книги из ГПНТБ / Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло

&

*-

а

і

И, М. СОБОЛЬ

ЧИСЛЕННЫЕ

МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М о с к в а 1973

©Издательство «Наука», 1973.

0224— 1857 С 042 (02) -73 57-73

О Г Л А В Л Е Н И Е

1*

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга эта возникла из курса, который я в течение ряда лет читал в Московском инженерно-физическом институте, по довольно сильно отличается от него: все вопросы изложены здесь значительно полнее. Основной материал, предназначенный для общего курса методов Монте-Карло, содержится в главах 1, 2, 3, 6, 7, исклю­ чая мелкий шрифт. Предполагается, что читатель зна­ ком с теорией вероятностей в сравнительно небольшом объеме, примерно соответствующем программе по выс­ шей математике для втузов *).

За последнее десятилетие сфера приложений методов Монте-Карло необычайно расширилась. Методы МонтеКарло используются для расчета задач физики (перенос излучения и вещества, ядерная физика, статистическая физика и др.), радиотехники, теории массового обслу­ живания, теории надежности, химии, биологии, экономи­ ки (оптимизация, управление, сетевое планирование и др.), теории автоматов, аэродинамики, гидрологии — перечислить все невозможно. В книге рассмотрены поч­ ти все наиболее важные вопросы, связанные с примене­ нием методов Монте-Карло, и можно надеяться, что она будет полезна специалистам, использующим эти методы, независимо от области приложений.

По мнению автора, современный курс методов Мон­ те-Карло обязательно должен содержать хотя бы крат­

(1/Л/1_Е вместо 1/УМ), не нарушая структуры вычисли­ тельного алгоритма. Этим вопросам посвящена глава 7.

*) В лекции для ннженеров-фнзиков следует включать также ряд вопросов из главы 5.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

Обычно преобразования случайных величин излага- . ются как справочный материал: различные способы мо­ делирования экспоненциальных величин, различные спо­ собы моделирования нормальных величин и т.д. Вместо этого в главе 2 построена общая классификация преоб­ разований, используемых для моделирования различных случайных величин. На первый взгляд принцип этой классификации может показаться формальным. Но пол­ ностью его роль выясняется в главе 7 в связи с введен­ ным в книге понятием конструктивной размерности алго­ ритмов Монте-Карло.

Нередко при изложении методов Монте-Карло много места уделяют способам решения задач линейной ал­ гебры. Однако такие способы редко применяют на прак­ тике, где, как правило, используют более быстро сходя­ щиеся численные методы линейной алгебры. Поэтому в главе 5 излагаются в первую очередь способы реше­ ния линейных интегральных уравнений; и лишь в § 5 этой главы как частный случай рассмотрены алгебраи­ ческие системы.

В главе 6 рассмотрены различные способы введения статистических весов. Эти способы позволяют, отправ­ ляясь от естественного процесса, строить модели для расчета, более выгодные, чем имитация процесса (см. мелкий шрифт, стр. 9). Устанавливается связь этих приемов с методами вычисления интегралов и решения интегральных уравнений.

Главы 4 и 8 выходят за рамки общего курса. В гла­ ве 4 указаны наиболее интересные и, вероятно, наиболее перспективные направления исследований методов вы­ числения интегралов, а в главе 8 рассмотрены некото­ рые задачи других типов. Таким образом, эти главы как бы иллюстрируют возможности развития методов Монте-Карло «вглубь» и «вширь».

Упражнения предназначены в первую очередь для то­ го, чтобы сообщить читателю дополнительные сведения.

Я пользуюсь случаем, чтобы выразить свою призна­ тельность Н. Н. Ченцову, многолетний контакт с кото­ рым повлиял на мои взгляды на методы Монте-Карло.

И. Соболь

ВВ Е Д Е Н И Е

0.1.Методы Монте-Карло. Общепринятого определе­ ния методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математиче­ ских задач при помощи моделирования случайных ве­

личин*). При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые, другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами,

они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые ма­ тематические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Название «Монте-Карло» произошло от города Мон­ те-Карло (княжество Монако), известного своим кази­ но, ибо одним из простейших приборов для генерирова­ ния случайных чисел служит рулетка.

Официальной датой рождения методов Монте-Карло считают 1949 год,- когда появилась статья под заглави­ ем «Метод Монте-Карло» [159]. Возникновение метода связывают обычно с именами Дж. Неймана, С. Улама,

*) Можно добавить: «и статистической оценки их характери­ стик».