книги из ГПНТБ / Любич В.Н. Лекции и практические занятия по высшей математике. Дифференциальное исчисление функций одной переменной [учеб. пособие]

УДК: 517.2

J /0 2 6

Учебное пособие предназначено для слушателей заочного факультета Военной ордена Ленина Краснознаменной акаде­ мии связи. Оно содержит материал по дифференциальному исчислению функции одной переменной. Для удобства изуче­ ния этот материал разделен на части — «занятия», снабжен­ ные большим количеством иллюстрирующих примеров и задач для самостоятельного решения.

Иллюстраций 130.

© ВАС, 1974.

З А Н Я Т И Е 1

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА. ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ

ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. МОНОТОННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Понятие множества. Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных понятий мате­ матики. Оно не поддается определению через более простые поня­ тия и может быть лишь описано или пояснено на примерах.

Можно сказать, что множество — это собрание, совокупность, класс, система некоторых предметов, объектов, объединенных по какому-то определенному признаку. Приведем примеры, поясняю­ щие содержание понятия множества:

1)множество строк на этой странице;

2)множество всех натуральных чисел (т. е. целых положитель­

ных чисел);

3)множество домов на данной улице;

4)множество слушателей в аудитории.

Объекты или предметы, составляющие данное множество, назы­ ваются его элементами. Множество как бы объединяет многое в единое, различные предметы — элементы — объединяются в еди.- ное целое — в множество.

Если х есть элемент множества Л, то говорят, что х принад­ лежит Л, и записывают символически так: хеЛ , если же х мно­

жеству А не принадлежит, то пишут: хеЛ .

Так, например, если Л есть множество четных чисел, то 2еЛ ,

но число 5еЛ .

Задать множество — это значит указать, из каких элементов оно состоит.

Так, множество корней уравнения х - —х — 2 = 0 состоит из двух элементов: {—1, 2}. Множество натуральных чисел состоит из бесконечного числа элементов: N = [1, 2, 3, ... , /г, ..

Будем называть множество Л подмножеством В или его частью и записывать А а В, если каждый элемент множества Л является также элементом и множества В ( с — знак включения). Так, если Л — множество нечетных положительных чисел, а В —мно­ жество натуральных чисел, то Л с 5 .

Если А а В и В а А, то говорят, что множества Л и В равны и записывают А — В. Так, например, множество (2, 3J и мно-

жество корней уравнения х г — 5х + 6 = 0 равны. Порядок рас­ положения элементов в множестве безразличен.

Объединением множеств А и В называется множество, состо­ ящее из всех элементов множества А и всех элементов множе­ ства В. Оно обозначается символом А + В, или А\]В (рис. 1). Заметим, что если Л е й , то А + В = В; в частности, А-\-А— А.

Пересечением множества А и В называется множество, состо­ ящее из элементов, общих обоим множествам А и В (рис. 2); оно обозначается символом АВ, или А[\В.

& Например, пересечением двух множеств:

Л = {1, 3, 5, 7, 9),

В = [2, 3, 4, 5, 6, 7},

будет множество из трех чисел: {3, 5, 7).

Разностью множеств А я В называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат В (рис. 3). Разность мно­

жеств А и В обозначается символом А—В.

Два множества А я В называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие. Это значит, что каждому элементу множества А поставлен в соответствие один и только один элемент множества В, причем каждый элемент из В окажется соотнесенным одному и только одному элементу из А. Эквивалентные множества обозначаются символами А — В.

4

Множества бывают конечные и бесконечные. Множество назы­ вается конечным, если оно содержит конечное число элементов (см. указанные выше примеры 1, 3, 4); в противном случае оно' называется бесконечным. Если во множестве нет ни одного эле­ мента, то оно называется пустым множеством и обозначается сим­ волом 0 .

Бесконечное множество называется счетным, если оно эквива­ лентно множеству натуральных чисел, т. е. все элементы множества можно пронумеровать натуральными числами.

Например, множество всех четных чисел — счетное множество, множество правильных дробей счетно и т. д.

При изучении математического анализа нам придется в основ­ ном иметь дело с множествами чисел и множествами точек. Число­ вые множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита X, У, Z ,..., а принадлежащие им числа — теми же малы­ ми буквами х, у, z,...

Рис. 4.

Отметим несколько важнейших типов числовых множеств.

обозначается символом [а, Ь]. Геометрически это означает, что отрезку [а, Ъ\ принадлежат не только точки, лежащие между х — а и х —Ъ, но и сами точки х — а и х=Ь (рис. 4а).

2. Множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь, называется интервалом или открытым промежутком и обозначается символом (а, Ь). Геометрически интервал представ­ ляет собой совокупность точек числовой оси (рис. 4р), лежащих между точками х = а и х — Ь, сами же точки х=а и х=Ь в интервал (а, Ь) не входят.

