книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

В В Е Д Е Н И Е

Раздел математики, разрабатывающий іаорию и численные ме-

юды решения 11 -мерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на оіыскание экстремума функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных, получил название "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ".

Съое название математическое программирование получило от входящего в него линейного программирования, первые наследова­

на по которому (основные задачи и приложения, критерий опти­ мальности, геометрическая интерпретация, нѳюды нахождения оп­

тимального решения и экономическая трактовка.результатов мате­ матического анализа) были проведены в 30-е годы профессором Ленинградского университета Л.Б.Канторовичем.

Сам іермян "линейное программирование" появился в 1951 году а работах американских математиков Дж.Данцига и Т.Купмѳса.

широкого применения экономико-математических методов и совре­ менной вычислительной техники в планировании и управлении на­ родным хозяйством.

Математические методы и, в частности, математическое про­ граммирование находят все большее применение в экономической работе. Главное внимание экономистов должно быть направлено на использование материальных, трудовых и финансовых ресурсов, природных богатств с наибольшим экономическим эффектом, на устранение всех ненужных затрат и потерь.

-k -

Вполне понятно, чго к достижению одной и той se цели, при наличии определенных ресурсен, можно идти различными путями. До применения эконсмико-математических методов наиболее рацио­ нальный из путей оо'ычно выбирался или на основе опыта, или, а лучшем случае, при помощи сравнения нескольких .вариантов. При этом выбранный .вариант зачастую являлся далеко не наилучшим.

К.Маркс говорил, что наука только тогда достигает совер­ шенства, когда ей удается пользоваться математикой. Широкое раз­ витие экономической жизни общества и экономической науки вызва­ ло, в слою очередь, и появление новых методов в математике, с

ПОМОІІІЫО которых можно решать многие проблемы, поставленные эко­ номикой.

ьксноыикс-ыатекатические методы и электронно-вычислитель­ ная техника позволяют выбрать наиболее рациональный (оптималь­ ный) план эффективного использования ресурсов в зависимости от поставленной цели (критерия оптимальности).

Математическое программирование занимается исследованием задач, в которых из множества возможных решений требуется выб­ рать наилучшее или, иначе говоря, оптимальное.

Программированием эта отрасль математики называется потому, что она дает в каждом конкретном случае "программу действий" для получения оптимального решения или, иначе говоря, оптимального плана. Поэтому эту отрасль часто также называют "математичес- • ким планированием", оптимальным планированием" или "оптималь­ ным программированием".

Знание методов математического программирования поможет экономистам вскрывать внутренние резервы производства и эконо­ мить ірудоьые, материальные и денежные ресурсы, так как опт.ими-

- 5 - мизапия плановых решений к внедрение их Е производство созда­

ют условия для получения экономил как при дополнительных ЕЛО - жениях, так и за счет наилучшего использования имеющихся ресурсов.

Настоящий курс по математическому программированию сос­ тавлен на основе лекций, прочитанных автором Е течение послед­ них десяти лет .для студэнтоЕ экономических и инженерно-эконо­ мических специальностей различных форм обучения Алма-Атинско- го института народного хозяйства.

Для облегчения понимания существа некоторых положений в книге опущены некоторые подробные и громоздкие математические доказательства. Рассмотрение всех тем сопровождается конкрет­ ными числовыми примерами. В конце многих тем приводятся упр?жкония, которые рекомендуются выполнить читателю для закрепления теоретического материала и Еыработки необ­ ходимых практических навкков.

Данное издание рекомендуется для студентов экономи­ ческих м инкенерно-экоіюмичоских специальностей ЕНСШИХ

учебных заведений," а такие и для самостоятельного изучения основ математического программирования.

Аетор Быралает сбою признательность заведующему кафед­ рой высшей математики АИНХ доценту Л.А.ЕрколаеЕу, доценту Э.И.ХмелвЕСкому и ст.преподаЕателят/. Н.М.Аноровол и Н.С.БухтияроЕОй— прочитавши!'-; рукопись данной работы и данник ряд полезных замечаний и советов. •

- 6 -

3 I . МЕТОД ІОРДАНА-ГАУССА-

Метод Іордана-Гаусса - это метод полного исключения неиз­ вестных, применяемый при решении систем линейных уранпений. Определение I .

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

а) перестановка местами любых двух уравнений; б) умножение обеих частей одного из уравнений на'любое неравное

нули число;

а) прибавление к обеим частям одного уравнения соотвѳтс:и ..•ювдх частей другого, умноженных на любое число.

Злеыентарныѳ преобразования переводят исходную систему урав­ нений в эквивалентную систему.

Определение 2.

Сисіемы уравнений называются эквивалентными, если каждое •

решение первой системы уравнений является решением второй сисіе-г

Для определенности предположим, что a-^j- ф о, так ка. в про­ тивном случае мы можем среди коэффициентов при Xj а 2 і > а з і ' " ^ i наши хотя бы один,неравный нулю, и это уравнение записать первым.

системы (1.5), кроме третьего. Продолжая последовательно исключе­

= h3W ,

= в!») .

а

уравнение, лее коэффициенты левой части которого раины нулю. При этом монет встретиться два случая:,,

а) если и свободный член этого уравнения равен нулю, то оно удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, от­ брасывая это уравнение, получим систему, эквивалентную исходной системе;

б) если свободный член этого уравнения отличен от нуля, то

Решение.

Исключим неизвестную'Xj из .второго и третьего уравнений. Для этого умножим обе части первого уравнения иа (-2) и сложим

с соответствующими частями сначала второго,затем третьего уравне­ ний: