
оптимального |
режима, т. е. в выборе желаемых |
динамических |
характеристик |
в результате компромисса между |
потерей в качестве управле- |
|
ния, с одной стороны, и простотой технической реализации уп равляющей системы (а, следовательно, вообще говоря, и ее на дежностью) — с другой.
При выборе желаемых характеристик необходимо учитызать не только допустимую потерю в качестве управления, но и соб ственные динамические свойства управляемого процесса или объекта. Определение этих свойств может быть выполнено при помощи известных в настоящее время многочисленных методов идентификации.
Идентификация управляемого объекта или процесса необхо дима также для выполнения следующего этапа проектирования,
состоящего в синтезе динамических характеристик |
управ |
|||||
ляющей |
системы |
(или |
корректирующих |
устройств), |
обеспе |
|
чивающих |
желаемые |
динамические свойства всей |
системы |
|||
в целом. |
|
|
|
|
|
|
Следующий этап состоит в реализации управляющей си |
||||||
стемы |
и, |
наконец, |
последний этап — в |
анализе полученной |
||
системы. |
|
|
|
|
|
|
Теоретический анализ обычно может лишь облегчить выбор рациональной структуры управляющей системы и ориентиро вочных значений ее параметров. Окончательно же значения этих параметров можно установить лишь в результате после дующей наладки и настройки системы.
Вследствие сложности многих современных систем автомати ческого управления следует иметь в виду, во-первых, необходи мость надлежащей идеализации и упрощений при их расчете и, во-вторых, целесообразность использования для этого средств вычислительной техники.
Однако применение вычислительных машин для проектиро вания и управления вносит некоторые новые проблемы. Дело в том, что задачи оптимального стохастического управления обыч
но сводятся к решению функционального уравнения вида |
Ах=у, |
|||||||||||
частным случаем которого |
являются |
интегральные |
уравнения |
|||||||||
первого рода. Такие задачи некорректны |
по Адамару |
[51—53], |
||||||||||
т. е. они, вообще говоря, не удовлетворяют |
условиям |
существо |
||||||||||
вания, единственности и устойчивости |
решения. Поэтому можно |
|||||||||||
утверждать, |
что многие задачи |
оптимального |
стохастического |
|||||||||
управления до сего времени |
были лишь поставлены, но не реше |
|||||||||||
ны, во всяком случае, если |
иметь |
в |
виду |
применение |
для их |
|||||||
решения численных |
методов и |
цифровых |
вычислительных |
ма |
||||||||
шин. Такое |
положение возникает, |
например, |
В'о |
всех |
тех |
слу |
||||||
чаях, когда |
решение |
содержит |
б-функции |
и |
их |
производные. |
||||||
Возможный путь преодоления этой трудности состоит в из |
||||||||||||
менении постановки |
задачи |
оптимального |
управления |
|
на осно |
|||||||
ве принципа минимальной сложности. Применение этого прин ципа позволяет еще на стадии расчета и проектирования систе мы управления учитывать требования не только к ее динамиче-
ским свойствам и точности, но, в какой-то мере, и к сложности, понимаемой как широта класса, в котором синтезируется систе ма. В то же время применение этого принципа позволяет обес печить устойчивость численных процедур решения задач опти мального управления при случайных воздействиях. Последнее обстоятельство имеет особенно большое значение в тех случаях, когда эти задачи решаются при помощи вычислительных машин. Изложение новой постановки задачи синтеза оптимальных ха рактеристик при случайных воздействиях, вытекающей из прин ципа сложности, и ее решение нашли должное отражение в на стоящей книге.
В последнее время существенное развитие получили методы анализа и синтеза систем, содержащих случайные параметры, з также параметры, значения которых при эксплуатации систе мы должны находиться в пределах заданных допусков.
Теория фильтров Калмана — Быоси широко применяется в настоящее время при расчете систем, находящихся под влия нием случайных воздействий. Краткое изложение этой теории также, приведено в книге.
Г л а в а 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МЕТОДОМ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Системы автоматического регулирования могут рас сматриваться как системы, служащие для усиления и преобра зования управляющих входных сигналов gi(t) в соответствии с некоторыми операторами Не
Xi(t)=Hi\gi{t)], |
i = 1, 2, |
. . . , |
п, |
(1) |
|
где Xi (t) — регулируемые переменные. |
|
|
|
||
Идеальное |
преобразование |
входных |
сигналов в соответствии |
||
с выражением |
(1) невозможно |
по следующим |
основным |
причи |
|
нам. Первой причиной является наличие заданной части систе мы, обладающей определенными свойствами, накладывающими ряд ограничений на протекание процесса регулирования. Вто рой причиной является наличие возмущающих воздействий и по мех, мешающих точному осуществлению преобразований (1). Поэтому возникает задача синтеза оптимальных динамических характеристик системы, обеспечивающих наилучшее, в том или
ином смысле, |
приближение |
к идеальным законам |
преобразова |
||||||
ния НІ в указанных выше условиях. |
|
|
|
|
|
||||
Постановка задачи синтеза оптимальных динамических ха |
|||||||||
рактеристик должна |
включать: |
|
|
|
|
|
|||
задание операторов НІ, называемых идеальными |
преобразую |
||||||||
щими операторами; |
|
|
|
|
|
|
|
||
сведения об управляющих gi(t) |
и возмущающих Ui(t) |
воз |
|||||||
действиях; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничения, накладываемые или вытекающие из заданных |
|||||||||
свойств системы; |
|
|
|
|
|
|
|
||
критерий оптимизации. |
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
ограничиться для |
простоты |
линейными |
преобразую |
|||||
щими операторами |
то |
можно |
сказать, |
что система |
более |
||||
точно воспроизводит на своем выходе не самоуправляющее |
воз |
||||||||
действие |
gi(t), |
а некоторый |
сигнал |
xug(t), |
связанный с сигна |
||||
лом gi(t), |
заданным |
функциональным |
преобразованием: |
|
|||||
|
|
|
xu0(t) |
= H(p)g(f). |
|
|
|
(2) |
|
Для задачи воспроизведения идеальный преобразующий опе ратор Н(р) сводится к постоянной величине h0, так как при» этом требуется, чтобы величина на выходе воспроизводила вс.&