3. Множества всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам х<Ь, а<х^.Ь, называются полуинтервалами и обозначаются соответственно символами [а, Ь), (а, Ь\. Квадратная скобка ста­ вится со стороны того конца полуинтервала, который входит в мно­ жество, круглая — со стороны того, который не входит в множество

(рис. 46, у).

5

4. Множества чисел, удовлетворяющих неравенствам х > а или х<Ь, обозначаются соответственно (а, со ) и (— оо , Ь). Геометри­ чески на числовой оси эти множества изображаются всеми точками бесконечной полупрямой. Множество всех вещественных чисел обо­ значается символом (— со, ОО ),

§2. Постоянные и переменные величины

Вразличных областях науки и техники, при разного рода иссле­ дованиях приходится иметь дело с величинами самой разнообраз­ ной природы: длина, площадь, объем, сила, скорость, вес, масса, температура и т. д. Но все они обладают одним общим свойством: каждая величина может быть измерена, т. е. сравнена с другой величиной того же рода, примятой за единицу меры. Например,

длина измеряется единицей длины-— метром, сантиметром; темпе­ ратура единицей температуры — градусом и т. п. Результатом каж­ дого измерения является действительное число, выражающее со­ бою меру величины в принятом масштабе. Значит, число и вели­ чина— это не одно и то же и, следовательно, нельзя смешивать эти понятия. Число, как результат отношения величин одного и того же

рода, всегда отвлеченно (5; 10; —2; У 2 и т. д.). Величина же всегда конкретна и отражает качество предмета (5 кг; 10 м/с; —2а;

У 2 м).

Поэтому, чтобы иметь возможность изучать наблюдаемые явле­ ния в более общем виде, необходимо отвлечься от конкретного со­ держания величин. Это возможно лишь благодаря операциям счета и измерения, которые позволяют рассматривать только численные значения величин, оставляя в стороне их физическую сущность. Вот почему математика, занимаясь изучением количественных за­ кономерностей окружающего нас мира, делает предметом своего изучения отвлеченную, математическую величину. Под последней понимают величину, которой приписывается только свойство при­ нимать числовые значения. Этим свойством обладают все физиче­ ские и иные величины.

Все величины, с которыми приходится иметь дело в математике

идругих науках, делятся на переменные и постоянные.

Оп р ед ел ен и е . Переменной величиной называют такую вели­ чину, которая в рассматриваемых условиях может принимать раз­

личные численные значения.

Величина, которая в рассматриваемых условиях не меняет чис­ ленного значения, называется постоянной.

Например, при падении тела расстояние тела до земли S и его скорость v есть величины переменные, а ускорение (если прене­ бречь сопротивлением воздуха) есть величина постоянная; или в уравнении прямой y = kx + b текущие координаты х, у есть пере­ менные, а величины k и Ь, определяющие положение прямой отно­ сительно системы координат,— постоянные. Однако следует заме­

6

тить, что разделение на переменные и постоянные, как видно из определения, носит несколько условный характер. Действительно, одна и та же величина в одних условиях может быть переменной, в других постоянной, и наоборот. Такие величины называются пара­ метрами.

Так, в уравнении прямой y = kx + b величины k и b для данной прямой имеют определенные постоянные значения, а для другой прямой — уже другие значения. Значит, k и b являются парамет­ рами. Или сопротивление проводника в одном случае может быть постоянным, а напряжение и сила тока переменными; в другой задаче может рассматриваться постоянным напряжение и перемен­ ными сопротивление и сила тока.

Для наглядности принято изображать числа точками так назы­ ваемой числовой оси. Числовой осью называется прямая, на кото­

Так, каждому действительному числу будет поставлена в соответ­ ствие единственная точка на оси. И наоборот, каждой точке М соответствует определенное число. В силу этого постоянная вели­ чина будет изображаться неподвижной точкой оси. Переменная же величина в отдельные .моменты может быть представлена опреде­ ленными точками оси, но, поскольку величина все время меняется, изображающая точка будет перемещаться по числовой оси.

Таким образом, переменная величина геометрически изобра­ жается движущейся точкой числовой оси.

Постоянные величины, как правило, будем обозначать первыми буквами латинского алфавита: а, Ь, с..., переменные величины — последними: х, у, г.

Важной характеристикой переменной величины является область ее изменения.

О п редел ен ие . Множество значений, которые может прини­ мать переменная величина при своем изменении, называется областью изменения этой переменной.

Будем обозначать область изменения переменной прописными буквами (X, У, Z). При этом тот факт, что переменная х изме­ няется в области X, символически записывают так: х е X.

Отметим, что важнейшими областями изменения переменных непрерывного типа служат множества, рассмотренные в § 1.

7