книги из ГПНТБ / Дроздов Н.Д. Линейная алгебра в теории уравнивания измерений

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория математической обработки результатов измерений, пройдя большой путь развития, продолжает и в настоящее время постоянно обогащаться новыми идеями и взглядами на свои задачи. Но всякие более глубокие идеи с неизбежностью требуют более выразительных и тонких математических средств. В частности, язык и методы линейной алгебры стали неотъемлемым средством во многих работах по математической статистике и теории обра­ ботки измерений (см., например, Н. И. Идельсон [16], А. Н. Кол­ могоров [18], Ю. В. Линник [20], Т. Андерсон [1], С. Р. Рао [28], А. И. Мазмишвили [23], Ю. В. Кемниц [17] и др.).

В книге последовательно рассматриваются некоторые фраг­ менты линейной алгебры и показывается, как они могут быть при­ менены к теории уравнивания измерений. При этом упор делается на то, чтобы показать, что методы линейной алгебры открывают

в книге приведено несколько современных методов решения систем нормальных уравнений, а также непосредственно условных уравнений и уравнений поправок. Среди них — метод, позволя­ ющий получить любое число произвольных элементов решения, не располагая уравнения и неизвестные специальным образом. Обсуждаются вопросы обусловленности систем уравнений и воз­ можности улучшения обусловленности. Но нужно заметить, что сами новые идет теории уравнивания измерений могут предъяв­ лять свои требования к средствам линейной алгебры. Так, необхо­ димость рассмотрения в книге вопросов алгебры каркасов и ал­ гебры псевдообратных матриц, а также геометрии подпространств в большой степени вызвана рядом вопросов теории уравнивания измерений. С помощью этих средств стало возможным рассматри­ вать уравнивание по методу наименьших квадратов как частный случай решения общей задачи уравнивания, включающей в себя все «приближенные» уравнивания. В связи с этим появляются выразительные средства сравнения разных решений задачи урав­ нивания между собой по степени обусловленности, по вероятност­ ным характеристикам и т. д. Удается так видоизменить обоснова­ ние метода наименьших квадратов, что получается простая

количественная мера нарушения строгости уравнивания, что очень важно в практике уравнивания, где нарушения строгости стано­ вятся неизбежными, например, в силу незнания дисперсий и ковариацпп результатов измерений.

Все сказанное определяет монографический характер книги. Ее читателями предполагаются творчески активные люди — науч­ ные работники, аспиранты, инженеры и студенты старших курсов, имеющие интерес к обработке измерений. Впрочем, первые не­ сколько глав написаны весьма подробно и вполне могут быть использованы для начального ознакомления с предметом. В после­ дующих главах трудность чтения заметно возрастает.

Изложение в книге ведется сообразно логике построения ли­ нейной алгебры. Приложения даются в последних параграфах каждой главы (кроме четвертой) и в последней, девятой главе (эти параграфы и главы помечены звездочками). К приложениям отнесены также многие вопросы вычислительных методов линей­ ной алгебры и некоторые сведения из теории вероятностей.

На разных этапах работы над книгой автор получал поддержку и замечания от проф. Ю. В. Кемница, проф. А. И. Мазмишвили, доц. Ю. М. Неймана, доц. Ю. И. Маркузе, доц. А. П. Тищенко, доц. 3. С. Хаимова и других лиц. Очень большой и кропотливый труд в эту книгу внес ее редактор проф. А. В. Гордеев. Всем им автор выражает свою искреннюю признательность.

Дроздов Н. Д

Г л а в а 1

МАТРИЦЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§1. МАТРИЦЫ

Представим себе, что нужно записать систему 400 линейных алгебраических уравнений с 400 неизвестными с тем, чтобы что-то сказать о ней. Ясно, что обычными полиграфическими средствами это сделать невозможно. Поэтому в книгах всегда прибегают к каким-нибудь «хитростям». Одна из них состоит в том, что вместо всей системы пишут символ

в котором все, что не умещается на странице, заменяется точками. Но почему тогда не пойти на максимально возможные графиче­ ские сокращения?

В самом частном случае система (1) может состоять из одного уравнения с одним неизвестным, т. е. иметь вид

ах= Ъ.

В связи с этим естественна мысль всякую систему (1) изобразить

Теперь символам А, а; и & следует придать вполне определен­ ный смысл, причем так, чтобы они в собирательной форме харак­ теризовали соответственно все коэффициенты, неизвестные и сво­ бодные члены системы (1). Символам же Ах, который формально будем называть произведением А на х, и Ах = Ь, который фор­ мально называется равенством А г и Ь, необходимо также придать такой смысл, чтобы равенство (2) действительно выражало си­ стему (1). Реально это можно оформить по-разному (имеется, на­ пример, краковяновая система записи [39, 36, 26]). Одним из самых распространенных оформлений является такое, когда

символы х и Ь — как таблицы-столбцы, составленные из неизвест­ ных системы (1) и ее свободных членов:

Иногда, когда это необходимо для понимания, размеры мат­ рицы записываются в виде нижнего индекса при символе матрицы, например АтХп. В общем случае размеры матрицы не указы­ ваются. В символе аГп как правило, первый индекс означает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

При т = п матрица называется квадратной матрицей п-то порядка. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми номерами

п

Так что символ 2 aixj можно считать произведением строки /-і

Из соображения отождествления выражений (1) и (2) опреде­

Для этого нужно лишь потребовать, чтобы соответствующие

порядки столбцов должны быть при этом одинаковыми.

Понятие произведения матрицы на столбец естественно обоб­ щается в понятие произведения двух матриц. Пусть число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением АВ матрицы А на матрицу В называется матрица С, элемент с,у

=|| fyyll имеют одинаковые размеры. Тогда говорят, что они

равны между собой и пишут А = В или || at!\\ = || если все элементы одной из них равны соответствующим по индексам

Помимо действия умножения над матрицами, вводится еще несколько элементарных операций. Как известно из элементар­ ной алгебры, если с = ах и d = Ьх, то

с + d = ах + Ъх = (а + Ь) х.

Это существенное свойство линейных функций одного аргу­ мента. Естественно желать, чтобы оно формально выполнялось и для матричных обобщений этих функций

Определение суммы двух матриц можно индуктивно обобщить в определение суммы любого конечного числа матриц одинакового размера. Очевидно, при этом элементы матрицы

образуются по правилу

В частном случае, когда в выражении (5) стоит к равных слагаемых, пишут

Иначе

Это правило естественно распространить на случай, когда число к не только натуральное, но и любое действительное (или даже комплексное). Так определяется произведение матрицы на число. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, рас­ сматриваются только действительные множители к.